《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 不等式 第1講 不等式的解法與三個(gè)“二次”的關(guān)系學(xué)案.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 不等式 第1講 不等式的解法與三個(gè)“二次”的關(guān)系學(xué)案.doc（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第1講 不等式的解法與三個(gè)“二次”的關(guān)系
[考情考向分析] 不等式是數(shù)學(xué)解題的重要工具，一元二次不等式是江蘇考試說(shuō)明中的C級(jí)內(nèi)容，高考會(huì)重點(diǎn)考查．主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立問(wèn)題，其次考查不等式與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用．
熱點(diǎn)一 不等式解法
例1 (1)(2018江蘇興化一中模擬)已知定義在區(qū)間[－2,2]上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)－2≤x＜0時(shí)，f(x)＝x2－x，則不等式f(x)≤x的解集為_________．
答案 [1,2]
解析 當(dāng)－2≤x＜0時(shí)，解f(x)≤x即x2－x≤x得0≤x≤2，舍去；
當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)2－(x－2)，
解f(x)≤x得x2－7x＋6≤0, 所以1≤x≤6 ，因此1≤x＜2；
當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝f(0)＝f(－2)＝＜2.
綜上，不等式f(x)≤x的解集為.
(2)解關(guān)于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
解 當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為x－2<0，所以x<2.
當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式化為a(x－2)>0，
①當(dāng)a>1時(shí)，<2，原不等式化為(x－2)>0，所以x<或x>2.
②當(dāng)a＝1時(shí)，＝2，原不等式化為(x－2)2>0，所以x∈R且x≠2.
③當(dāng)0
2，原不等式化為(x－2)>0，則x<2或x>.
④當(dāng)a<0時(shí)，<2，原不等式化為(x－2)<0，所以1時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠2}；
當(dāng)00時(shí)的情形．
跟蹤演練2 (1)已知m，n為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋mx＋n＜0的解集為(－1,3)，則m＋n的值為____________________________________________________________________．
答案?。?
解析 由題意得，－1,3為方程x2＋mx＋n＝0的兩根，因此解得m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5.
(2)(2018江蘇徐州三中月考)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b的值域?yàn)椋絷P(guān)于x的不等式f(x)>c－1的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為________．
答案?。?
解析 由題意得Δ＝0，a2＋4b＝0，
∴f(x)＝－2 ，由f(x)>c－1有解得c<1，
即2<1－c，－0，且a≠1)．若對(duì)于－1≤x10，且a≠1)，
設(shè)g(x)＝x2－ax＋3，
由題意得或
則2≤a<4或00對(duì)x∈(1,2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (－∞，2]
解析 不等式x2－kx＋k－1>0對(duì)x∈(1,2)恒成立可化為(1－x)k>1－x2對(duì)x∈(1,2)恒成立，
即k<1＋x對(duì)x∈(1,2)恒成立，
而函數(shù)y＝1＋x在(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以k≤1＋1＝2，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，2]．
(2)若關(guān)于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
答案
解析 方法一 設(shè)f(x)＝a|x|2－|x|＋2a，原不等式ax2－|x|＋2a<0的解集為?，即f(x)≥0恒成立，
令t＝|x|，即g(t)＝at2－t＋2a在[0，＋∞)上恒有g(shù)(t)≥0，則或解得a≥.
方法二 當(dāng)a＝0時(shí)，－|x|<0，不等式解集為{x|x≠0}，不滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，根據(jù)題意得
解得a≥.
綜上所述，a的取值范圍是.
1．(2018江蘇)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開_______．
答案 {x|x≥2}
解析 由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，
滿足x＞0，
所以函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≥2}．
2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案
解析 作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
則有
即解得－0的解集是________．
答案 (－∞，5a)∪(－a，＋∞)
解析 由x2－4ax－5a2>0，得(x－5a)(x＋a)>0，
因?yàn)閍<0，所以x<5a或x>－a.
3．函數(shù)y＝的定義域是R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．
答案 [0,1]
解析 由題意知，kx2＋4kx＋(k＋3)≥0的解集為R.
(1)當(dāng)k＝0時(shí)，不等式為3≥0，成立．
(2)當(dāng)k≠0時(shí)，kx2＋4kx＋(k＋3)≥0的解集為R等價(jià)于函數(shù)y＝kx2＋4kx＋(k＋3)的圖象與x軸至多有一個(gè)公共點(diǎn)，且圖象上的其他點(diǎn)總在x軸上方，
所以
解得00，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－∞，5)
解析 令f(x)＝2x2－ax＋2，若存在實(shí)數(shù)x∈[1,2]滿足2x2－ax＋2>0，則f(1)＞0或f(2)＞0，即4－a＞0或10－2a＞0，即a＜4或a＜5，故a＜5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，5)．
6．已知函數(shù) f(x)＝則不等式f(f(x))≤3的解集為________．
答案 (－∞，]
解析 由題意得f(f(x))≤3?f(x)≥0或?f(x)≥－3?x＜0或?x≤.
7．關(guān)于x的不等式x2－4ax＋4a2＋a＋≤0對(duì)任意x∈R都不成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1，＋∞)
解析 由題意，不等式x2－4ax＋4a2＋a＋≤0的解集為?，
則x2－4ax＋4a2＋a＋>0對(duì)任意x∈R恒成立，
∴Δ＝16a2－4<0，
即a＋>0，∴>0.
又∵a2－a＋1＝2＋>0恒成立，
∴a－1>0，即a>1.
8．已知對(duì)于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1,5]
解析 令f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，則當(dāng)Δ＝4(a－2)2－4a<0，即10在R上恒成立，符合題意；當(dāng)Δ≥0，即a≤1或a≥4時(shí)，函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都在[1,5]上，
則
解得4≤a≤5.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,5]．
9．已知集合A＝{x|(x－6)(x－2a－5)＞0}，集合B＝{x|[(a2＋2)－x](2a－x)＜0}．
(1)若a＝5，求集合A∩B；
(2)已知a>，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)由集合A中的不等式(x－6)(x－15)＞0，
解得x＜6或x＞15，
即A＝(－∞，6)∪(15，＋∞)，
集合B中的不等式為(27－x)(10－x)＜0，
即(x－27)(x－10)＜0，解得10＜x＜27，
即B＝(10,27)，∴A∩B＝(15,27)．
(2)當(dāng)a＞時(shí)，2a＋5＞6，
∴A＝(－∞，6)∪(2a＋5，＋∞)，
a2＋2＞2a，∴B＝(2a，a2＋2)，
∵x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，∴B?A，
∴a2＋2≤6，∴＜a≤2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
10．解關(guān)于x的不等式：x2－(3a＋1)x＋3a>0(a∈R)．
解 x2－(3a＋1)x＋3a＞0(a∈R)等價(jià)于(x－3a)(x－1)＞0(a∈R)．
(1)當(dāng)a＜時(shí)，3a＜1，∴x＜3a或x＞1；
(2)當(dāng)a＝時(shí)，3a＝1，∴x≠1；
(3)當(dāng)a＞時(shí)，3a＞1，∴x＜1或x＞3a；
綜上，原不等式的解集
(1)當(dāng)a＜時(shí)為(－∞，3a)∪(1，＋∞)；
(2)當(dāng)a＝時(shí)為(－∞，1)∪(1，＋∞)；
(3)當(dāng)a＞時(shí)為(－∞，1)∪(3a，＋∞)．
B組 能力提高
11．對(duì)任意x∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，則a的取值范圍為________．
答案 (－∞，1)
解析 函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的對(duì)稱軸為
x＝－＝.
①當(dāng)<－1，即a>6時(shí)，f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，
f(x)的值恒大于零等價(jià)于f(－1)＝1＋(a－4)(－1)＋4－2a>0，
解得a<3，故有a∈?；
②當(dāng)－1≤≤1，即2≤a≤6時(shí)，f(x)在[－1,1]上的最小值為f，
只要f＝2＋(a－4)＋4－2a>0，
即a2<0，故有a∈?；
③當(dāng)>1，即a<2時(shí)，f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，
只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0，
即a<1，故有a<1.
綜上，a的取值范圍是(－∞，1)．
12．已知函數(shù)f(x)＝loga(a>0且a≠1)在上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 ∪
解析 設(shè)g(x)＝ax2－x＋，x∈，需滿足g(x)＝ax2－x＋>0，即a>－，設(shè)h(x)＝－，則h′(x)＝，
∵x∈，∴h′(x)≤0，h(x)在上單調(diào)遞減，
∴max＝，
從而a>，可得函數(shù)g(x)＝ax2－x＋的對(duì)稱軸為
x＝<1，
從而函數(shù)g(x)＝ax2－x＋在上單調(diào)遞增，
當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
∴f(1)＝loga>0?a>，
當(dāng)0?2時(shí)，f(x)在[－1,1]上單調(diào)增，
g(a)＝f(－1)＝－a＋2.
綜上，g(a)＝
(2)設(shè)s，t為方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，
則
因?yàn)?≤b－2a≤1，
所以≤s≤(－1≤t≤1)．
當(dāng)0≤t≤1時(shí)，≤st≤，
設(shè)g(t)＝，則g′(t)＝，當(dāng)t∈[0,1]時(shí)，g′(t)≤0，設(shè)h(t)＝，則h′(t)＝，
當(dāng)t∈[0，－2)時(shí)，h′(t)＞0，當(dāng)t∈(－2,1]時(shí)，h′(t)＜0.
所以－≤≤0，－≤≤9－4，
所以－≤b≤9－4.
當(dāng)－1≤t＜0時(shí)，≤st≤，
因?yàn)楫?dāng)t∈[－1,0)時(shí)，g′(t)＞0，h′(t)＞0，
所以－2≤＜0和－3≤＜0，
所以－3≤b＜0.
故b的取值范圍是[－3,9－4]．
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