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考點(diǎn)規(guī)范練42　兩條直線的位置關(guān)系 一、基礎(chǔ)鞏固 1.已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直,垂足為(1,p),則m-n+p為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.24 B.20 C.0 D.-4 答案B 解析∵兩直線互相垂直,∴k1k2=-1, ∴-m425=-1,∴m=10. 又∵垂足為(1,p),∴代入直線10x+4y-2=0得p=-2, 將(1,-2)代入直線2x-5y+n=0得n=-12, ∴m-n+p=20. 2.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(　　) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 答案B 解析直線l1:y=k(x-4)恒過(guò)定點(diǎn)(4,0),其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2). 因?yàn)橹本€l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,所以直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2). 3.若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　) A.32 B.22 C.33 D.42 答案A 解析依題意知,AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距離相等的直線,則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離.設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l:x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式得|m+7|2=|m+5|2?|m+7|=|m+5|?m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為|-6|2=32. 4.已知平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線固定在A(3,-1),C(2,-3)兩點(diǎn),D點(diǎn)在直線3x-y+1=0上移動(dòng),則B點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0 C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0 答案A 解析設(shè)AC的中點(diǎn)為O,則O52,-2. 設(shè)B(x,y)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,y0), 即D(x0,y0),則x0=5-x,y0=-4-y, 由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0. 5. 如圖所示,已知兩點(diǎn)A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過(guò)的路程是 (　　) A.210 B.6 C.33 D.25 答案A 解析易得AB所在的直線方程為x+y=4,由于點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)為A1(4,2),點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A2(-2,0),則光線所經(jīng)過(guò)的路程即A1(4,2)與A2(-2,0)兩點(diǎn)間的距離.于是|A1A2|=(4+2)2+(2-0)2=210. 6.若直線l經(jīng)過(guò)直線y=2x+1和y=3x-1的交點(diǎn),且平行于直線2x+y-3=0,則直線l的方程為　　　　　　. 答案2x+y-9=0 解析直線y=2x+1與y=3x-1的交點(diǎn)為(2,5). 設(shè)直線l方程為2x+y+m=0,將(2,5)代入得m=-9. 故l方程為2x+y-9=0. 7.已知點(diǎn)A(1,3)關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱的點(diǎn)是B(-2,1),則直線y=kx+b在x軸上的截距是　　　　　. 答案56 解析由題意得線段AB的中點(diǎn)-12,2在直線y=kx+b上,故3-11+2k=-1,2=k-12+b,解得k=-32,b=54, 所以直線方程為y=-32x+54. 令y=0,即-32x+54=0,解得x=56,故直線y=kx+b在x軸上的截距為56. 8.已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3),求過(guò)兩點(diǎn)Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直線方程. 解方法一:∵P(2,3)是已知兩條直線的交點(diǎn), ∴2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0. 由題意可知,a1≠a2,∴b1-b2a1-a2=-23. 故所求直線方程為y-b1=-23(x-a1), 即2x+3y-(2a1+3b1)=0, ∴2x+3y+1=0. ∴過(guò)Q1,Q2兩點(diǎn)的直線方程為2x+3y+1=0. 方法二:∵點(diǎn)P是已知兩條直線的交點(diǎn), ∴2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0. 可見(jiàn)Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都滿足方程2x+3y+1=0. ∴過(guò)Q1,Q2兩點(diǎn)的直線方程為2x+3y+1=0. 9.已知兩條直線l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.當(dāng)m分別為何值時(shí),l1與l2: (1)相交?　(2)平行?　(3)垂直? 解(1)當(dāng)m=-5時(shí),顯然l1與l2相交但不垂直; 當(dāng)m≠-5時(shí),兩條直線l1和l2的斜率分別為k1=-3+m4,k2=-25+m,它們?cè)趛軸上的截距分別為b1=5-3m4,b2=85+m. 由k1≠k2,得-3+m4≠-25+m, 即m≠-7,且m≠-1. 則當(dāng)m≠-7,且m≠-1時(shí),l1與l2相交. (2)由k1=k2,b1≠b2,得-3+m4=-25+m,5-3m4≠85+m,解得m=-7. 則當(dāng)m=-7時(shí),l1與l2平行. (3)由k1k2=-1,得-3+m4-25+m=-1, 解得m=-133. 則當(dāng)m=-133時(shí),l1與l2垂直. 10.已知光線從點(diǎn)A(-4,-2)射出,到直線y=x上的B點(diǎn)后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn),又被y軸反射,這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)D(-1,6),求BC所在的直線方程. 解作出草圖如圖所示. 設(shè)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A,D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D, 則易得A(-2,-4),D(1,6). 由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C. 故BC所在的直線方程為y-6-4-6=x-1-2-1, 即10x-3y+8=0. 二、能力提升 11.三條直線l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0構(gòu)成一個(gè)三角形,則k的取值范圍是(　　) A.k∈R B.k∈R,且k≠1,k≠0 C.k∈R,且k≠5,k≠-10 D.k∈R,且k≠5,k≠1 答案C 解析若有兩條直線平行,或三條直線交于同一點(diǎn),則不能構(gòu)成三角形. 由l1∥l3,得k=5;由l2∥l3,得k=-5; 由x-y=0與x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,則k=-10. 若l1,l2,l3能構(gòu)成一個(gè)三角形, 則k≠5,且k≠-10,故選C. 12.點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,0)和到直線x=-1的距離相等,且P到直線y=x的距離等于22,這樣的點(diǎn)P共有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 答案C 解析設(shè)P(x,y), 由題意知(x-1)2+y2=|x+1|且22=|x-y|2, 所以y2=4x,|x-y|=1,即y2=4x,x-y=1①或y2=4x,x-y=-1,② 解得①有兩根,②有一根. 13.已知M=(x,y)y-3x-2=3,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=?,則a=(　　) A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.-2 答案A 解析集合M表示去掉一點(diǎn)A(2,3)的直線3x-y-3=0,集合N表示恒過(guò)定點(diǎn)B(-1,0)的直線ax+2y+a=0,因?yàn)镸∩N=?,所以兩直線要么平行,要么直線ax+2y+a=0與直線3x-y-3=0相交于點(diǎn)A(2,3). 因此-a2=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2. 14.已知點(diǎn)A(3,1),在直線y=x和y=0上各找一點(diǎn)M和N,使△AMN的周長(zhǎng)最短,則最短周長(zhǎng)為　　　　　. 答案25 解析由點(diǎn)A(3,1)及直線y=x,可求得點(diǎn)A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B(1,3),同理可求得點(diǎn)A關(guān)于y=0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C(3,-1),如圖所示. 則|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,當(dāng)且僅當(dāng)B,M,N,C四點(diǎn)共線時(shí),△AMN的周長(zhǎng)最短,為|BC|=25. 15.點(diǎn)P(2,1)到直線l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距離是　　　　　. 答案25 解析直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(0,-3),如圖所示. 由圖知,當(dāng)PQ⊥l時(shí),點(diǎn)P(2,1)到直線l的距離取得最大值,|PQ|=(2-0)2+(1+3)2=25,所以點(diǎn)P(2,1)到直線l的最大距離為25. 16.已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6),則反射光線所在直線的方程為　　　　　　　　　　. 答案6x-y-6=0 解析設(shè)點(diǎn)M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為M(a,b),則反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)M, 所以b-4a-(-3)1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0. 又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6), 所以所求直線的方程為y-06-0=x-12-1,即6x-y-6=0. 17.已知三條直線l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1與l2之間的距離是7510. (1)求a的值; (2)能否找到一點(diǎn)P,使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件: ①點(diǎn)P在第一象限; ②點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的12; ③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是2∶5. 若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,說(shuō)明理由. 解(1)因?yàn)橹本€l2:2x-y-12=0,所以兩條平行線l1與l2間的距離為d=a--1222+(-1)2=7510,所以a+125=7510,即a+12=72,又a>0,解得a=3. (2)假設(shè)存在點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0).若點(diǎn)P滿足條件②,則點(diǎn)P在與l1,l2平行的直線l:2x-y+c=0上,且|c-3|5=12c+125,即c=132或c=116,所以2x0-y0+132=0或 2x0-y0+116=0; 若點(diǎn)P滿足條件③,由點(diǎn)到直線的距離公式, 有|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2, 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0; 因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限,所以3x0+2=0不可能. 聯(lián)立2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=12(舍去); 聯(lián)立2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0,解得x0=19,y0=3718. 所以存在點(diǎn)P19,3718同時(shí)滿足三個(gè)條件. 三、高考預(yù)測(cè) 18.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根,且0≤c≤18,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是(　　) A.24,14 B.2,22 C.2,12 D.22,12 答案D 解析依題意得|a-b|=(a+b)2-4ab=1-4c, 當(dāng)0≤c≤18時(shí),22≤|a-b|=1-4c≤1.因?yàn)閮蓷l直線間的距離等于|a-b|2,所以兩條直線間的距離的最大值與最小值分別是22,2212=12.