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第16講 定積分與微積分基本定理
1.定積分的概念
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點a=x0
0)上的連續(xù)的偶函數(shù),則-aa f(x)dx=20a f(x)dx;如果f(x)是區(qū)間[-a,a](a>0)上的連續(xù)的奇函數(shù),則-aa f(x)dx=0.
題組一 常識題
1.[教材改編] 12 ex-2xdx= .
2.[教材改編] 03π sin xdx= .
3.[教材改編] 已知14 f(x)dx=8,則12 f(x)dx+24 f(x)dx= .
4.[教材改編] 直線y=x-4、曲線y=2x及x軸所圍成的封閉圖形的面積是 .
題組二 常錯題
◆索引:誤解積分變量致錯;定積分的值不一定是曲邊梯形的面積;弄錯原函數(shù)的定義域;f(x),g(x)的圖像與直線x=a,x=b所圍成的曲邊圖形的面積的表達式不清致錯.
5.定積分-12 (t2+1)dx= .
6.曲線y=-x2(x∈[-1,1])與x軸所圍成的封閉圖形的面積為 .
7.計算-2-1 1xdx= .
8.直線x=0,x=π2與曲線y=sin x,y=cos x所圍成的封閉圖形的面積S的定積分表達式是 .
探究點一 定積分的計算
例1 (1)已知函數(shù)f(x)=sinx,x∈[-π,0],1-x2,x∈(0,1],則-π1 f(x)dx=( )
A.2+π B.π2
C.-2+π2 D.π4-2
(2)[2018湖北咸寧重點高中聯(lián)考] 若01 (ex-2ax)dx=e,則a= .
[總結(jié)反思] (1)計算定積分的常用方法有三種:定義法、幾何意義法、微積分基本定理法.
(2)使用微積分基本定理的關(guān)鍵是找到一個函數(shù),使該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù).
變式題 (1)[2018曲靖一中月考] 已知0π2 sin(x-φ)dx=74,則sin 2φ=( )
A.34 B.916 C.-34 D.-34
(2)[2018萊蕪模擬] 12 2x+1xdx的值為 .
探究點二 利用定積分求曲邊梯形的面積
例2 (1)[2018貴陽模擬] 若函數(shù)f(x)=Asinωx-π6(A>0,ω>0)的部分圖像如圖2-16-1所示,則圖中陰影部分的面積為 ( )
圖2-16-1
A.12
B.14
C.2-34
D.2-32
(2)[2018江西臨川一中月考] 已知曲線y=x,y=2-x與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S,則S= .
[總結(jié)反思] (1)利用定積分求曲邊梯形的面積的基本步驟:畫草圖,解方程得積分上、下限,把面積表示為已知函數(shù)的定積分.
(2)注意:兩曲線的上、下位置關(guān)系,分段表示的面積之間的關(guān)系.
變式題 (1)如圖2-16-2所示的陰影部分的面積為 ( )
圖2-16-2
A.42 B.22
C.2 D.22
(2)[2018安徽江南十校聯(lián)考] 直線l過拋物線E:y2=8x的焦點且與x軸垂直,則直線l與E所圍成的封閉圖形的面積為 ( )
A.13 B.113 C.323 D.283
探究點三 定積分在物理中的應(yīng)用
例3 兩點之間相距112 m,一質(zhì)點從一點出發(fā),沿直線向另一點做變速直線運動,其速度方程是v=t+1(v的單位:m/s,t的單位:s).
(1)計算該質(zhì)點在前10 s所走的路程;
(2)計算該質(zhì)點在第5 s到第10 s所經(jīng)過的路程;
(3)計算該質(zhì)點到達另一點所需要的時間,以及該質(zhì)點在整個運動過程中的平均速度.
[總結(jié)反思] (1)做變速直線運動的物體在時間段[a,b]內(nèi)所經(jīng)過的路程S等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即S=ab v(t)dt.
(2)一物體在變力F=F(x)的作用下,在位移區(qū)間[a,b]內(nèi)所做的功W是函數(shù)F=F(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,即W=ab F(x)dx.
變式題 一物體在變力F(x)=36x2(單位:N)的作用下沿力的正方向運動,求物體從x=8 m處運動到x=18 m處這一過程中,變力對物體所做的功.
第16講 定積分與微積分基本定理
考試說明 1.了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.
2.了解微積分基本定理的含義.
【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.常數(shù) limn→∞∑i=1nb-anf(ξi) 被積 下 上
2.a b 0
3.kab f(x)dx ab f(x)dxab g(x)dx ac f(x)dx+cb f(x)dx
4.F(b)-F(a)
對點演練
1.e2-2ln 2-e [解析] 12 ex-2xdx=(ex-2ln x)12=e2-2ln 2-e.
2.2 [解析] 03π sin xdx=-cos x03π=2.
3.8 [解析] 12 f(x)dx+24 f(x)dx=14 f(x)dx=8.
4.403 [解析] 畫出圖形(圖略)可知,所求的面積S=04 2xdx+48 2xdx-48 (x-4)dx=223x3204+223x3248-12(x-4)248=403.
5.3t2+3 [解析] -12 (t2+1)dx=(t2+1)x-12=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.
6.23 [解析] 所求面積S=--11 (-x2)dx=201 x2dx=23.
7.-ln 2 [解析] 根據(jù)-2-1 1xdx的幾何意義,可得-2-1 1xdx=-12 1xdx=-ln x12=-ln 2.
本題若做成-2-1 1xdx=ln x-2-1則是錯誤的.
8.S=0π2 |sin x-cos x|dx
【課堂考點探究】
例1 [思路點撥] (1)根據(jù)定積分的幾何意義、定積分的性質(zhì)、微積分基本定理求解;(2)a是常量,確定原函數(shù),建立關(guān)于a的方程求解.
(1)D (2)-1 [解析] (1)-π1 f(x)dx=-π0 sin xdx+01 1-x2dx,又-π0 sin xdx=-cos x-π0=-2,01 1-x2dx的幾何意義是以原點為圓心,1為半徑的圓的面積的14,故01 1-x2dx=14π,∴-π1 f(x)dx=π4-2,故選D.
(2)∵01 (ex-2ax)dx=(ex-ax2)01=e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
變式題 (1)B (2)3+ln 2 [解析] (1)根據(jù)微積分基本定理,得0π2 sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)0π2,即-cosπ2-φ+cos(-φ)=cos φ-sin φ=74,兩邊平方,得1-sin 2φ=716,所以sin 2φ=1-716=916,故選B.
(2)12 2x+1xdx=(x2+ln x)12=4+ln 2-1-0=3+ln 2.
例2 [思路點撥] (1)由圖像求出函數(shù)解析式,然后利用定積分求得圖中陰影部分的面積;(2)先作出草圖(可略),確定被積函數(shù)與積分區(qū)間,再利用定積分求面積.
(1)C (2)76 [解析] (1)由圖像可知,A=1,T2=π3--π6=π2,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin2x-π6.
所以圖中陰影部分的面積S=-0π12 sin2x-π6dx=12cos2x-π60π12=12cosπ6-π6-cos-π6=121-32=2-34,故選C.
(2)由題意得,曲線y=x,y=2-x與x軸所圍成的封閉圖形的面積S=01 xdx+12 (2-x)dx=23x3201+2x-12x212=23+2-32=76.
變式題 (1)B (2)C [解析] (1)根據(jù)定積分的幾何意義可得,陰影部分的面積S=π45π4 (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)π45π4=22,故選B.
(2)由題意得,直線l的方程為x=2,
將y2=8x化為y=22x.
由定積分的幾何意義得,所求面積S=202 (22x)dx=4202 x12dx=4223x3202=422322=323.
例3 [思路點撥] 第(1)(2)問只要根據(jù)定積分的物理意義求解即可,第(3)問先求函數(shù)v=t+1在[0,x]上的定積分,再求使得這個定積分等于112時的x值,x的值即為質(zhì)點的運動時間.
解:(1)該質(zhì)點在前10 s所走的路程S1=010 (t+1)dt=12t2010+t010=60(m).
(2)該質(zhì)點在第5 s到第10 s所經(jīng)過的路程S2=510 (t+1)dt=12t2510+t510=42.5(m).
(3)設(shè)質(zhì)點到達另一點所需要的時間為x,顯然x>0,則根據(jù)題意有0x (t+1)dt=112,即12t2+t0x=112,即12x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,則該質(zhì)點到達另一點所需要的時間是14 s,整個運動過程中的平均速度是11214=8(m/s).
變式題 解:由題意得,變力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在[8,18]上的定積分,
即818 F(x)dx=-36x-1818=(-3618-1)-(-368-1)=(-2)--92=52.
從而可得變力F(x)在這一過程中所做的功為52 J.
【備選理由】 例1考查定積分的計算,特別是需要結(jié)合函數(shù)的奇偶性與定積分的幾何意義進行分析,有一定的綜合性;例2考查根據(jù)圖像求解函數(shù)解析式的能力以及分段計算定積分的方法;例3在知識點的交匯處命題,將利用定積分求面積與幾何概型結(jié)合起來考查.
例1 [配合例1使用] [2019深圳外國語學(xué)校月考] 給出下列函數(shù):①f(x)=xsin x;②f(x)=ex+x;③f(x)=ln(1+x2-x).存在a>0,使得-aa f(x)dx=0的函數(shù)是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
[解析] B 對于①,f(x)=xsin x是偶函數(shù),當x∈(0,π)時,f(x)>0,當x∈(π,2π)時,f(x)<0,作出f(x)=xsin x在[0,2π]上的圖像,如圖所示,設(shè)曲線y=xsin x(x∈[0,π])與x軸圍成的圖形的面積為S1,曲線y=xsin x(x∈[π,2π])與x軸圍成的圖形的面積為S2,由圖可知S10(a>0),即不存在滿足題意的a;對于③,f(x)=ln(1+x2-x)是奇函數(shù),所以對于任意a>0,-aa f(x)dx=0都成立.綜上可知,①③中的函數(shù)滿足題意.故選B.
例2 [配合例1使用] 已知函數(shù)y=f(x)的圖像為如圖所示的折線ABC,則-11 [(x+1)f(x)]dx=( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
[解析] D 由圖易知f(x)=-x-1,-1≤x≤0,x-1,0
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