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考點規(guī)范練23　解三角形 一、基礎(chǔ)鞏固 1.在△ABC中,c=3,A=75,B=45,則△ABC的外接圓的面積為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π4 B.π C.2π D.4π 答案B 解析在△ABC中,c=3,A=75,B=45, 故C=180-A-B=60. 設(shè)△ABC的外接圓半徑為R, 則由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1, 故△ABC的外接圓的面積S=πR2=π. 2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,則c=(　　) A.12 B.1 C.3 D.2 答案B 解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12, 整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故選B. 3.(2018廣東中山質(zhì)檢)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面積S=3,則b等于(　　) A.13 B.4 C.3 D.15 答案A 解析由題意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB, ∴cosB=12,∴B=π3. 又S=12acsinB=121c32=3,∴c=4. 又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13, ∴b=13. 4.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,sin A,sin B,sin C成等比數(shù)列,則這個三角形的形狀是(　　) A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 答案D 解析∵△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,∴B=π3. ∵sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列, ∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac. 在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3, ∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c. ∴△ABC為等邊三角形. 5.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (　　) A.30 B.45 C.60 D.75 答案B 解析依題意可得AD=2010m,AC=305m, 又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22,又0<∠CAD<180,所以∠CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 6.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,則△ABC的面積的最大值為(　　) A.43 B.23 C.2 D.3 答案A 解析∵在△ABC中,2a-cb=cosCcosB, ∴(2a-c)cosB=bcosC. ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA. ∴cosB=12,即B=π3. 由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, 故ac≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號, 因此,△ABC的面積S=12acsinB=34ac≤43,故選A. 7.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,則C=　　　　　. 答案π3 解析在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB, ∴(a-c)(a+c)b=a-b. ∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12. ∴C=π3. 8.在△ABC中,B=120,AB=2,A的角平分線AD=3,則AC=　　　　　. 答案6 解析由題意及正弦定理,可知ABsin∠ADB=ADsinB, 即2sin∠ADB=332,故∠ADB=45. 所以12A=180-120-45,故A=30, 則C=30,所以三角形ABC是等腰三角形. 所以AC=22sin60=6. 9. 某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:在C處(點C在水平地面下方,O為CH與水平地面ABO的交點)進(jìn)行該儀器的垂直彈射,水平地面上兩個觀察點A,B兩地相距100米,∠BAC=60,其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米,A地測得該儀器在C處的俯角為∠OAC=15,A地測得最高點H的仰角為∠HAO=30,則該儀器的垂直彈射高度CH為　　　　　米. 答案1406 解析由題意,設(shè)AC=x米,則BC=(x-40)米, 在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BACAcos∠BAC, 即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30+15=45, ∠CHA=90-30=60, 由正弦定理得CHsin∠CAH=ACsin∠AHC, 可得CH=ACsin∠CAHsin∠AHC=1406(米). 10.已知島A南偏西38方向,距島A 3 n mile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向島北偏西22方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5 h能截住該走私船? 參考數(shù)據(jù):sin38=5314,sin22=3314 解設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點,緝私艇的速度為xnmile/h, 則BC=0.5xnmile,AC=5nmile, 依題意,∠BAC=180-38-22=120, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120, 解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5327=5314,所以∠ABC=38. 又∠BAD=38,所以BC∥AD. 故緝私艇以14nmile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5h截住該走私船. 二、能力提升 11.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=(　　) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案B 解析由題意結(jié)合三角形的內(nèi)角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0, 整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0, 則sinC(sinA+cosA)=0, 因為sinC>0,所以sinA+cosA=0, 即tanA=-1,因為A∈(0,π),所以A=3π4. 由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC, 即sinC=12,所以C=π6,故選B. 12.(2018全國Ⅰ,文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為　　　　　. 答案233 解析由正弦定理及條件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則csinC=2R,所以a=R. 因為b2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0A,∴B=π3或2π3,∴C=π2或π6.