2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 1.1 簡單形式的柯西不等式學(xué)案 北師大版選修4-5.docx
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1.1 簡單形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.認識簡單形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式,理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式,會求某些特定形式的函數(shù)的最值. 知識點 簡單形式的柯西不等式 思考1 (a2+b2)(c2+d2)與4abcd的大小關(guān)系如何?那么(a2+b2)(c2+d2)與(ac+bd)2的大小關(guān)系又如何? 答案 (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 思考2 當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d時,(a2+b2)(c2+d2)=4abcd,那么在什么條件下(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2? 答案 當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時,(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2. 思考3 若向量α=(a,b),向量β=(c,d),你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式? 答案 ≥|ac+bd|. 梳理 (1)簡單形式的柯西不等式 ①定理1:對任意實數(shù)a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 當(dāng)向量(a,b)與向量(c,d)共線時,等號成立. ②簡單形式的柯西不等式的推論 (a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d為非負實數(shù)); ≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R); ≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R). 以上不等式,當(dāng)向量(a,b)與向量(c,d)共線時,等號成立. (2)柯西不等式的向量形式 設(shè)α,β是任意兩個向量,則|α||β|≥|αβ|,當(dāng)向量α,β共線時,等號成立. 類型一 利用柯西不等式證明不等式 例1 (1)已知a2+b2=1,x2+y2=1,求證:|ax+by|≤1; (2)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:++≥(a+b+c). 證明 (1)|ax+by|=≤=1,當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時,等號成立. (2)由柯西不等式,得≥a+b, 即≥a+b. 同理,≥b+c,≥a+c. 將上面三個同向不等式相加,得 (++)≥2(a+b+c). ∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立. ++≥(a+b+c). 反思與感悟 利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時,要抓住不等式的基本特征:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R或(a+b)(c+d)≥(+)2,其中a,b,c,d∈R+.找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù),當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時,需分析,增補(特別是對數(shù)字的增補:如a=1a),變形等. 跟蹤訓(xùn)練1 已知a1,a2,b1,b2∈R+,求證:(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 證明 ∵a1,a2,b1,b2∈R+, ∴(a1b1+a2b2)= ≥2=(a1+a2)2. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即b1=b2時,等號成立. ∴(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 例2 若實數(shù)x,y,z滿足x2+4y2+z2=3,求證:|x+2y+z|≤3. 證明 因為x2+4y2+z2=3, 所以由柯西不等式得[x2+(2y)2+z2](12+12+12)≥(x+2y+z)2 . 整理得(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3. 反思與感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”,構(gòu)造使用柯西不等式的條件. (2)此類題也可以用三角不等式,把△ABO的三個頂點分別設(shè)為O(0,0),A(x1,x2),B(-y1,-y2)即可. 跟蹤訓(xùn)練2 若a>b>c,求證:+≥. 證明 ∵a-c=(a-b)+(b-c), 又a>b>c, ∴a-c>0,a-b>0,b-c>0. ∴(a-c)=[(a-b)+(b-c)] ≥(1+1)2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c時,等號成立. ∴+≥. 類型二 利用柯西不等式求最值 例3 若3x+4y=2,試求x2+y2的最小值及最小值點. 解 由柯西不等式,得(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2, 即25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立,點(x,y)為所求最小值點. 解方程組得 因此,當(dāng)x=,y=時,x2+y2取得最小值,最小值為,最小值點為. 反思與感悟 利用柯西不等式求最值 (1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,是利用柯西不等式求解的先決條件. (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項,就可以應(yīng)用柯西不等式來解,這也是運用柯西不等式解題的技巧. (3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的,但在運用過程中,每運用一次前后等號成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會出現(xiàn)錯誤.多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 跟蹤訓(xùn)練3 已知a,b∈R,且9a2+4b2=18,求3a+2b的最值. 解 由柯西不等式,得(9a2+4b2)(12+12)≥(3a+2b)2, ∵9a2+4b2=18, ∴36≥(3a+2b)2. ∴|3a+2b|≤6. 由 即或時等號成立. ∴當(dāng)a=1,b=時,3a+2b有最大值6; 當(dāng)a=-1,b=-時,3a+2b有最小值-6. 1.已知a,b∈R,a2+b2=4,則3a+2b的最大值為( ) A.4 B.2 C.8 D.9 答案 B 解析 (a2+b2)(32+22)≥(3a+2b)2,當(dāng)且僅當(dāng)3b=2a時取等號,所以(3a+2b)2≤413.所以3a+2b的最大值為2. 2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則( ) A.a(chǎn)b≤ B.a(chǎn)b≥ C.a(chǎn)2+b2≥2 D.a(chǎn)2+b2≤3 答案 C 解析 ∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時,等號成立,∴a2+b2≥2. 3.設(shè)xy>0,則的最小值為________. 答案 9 解析 ∵=≥(1+2)2=9, 當(dāng)且僅當(dāng)xy=,即xy=時取等號. ∴最小值為9. 4.設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為________. 答案 解析 ∵(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2=25, ∴m2+n2≥5. ∴≥, 當(dāng)且僅當(dāng)an=bm時取等號. 5.已知a2+b2=1,求證:|acosθ+bsinθ|≤1. 證明 ∵1=a2+b2=(a2+b2)(cos2θ+sin2θ)≥(acosθ+bsinθ)2, ∴|acosθ+bsinθ|≤1. 1.利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù),應(yīng)用時要對照柯西不等式的原形,進行多角度的嘗試. 2.柯西不等式取等號的條件的記憶方法 如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2等號成立的條件是ad=bc,可以把a,b,c,d看成等比,則ad=bc來聯(lián)想記憶. 一、選擇題 1.已知a,b∈R+且a+b=1,則P=(ax+by)2與Q=ax2+by2的關(guān)系是( ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P>Q 答案 A 解析 設(shè)m=(x,y),n=(,), 則|ax+by|=|mn|≤|m||n|= ==, ∴(ax+by)2≤ax2+by2.即P≤Q. 2.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍是( ) A.[-2,2] B.[-2,2] C.[-,] D.(-,) 答案 A 解析 (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=-b 時,等號成立. ∵a2+b2=10,∴(a-b)2≤20. ∴-2≤a-b≤2. 3.函數(shù)y=+2的最大值是( ) A. B. C.3 D.5 答案 B 解析 根據(jù)柯西不等式知, y=1+2≤=(當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號). 4.若3x2+2y2≤1,則3x+2y的取值范圍是( ) A.[0,] B.[-,0] C.[-,] D.[-5,5] 答案 C 解析 (3x+2y)2≤[()2+()2][(x)2+(y)2]=5(3x2+2y2)≤5, ∴-≤3x+2y≤. 5.已知a,b,c,d,m,n∈R+,P=+,Q=,則P與Q的大小關(guān)系為( ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P=Q 答案 A 解析 ∵P=+≤ ==Q, ∴P≤Q. 6.已知a,b>0,且a+b=1,則(+)2的最大值是( ) A.2 B. C.6 D.12 答案 D 解析 (+)2=(1+1)2≤(12+12)(4a+1+4b+1) =2[4(a+b)+2]=2(41+2)=12, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=時等號成立. 二、填空題 7.設(shè)實數(shù)x,y滿足3x2+2y2≤6,則P=2x+y的最大值為________. 答案 解析 由柯西不等式,得 (2x+y)2≤[(x)2+(y)2] =(3x2+2y2)≤6=11 , 所以2x+y≤. 8.設(shè)x,y∈R+,則(x+y)的最小值是________. 答案 5+2 解析 (x+y)≥2=(+)2=5+2, 當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立. 9.已知x>0,y>0,且+=1,則2x+y的最小值為________. 答案 3+2 解析 2x+y=(2x+y)=[()2+()2] ≥2=3+2, 當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立, 又+=1, 則此時 10.已知函數(shù)f(x)=3+4,則函數(shù)f(x)的最大值為________. 答案 5 解析 由柯西不等式知, (3+4)2≤(32+42)[()2+()2]=25. 當(dāng)且僅當(dāng)3=4時,等號成立, 因此f(x)≤5. 三、解答題 11.設(shè)a,b∈R+,且a+b=2.求證:+≥2. 證明 根據(jù)柯西不等式,有 [(2-a)+(2-b)]=[()2+()2] ≥2=(a+b)2=4, ∴+≥=2. ∴原不等式成立. 12.試求函數(shù)f(x)=3cosx+4的最大值,并求出相應(yīng)的sinx和cosx的值. 解 設(shè)m=(3,4),n=(cosx,), 則f(x)=3cosx+4=mn≤|m||n| ==5. 當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時,上式取“=”. 此時3-4cosx=0, 解得sinx=,cosx=. 故當(dāng)sinx=,cosx=時, f(x)=3cosx+4取得最大值5. 13.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).求證:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 證明 由a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞), 及柯西不等式,可得 (ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2][()2+()2]≥(+)2=(a+b)2=x1x2, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x1=x2時取得等號. 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 四、探究與拓展 14.若a+b=1,則2+2的最小值為( ) A.1 B.2 C. D. 答案 C 解析 2+2=a2+2++b2+2+. ∵a+b=1, ∴a2+b2=(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2=. 又∵+≥≥=8, 以上兩個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,等號成立. ∴2+2≥+2+2+8=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立. 15.已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}. (1)求實數(shù)a,b的值; (2)求+的最大值. 解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 則解得a=-3,b=1. (2)+=+≤=2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=1時等號成立, 故(+)max=4.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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