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第二章 數(shù)列 滾動(dòng)訓(xùn)練(三) 一、填空題 1．在△ABC中，AB＝，A＝45，C＝75，則BC＝______. 考點(diǎn)　正弦定理的應(yīng)用 題點(diǎn)　正弦定理的應(yīng)用 答案　3－ 解析　設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. ∵AB＝，A＝45，C＝75， 由正弦定理，得＝ ?＝＝，解得BC＝3－. 2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　4 解析　設(shè)公差為d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝48，聯(lián)立解得d＝4. 3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊a，b，c滿足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，則△ABC的面積等于________． 考點(diǎn)　用余弦定理解三角形 題點(diǎn)　逆用面積公式、余弦定理解三角形 答案　2 解析　因?yàn)閎2＋c2＝a2＋bc，所以cosA＝＝，A＝，三角形面積S＝bcsinA＝2. 4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈________盞． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 答案　3 解析　由題可知，塔每一層的燈數(shù)由上至下構(gòu)成等比數(shù)列．設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3. 5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝2，BD＝2，∠ACD＝60，則AD＝________. 考點(diǎn)　幾何圖形中的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn)　四邊形有關(guān)的幾何圖形計(jì)算問(wèn)題 答案　 解析　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos60，解得BC＝，所以AC2＝AB2＋BC2，故BC⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝＝3，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2ACCDcos60＝7，所以AD＝. 6．已知△ABC的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值是________． 考點(diǎn)　用正弦、余弦定理解三角形 題點(diǎn)　用正弦、余弦定理解三角形 答案　 解析　設(shè)三邊長(zhǎng)分別為x－1，x，x＋1， 所以＝＝， 所以cosA＝＝， 解得x＝5，則三邊長(zhǎng)為4,5,6，所以cosA＝. 7．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　32 解析　設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，由題可知q≠1， 則解得 所以a8＝27＝25＝32. 8．已知{an}是首項(xiàng)為32的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且＝，則數(shù)列{|log2an|}的前10項(xiàng)和為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　等差等比基本量問(wèn)題綜合 答案　58 解析　根據(jù)題意＝＝q3，所以q＝，從而有an＝32n－1＝27－2n，所以log2an＝7－2n，所以有|log2an|＝|2n－7|，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝＋＝58. 9．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________. 考點(diǎn)　數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn)　裂項(xiàng)相消法求和 答案　 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由得 ∴Sn＝n1＋1＝， ＝＝2. ∴＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. 10．某沿海四個(gè)城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60，∠BCD＝135，AB＝80nmile，BC＝40＋30nmile，CD＝250nmile.現(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)以50nmile/h的速度向D直線航行，60min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，則收到指令時(shí)該輪船到城市C的距離是________nmile. 考點(diǎn)　解三角形求距離 題點(diǎn)　測(cè)量方向角求距離 答案　100 解析　在△ABC中，AC2＝802＋(40＋30)2－280(40＋30)cos60＝7500，則AC＝50， 所以sin∠ACB＝＝，所以cos∠ACB＝， sin∠ACD＝sin＝＝， 則cos∠ACD＝， AD2＝(50)2＋(250)2－250250， 可得AD＝50＝350， 設(shè)收到指令時(shí)該輪船到城市C的距離是x， 則＝， 求得x＝100. 11．若等比數(shù)列{an}的公比為，且a1＋a3＋…＋a99＝60，則{an}的前100項(xiàng)和為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn)　分組求和法 答案　80 解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，則S100＝X＋Y， 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)知：＝q＝， 所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 二、解答題 12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積． 考點(diǎn)　幾何圖形中的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn)　三角形有關(guān)的幾何圖形計(jì)算問(wèn)題 解　(1)由已知可得tanA＝－，又A∈(0，π)，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4ccos， 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4. (2)由題設(shè)可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝. 故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為 ＝1. 又△ABC的面積為42sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面積為. 13．如圖，已知平面上直線l1∥l2，A，B分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，C是l1，l2之間的一定點(diǎn)，C到l1的距離CM＝1，C到l2的距離CN＝，△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，a>b，且bcosB＝acosA. (1)判斷△ABC的形狀； (2)記∠ACM＝θ，f(θ)＝＋，求f(θ)的最大值． 考點(diǎn)　正弦、余弦定理與其他知識(shí)的綜合 題點(diǎn)　正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合 解　(1)由正弦定理得＝，且bcosB＝acosA，得sin2B＝sin2A， 又a>b，所以A>B，且A，B∈(0，π)，所以2A＋2B＝π，所以C＝，所以△ABC是直角三角形． (2)∠ACM＝θ，由(1)得∠BCN＝－θ， 則AC＝，BC＝， f(θ)＝＋＝cosθ＋sinθ＝cos， 所以當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)的最大值為. 14．已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連結(jié)點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 考點(diǎn)　數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn)　錯(cuò)位相減法求和 解　(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q. 由題意得 所以3q2－5q－2＝0， 由已知得q＞0， 所以q＝2，x1＝1. 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1. (2)過(guò)P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1， 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn， 由題意得bn＝2n－1＝(2n＋1)2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝32－1＋520＋721＋…＋(2n－1)2n－3＋(2n＋1)2n－2. ① 又2Tn＝320＋521＋722＋…＋(2n－1)2n－2＋(2n＋1)2n－1， ② ①－②得 －Tn＝32－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)2n－1 ＝＋－(2n＋1)2n－1. 所以Tn＝. 三、探究與拓展 15．在△ABC中，若＝，則△ABC的形狀一定是__________． 考點(diǎn)　判斷三角形形狀 題點(diǎn)　利用正弦、余弦定理、三角變換判斷三角形形狀 答案　等腰或直角三角形 解析　原式可化為＝?sin2A[sin(A－B)－sin(A＋B)]＋sin2B[sin(A－B)＋sin(A＋B)]＝0?－sin2AcosAsinB＋sin2BsinAcosB＝0?－sin2A＋sin2B＝0?sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝，故該三角形是等腰或直角三角形． 16．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對(duì)任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)． (1)設(shè)cn＝b－b，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (2)設(shè)a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求證：<. 考點(diǎn)　數(shù)列綜合問(wèn)題 題點(diǎn)　數(shù)列與不等式的綜合 證明　(1)由題意得b＝anan＋1， cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1. 因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2， 所以{cn}是等差數(shù)列． (2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2d ＝2d2n(n＋1)． 所以＝＝ ＝<.