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第2講　三角恒等變換與解三角形 [考情考向分析]　正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計算.4.有關參數(shù)的范圍問題．由于此內(nèi)容應用性較強，與實際問題結合起來進行命題將是今后高考的一個關注點，不可輕視． 熱點一　三角恒等變換 例1　(1)若cos＝，則cos＝________. 答案　－ 解析　∵cos＝， ∴cos＝sin＝sin＝， ∴cos＝1－2sin2＝－. (2)在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作角α，角α＋的終邊經(jīng)過點P(－2,1)． ①求cos α的值； ②求cos的值． 解?、儆捎诮铅粒慕K邊經(jīng)過點P(－2,1)， 故cos＝－，sin＝， ∴cos α＝cos ＝coscos＋sinsin＝－. ②sin α＝sin ＝sincos－cossin＝， 則sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝－， cos＝coscos 2α＋sin sin 2α＝. 思維升華　(1)三角變換的關鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況． (2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解． 跟蹤演練1　(1)已知cos＝3sin，則tan＝________. 答案　2－4 解析　∵cos＝3sin， ∴－sin α＝－3sin， ∴sin α＝3sin＝3sin αcos＋3cos αsin ＝sin α＋cos α， ∴tan α＝， 又tan＝tan＝ ＝＝2－， ∴tan＝ ＝＝2－4. (2)(2018江蘇如東中學等五校聯(lián)考)已知α∈，且cos＝，則sin α的值是________． 答案　 解析　∵α∈，∴α－∈， 給合同角三角函數(shù)基本關系式有： sin＝＝， 則sin α＝sin ＝sincos＋cossin ＝＋＝. 熱點二　正弦定理、余弦定理 例2　(2018江蘇泰州中學調(diào)研)如圖，在圓內(nèi)接△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足acos C＋ccos A＝2bcos B. (1)求B的大小； (2)若點D是劣弧AC上一點，AB＝3，BC＝2，AD＝1，求四邊形ABCD的面積． 解　(1)方法一　設外接圓的半徑為R，則a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入得2Rsin Acos C＋2Rsin Ccos A＝22Rsin Bcos B， 即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B， 所以sin B＝2sin Bcos B. 所以sin B≠0，所以cos B＝. 又B是三角形的內(nèi)角， 所以B＝. 方法二　根據(jù)余弦定理，得a＋c＝2bcos B， 化簡得cos B＝. 因為00，∴sin A＝. 由余弦定理得cos A＝＝＝>0， ∴cos A＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝＝. 4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　因為00， 并結合sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 故△ABC的面積S＝acsin B＝. 5．已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期為. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域． 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1) ＝sin－， 因為函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝， 所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝sin－， 易得f(A)＝sin－. 因為sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列， 所以sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc， 所以cos A＝＝ ≥＝(當且僅當b＝c時取等號)． 因為00)， 則cos C＝＝－， 又∵C∈(0，π)， ∴sin C＝. 當BC＝1時，AC＝， ∴S△ABC＝1＝. 8.如圖，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分線DE與AB，AC分別交于D，E兩點，且DE＝，則BE2＝________. 答案　＋ 解析　如圖，連結CD，由題設，有∠BDC＝2A， 所以＝＝， 故CD＝. 又DE＝CDsin A＝＝， 所以cos A＝，而A∈(0，π)，故A＝， 因此△ADE為等腰直角三角形， 所以AE＝DE＝. 在△ABC中，∠ACB＝， 所以＝， 故AB＝＋1， 在△ABE中，BE2＝(＋1)2＋2－2(＋1)＝＋. 9．(2018江蘇)已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解　(1)因為tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 又因為sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)． 又因為cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因為tan α＝， 所以tan 2α＝＝－. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝＝－. 10．(2018江蘇揚州中學調(diào)研)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m＝(1,2)，n＝，且mn＝1. (1)求角A的大?。? (2)若b＋c＝2a＝2，求sin的值． 解　(1)由題意得mn＝cos 2A＋2cos2＝2cos2A－1＋cos A＋1＝2cos2A＋cos A， 又因為mn＝1，所以2cos2A＋cos A＝1， 解得cos A＝或cos A＝－1， ∵0， ∴0， ∴>＋＝2， 即>2. ∴的取值范圍是(2，＋∞)． 13．在銳角△ABC中，角A所對的邊為a，△ABC的面積S＝，給出以下結論： ①sin A＝2sin Bsin C； ②tan B＋tan C＝2tan Btan C； ③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C； ④tan Atan Btan C有最小值8. 其中正確結論的個數(shù)為________． 答案　4 解析　由S＝＝absin C，得a＝2bsin C， 又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正確； 由sin A＝2sin Bsin C， 得sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 兩邊同時除以cos Bcos C， 可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正確； 由tan(A＋B)＝， 且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， 所以＝－tan C， 整理移項得tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，故③正確； 由tan B＋tan C＝2tan Btan C， tan A＝－tan(B＋C)＝， 且tan A，tan B，tan C都是正數(shù)， 得tan Atan Btan C＝tan Btan C ＝tan Btan C＝， 設m＝tan Btan C－1，則m>0， tan Atan Btan C＝ ＝2＋4≥4＋4＝8， 當且僅當m＝tan Btan C－1＝1， 即tan Btan C＝2時取“＝”， 此時tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4， 所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正確． 14．已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)，若f(x)＝ab，且函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱． (1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圓的面積． 解　(1)f(x)＝ab＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ ＝sin(2x＋θ)， ∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱， ∴2＋θ＝kπ＋，k∈Z， ∴θ＝kπ＋，k∈Z， 又|θ|<，∴θ＝. ∴f(x)＝sin. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z. (2)∵f(A)＝sin＝， ∴sin＝1. ∵A∈(0，π)， ∴2A＋∈， ∴2A＋＝，∴A＝. 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝25＋12－252cos＝7， ∴a＝. 設△ABC外接圓的半徑為R， 由正弦定理得＝2R＝＝2， ∴R＝， ∴△ABC外接圓的面積S＝πR2＝7π.