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第4講　萬有引力與航天 A組　基礎(chǔ)過關(guān) 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2019寧夏銀川二中期末)如圖所示,A為地球赤道上的物體,B為地球同步衛(wèi)星,C為地球表面上北緯60處的物體。已知A、B的質(zhì)量相等。則下列關(guān)于A、B和C三個物體的說法中,正確的是(　　) A.A物體受到的萬有引力小于B物體受到的萬有引力 B.B物體的向心加速度小于A物體的向心加速度 C.A、B兩物體的軌道半徑的三次方與周期的二次方的比值相等 D.A和B兩物體的線速度的比值比C和B兩物體的線速度的比值大,且都小于1 答案　D　A、B兩物體的質(zhì)量相等,根據(jù)萬有引力定律F=GMmr2可知,A受到的萬有引力大于B受到的萬有引力,故A項錯誤;因A與B兩物體的角速度相等,由an=ω2r可知B的向心加速度大于A的向心加速度,故B項錯誤;A在地球表面,不是環(huán)繞地球做勻速圓周運動,因此它的軌道半徑與公轉(zhuǎn)周期的關(guān)系不滿足開普勒第三定律,故C項錯誤;根據(jù)v=ωr可知,B的線速度最大,C的線速度最小,因此A與B的線速度的比值大于C與B的線速度的比值,且均小于1,故D項正確。 2.(多選)(2017貴州黔南州三校聯(lián)考)組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的,這樣的星球有一個最大的自轉(zhuǎn)速率,如果超出了該速率,星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運動。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的星球,地球半徑為R,地球北極表面附近的重力加速度為g,引力常量為G,地球質(zhì)量為M,則地球的最大自轉(zhuǎn)角速度ω為(　　) A.2πGMR3 B.GMR3 C.gR D.2πRg 答案　BC　設(shè)地球赤道上有一質(zhì)量為m的物體,要維持該物體隨地球一起以最大角速度ω轉(zhuǎn)動,則物體與地球之間的萬有引力等于向心力,有GMmR2=mω2R,解得ω=GMR3,A項錯誤,B項正確;在地球北極表面附近有GMmR2=mg,則GM=gR2,代入上式可得ω=gR,C項正確,D項錯誤。 3.(多選)(2019山東荷澤期中)1798年,英國物理學家卡文迪許測出引力常量G,因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質(zhì)量的人。若已知引力常量G,地球表面處的重力加速度g,地球半徑R,地球上一個晝夜的時間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)、一年的時間T2(地球公轉(zhuǎn)周期),地球中心到月球中心的距離L1,地球中心到太陽中心的距離L2。你能計算出(　　) A.地球的質(zhì)量m地=gR2G B.太陽的質(zhì)量m太=4π2L23GT22 C.月球的質(zhì)量m月=4π2L13GT12 D.可求月球、地球及太陽的密度 答案　AB　對地球表面的質(zhì)量為m0的物體來說,應有m0g=Gm地m0R2,所以地球質(zhì)量m地=gR2G,A項正確;對地球繞太陽運動來說,有Gm太m地L22=m地4π2T22L2,則m太=4π2L23GT22,B項正確;對月球繞地球運動來說,可以求出地球質(zhì)量,由于不知道月球的相關(guān)參量及月球的衛(wèi)星的運動參量,所以無法求出它的質(zhì)量和密度,C、D項錯誤。 4.(多選)2020年左右我國將進行第一次火星探測,向火星發(fā)射軌道探測器和火星巡視器。已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的19,火星的半徑約為地球半徑的12。下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是(　　) A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可 B.發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以 C.發(fā)射速度應大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度 D.火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的23 答案　CD　要將火星探測器發(fā)射到火星上去,必須脫離地球引力,故發(fā)射速度要大于地球的第二宇宙速度,火星探測器仍在太陽系內(nèi)運轉(zhuǎn),因此從地球上發(fā)射時發(fā)射速度要小于地球的第三宇宙速度,選項A、B錯誤,C正確;由第一宇宙速度的概念,得GMmR2=mv12R,得v1=GMR,故火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度與地球的第一宇宙速度的比值約為29=23,選項D正確。 5.(2016天津理綜,3,6分)我國即將發(fā)射“天宮二號”空間實驗室,之后發(fā)射“神舟十一號”飛船與“天宮二號”對接。假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動,為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接,下列措施可行的是(　　) A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行,然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接 B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行,然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接 C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間實驗室,兩者速度接近時實現(xiàn)對接 D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間實驗室,兩者速度接近時實現(xiàn)對接 答案　C　對于繞地球做圓周運動的人造天體,由GMmr2=mv2r,有v=GMr∝1r,可見v與r是一一對應的。在同一軌道上運行速度相同,不能對接;而從同一軌道上加速或減速時由于發(fā)生變軌,二者不能處于同一軌道上,亦不能對接,A、B皆錯誤。飛船處于半徑較小的軌道上,要實現(xiàn)對接,需增大飛船的軌道半徑,飛船加速則軌道半徑變大,飛船減速則軌道半徑變小,C正確,D錯誤。 6.(多選)(2017江西上饒二模)某人造航天器在月球表面上空繞月球做勻速圓周運動,經(jīng)過時間t(t小于航天器的繞行周期),航天器運動的弧長為s,航天器與月球的中心連線掃過的角度為θ,引力常量為G,則(　　) A.航天器的軌道半徑為θs B.航天器的環(huán)繞周期為2πtθ C.月球的質(zhì)量為s3Gt2θ D.月球的密度為3θ24Gt2 答案　BC　根據(jù)幾何關(guān)系可得r=sθ,故A項錯誤;經(jīng)過時間t,航天器與月球的中心連線掃過的角度為θ,則tT=θ2π,得T=2πtθ,故B項正確;航天器由萬有引力提供向心力而做勻速圓周運動,所以GMmr2=m4π2T2r,得M=4π2r3GT2=4π2sθ3G2πtθ2=s3Gt2θ,故C項正確;月球的體積V=43πr3=43πsθ3,月球的密度ρ=MV=s3Gt2θ43πsθ3=3θ24πGt2,故D項錯誤。 7.(2019湖北襄陽期中)據(jù)《當代天文學》2016年11月17日報道,被命名為“開普勒11145123”的恒星距離地球5 000 光年,其赤道直徑和兩極直徑僅相差6公里,是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最圓天體。若該恒星的體積與太陽的體積之比約為k1,該恒星的平均密度與太陽的平均密度之比約為k2,則該恒星表面的重力加速度與太陽表面的重力加速度之比約為(　　) A.3k1k2 B.3k12k2 C.k23k1 D.k23k12 答案　A　將恒星視為球體,則體積V=43πR3∝R3,根據(jù)“黃金代換”,恒星表面的重力加速度g=GMR2=GρVR2∝ρR,所以g1g2=ρ1R1ρ2R2=ρ13V1ρ23V2=3k1k2,A項正確。 8.科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學家基普索恩的黑洞理論,加入人物和相關(guān)情節(jié)改編而成的。電影中的黑洞花費三十名研究人員將近一年的時間,用數(shù)千臺計算機精確模擬才得以實現(xiàn),讓我們看到了迄今為止最真實的黑洞模樣。若某黑洞的半徑R約為45 km,質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足MR=c22G(其中c=3108 m/s,G為引力常量),則該黑洞表面的重力加速度大約為(　　) A.108 m/s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2 答案　C　黑洞實際為一天體,天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力,設(shè)黑洞表面的重力加速度為g,對黑洞表面的某一質(zhì)量為m的物體,有GMmR2=mg,又有MR=c22G,聯(lián)立解得g=c22R,代入數(shù)據(jù)得重力加速度約為1012 m/s2,故選項C正確。 9.(2017安徽六安一中月考)如圖所示,A為太陽系中的天王星,它繞太陽O運行可視為做軌道半徑為R0、周期為T0的勻速圓周運動。天文學家經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn),天王星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離,且周期性地每隔t0時間發(fā)生一次最大偏離,天文學家認為出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是天王星外側(cè)還存在著另一顆行星B,假設(shè)行星B與A在同一平面內(nèi),且與A的繞行方向相同,繞O做勻速圓周運動,它對天王星的萬有引力導致了天王星軌道的偏離。由此可推測行星B的運動軌道半徑是(　　) A.t0t0-T0R0 B.R0t0t0-T03 C.R03t0-T0t02 D.R03t0t0-T02 答案　D　由軌道周期性地每隔t0時間發(fā)生一次最大偏離,可知每隔t0時間A、B兩行星相距最近,即每隔t0時間A行星比B行星多運行一圈,有2πT0t0-2πTBt0=2π,解得TB=t0T0t0-T0。根據(jù)萬有引力提供向心力有GMmr2=mr2πT2,則軌道半徑r=3GMT24π2,故R0=3GMT024π2,所以RB=R03t0t0-T02,故D正確。 10.(2017浙江名校協(xié)作體高三上學期聯(lián)考)我國首顆量子科學實驗衛(wèi)星“墨子”已于酒泉成功發(fā)射,在世界上首次實現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信?！澳印庇苫鸺l(fā)射至高度為500千米的預定圓形軌道。此前在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第二十三顆北斗導航衛(wèi)星G7。G7屬地球靜止軌道衛(wèi)星(高度約為36 000千米),它將使北斗系統(tǒng)的可靠性進一步提高。關(guān)于衛(wèi)星以下說法中正確的是(　　) A.這兩顆衛(wèi)星的運行速度可能大于7.9 km/s B.通過地面控制可以將G7定點于西昌正上方 C.量子科學實驗衛(wèi)星“墨子”的周期比G7小 D.量子科學實驗衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比G7小 答案　C　根據(jù)GmMr2=mv2r,知道軌道半徑越大,線速度越小,所以第一宇宙速度是繞地球做勻速圓周運動的最大速度,所以兩顆衛(wèi)星的運行速度均小于地球的第一宇宙速度,故A錯誤;地球靜止軌道衛(wèi)星即同步衛(wèi)星,只能定點于赤道正上方,故B錯誤;根據(jù)GmMr2=mr4π2T2,得T=4π2r3GM,所以量子科學實驗衛(wèi)星“墨子”的周期小,故C正確;衛(wèi)星的向心加速度a=GMr2,運動半徑小的量子科學實驗衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比G7大,故D錯誤。故選C。 11.(多選)(2019湖南長沙期末)暗物質(zhì)是二十一世紀物理學之謎,對該問題的研究可能帶來一場物理學的革命。為了探測暗物質(zhì),我國在2015年12月17日成功發(fā)射了一顆被命名為“悟空”的暗物質(zhì)探測衛(wèi)星。已知“悟空”在低于同步衛(wèi)星的軌道上繞地球做勻速圓周運動,經(jīng)過時間t(t小于其運動周期),運動的弧長為s,與地球中心連線掃過的角度為β(弧度),引力常量為G,則下列說法中正確的是(　　) A.“悟空”的線速度大于第一宇宙速度 B.“悟空”的向心加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度 C.“悟空”的環(huán)繞周期為2πtβ D.“悟空”的質(zhì)量為s3Gt2β 答案　BC　“悟空”的線速度小于第一宇宙速度,A錯誤。向心加速度a=GMr2,因r悟空a同,B正確。由ω=βt=2πT,得“悟空”的環(huán)繞周期T=2πtβ,C項正確。由題給條件不能求出“悟空”的質(zhì)量,D錯誤。 B組　能力提升 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 12.(2019河北石家莊二中月考)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星,a還未發(fā)射,在赤道表面上隨地球一起轉(zhuǎn)動,b是近地軌道衛(wèi)星(該衛(wèi)星的高度忽略不計),c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測衛(wèi)星,它們均做勻速圓周運動,各衛(wèi)星排列位置如圖所示,則下列說法正確的是(　　) A.a的向心加速度等于地球表面的重力加速度g B.在相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長 C.c在4小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是π6 D.d的運動周期有可能是20小時 答案　B　地球同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等,則知a與c的角速度相等,由an=ω2R知,a的向心加速度小于c的向心加速度,c的向心加速度小于地球表面的重力加速度g,所以a的向心加速度小于地球表面的重力加速度g,A項錯;a、b、c、d四顆衛(wèi)星中,b的線速度最大,所以在相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長,B項正確;c的運行周期為24小時,c在4小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角θ=ωt=2π244=π3,C項錯;由T=4π2r3GM知d的運行周期大于c的運行周期,大于24小時,D項錯。 13.(多選)(2018山東濟南模擬)探月衛(wèi)星的發(fā)射過程可簡化如下:首先進入繞地球運行的“停泊軌道”,在該軌道的P處,通過變速,再進入地月“轉(zhuǎn)移軌道”,在快要到達月球時,對衛(wèi)星再次變速,衛(wèi)星被月球引力“捕獲”后,成為環(huán)月衛(wèi)星,最終在環(huán)繞月球的“工作軌道”上繞月飛行(視為圓周運動),對月球進行探測。若探月衛(wèi)星在“工作軌道”上的運行周期為T,“工作軌道”距月球表面的高度為h,月球半徑為R,引力常量為G,忽略其他天體對探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞運動的影響。下列說法正確的是(　　) A.探月衛(wèi)星從“轉(zhuǎn)移軌道”進入“工作軌道”的過程中應減小速度 B.探月衛(wèi)星在“轉(zhuǎn)移軌道”上運動的速度不斷減小 C.探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞的線速度大小為2π(R+h)T D.月球的第一宇宙速度為2πRT 答案　AC　探月衛(wèi)星從“轉(zhuǎn)移軌道”進入“工作軌道”,減小速度才能使衛(wèi)星被月球引力捕獲,選項A正確;探月衛(wèi)星在“轉(zhuǎn)移軌道”上靠近月球時,引力做正功,其速度不斷增大,選項B錯誤;探月衛(wèi)星在“工作軌道”上運行的線速度大小為v=2π(R+h)T,選項C正確;設(shè)月球質(zhì)量為M,探月衛(wèi)星質(zhì)量為m,由萬有引力提供向心力得GMm(R+h)2=m(R+h)4π2T2,月球的第一宇宙速度v1=GMR,由以上兩式解得v1=2πT(R+h)3R,選項D錯誤。 14.(多選)同重力場作用下的物體具有重力勢能一樣,引力場作用下的物體同樣具有引力勢能。若取無窮遠處引力勢能為零,物體距星球球心距離為r時的引力勢能為Ep=-Gm0mr(G為引力常量)。設(shè)宇宙中有一個半徑為R的星球,宇航員在該星球上以初速度v0豎直向上拋出一個質(zhì)量為m的物體,不計空氣阻力,經(jīng)t秒后物體落回手中,則(　　) A.在該星球表面上以2v0Rt的初速度水平拋出一個物體,物體將不再落回星球表面 B.在該星球表面上以2v0Rt的初速度水平拋出一個物體,物體將不再落回星球表面 C.在該星球表面上以2v0Rt的初速度豎直拋出一個物體,物體將不再落回星球表面 D.在該星球表面上以2v0Rt的初速度豎直拋出一個物體,物體將不再落回星球表面 答案　ABD　設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g,對物體豎直上拋運動有:v0=gt2,在星球表面有:mg=Gm0mR2,設(shè)繞星球表面做圓周運動的衛(wèi)星的速度為v1,則mv12R=Gm0mR2,聯(lián)立解得v1=2v0Rt,故A正確;2v0Rt>2v0Rt,故B正確;從星球表面豎直拋出物體至無窮遠速度為零的過程,有12mv22+Ep=0,即12mv22=Gm0mR,解得v2=2v0Rt,故C錯誤,D正確。