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第17講　任意角和弧度制及任意角的三角函數 1.角的概念的推廣 (1)定義:角可以看成平面內的一條射線繞著　　　　從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形. (2)分類:按旋轉方向分為　　　　、　　　　和零角;按終邊位置分為　　　　和軸線角. (3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,構成的角的集合是S=　. 2.弧度制的定義和公式 (1)定義:把長度等于　　　　的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad. (2)公式: 角α的弧度數的絕對值 |α|=lr(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1=π180 rad,②1 rad=180π 弧長公式 弧長l=　　　 扇形面積公式 S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函數 (1)定義:設α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=yx(x≠0). (2)幾何表示(單位圓中的三角函數線):圖3-17-1中的有向線段OM,MP,AT分別稱為角α的　　　　　、　　　　　和　　　　　. (Ⅰ)　　　　　　 (Ⅱ) (Ⅲ)　　　　　　 (Ⅳ) 圖3-17-1 常用結論 象限角與軸線角 (1)象限角 (2)軸線角 題組一　常識題 1.[教材改編] 終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是　　　　　　　　　. 2.[教材改編] (1)6730=　　　　rad;(2)π12= 　　　　. 3.[教材改編] 半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角α的弧度數是　　　　. 4.[教材改編] 若角α的終邊經過點P(-1,2),則sin α-cos α+tan α=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:對角的范圍把握不準;不能據函數值的符號確定角所在的象限;不熟悉角在不同象限時對應的三角函數值的符號;求弧長或者扇形面積把角化為弧度數時出錯. 5.在△ABC中,若sin A=22,則A=　　　　. 6.已知P(-3,y)為角β的終邊上的一點,且sin β=1313,則y=　　　　. 7.當α為第二象限角時,|sinα|sinα-cosα|cosα|的值是　　　　. 8.若一扇形的圓心角為72,半徑為20 cm,則扇形的面積為　　　　cm2. 探究點一　角的集合表示及象限角的判定 例1 (1)[2018長春一模] 若角α的頂點為坐標原點,始邊在x軸的非負半軸上,終邊在直線y=-3x上,則角α的所有取值的集合是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.αα=2kπ-π3,k∈Z B.α|α=2kπ+2π3,k∈Z C.α|α=kπ-2π3,k∈Z D.α|α=kπ-π3,k∈Z (2)集合α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范圍(陰影部分)是 (　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 圖3-17-2 [總結反思] (1)角α(0≤α<2π)與角2kπ+α(k∈Z)的終邊相同; (2)要求角β所在的象限,只需將角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,則角α所在的象限即為角β所在的象限. 變式題 (1)設集合M=x|x=k2180+45,k∈Z,N=x|x=k4180+45,k∈Z,那么 (　　) A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)若角α的終邊在x軸的上方,則α2是第　　　　象限角. 探究點二　扇形的弧長、面積公式 例2 (1)若圓弧長度等于該圓內接等腰直角三角形的周長,則其圓心角的弧度數是　　　　. (2)已知扇形的圓心角為60,其弧長為π,則此扇形的面積為　　　　. [總結反思] 應用弧度制解決問題的策略:(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度;(2)涉及求扇形面積最大值的問題,常轉化為二次函數的最值問題,利用配方法使問題得到解決;(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形. 變式題 (1)將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是 (　　) A.π3 B.π6 C.-π3 D.-π6 (2)若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時,扇形圓心角的弧度數是　　　　. 探究點三　三角函數的定義 角度1　三角函數定義的應用 例3 (1)[2018濟南二模] 已知角α的終邊經過點P(m,-2m),其中m≠0,則sin α+cos α等于 (　　) A.-55 B.55 C.-35 D.35 (2)[2018北京通州區(qū)三模] 在平面直角坐標系xOy中,角α以Ox為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點12,y,則sin α=　　　　. [總結反思] 三角函數的定義主要應用于兩方面: (1)已知角的終邊上一點P的坐標,則可先求出點P到原點的距離,然后用三角函數定義求解三角函數值.特別地,若角α的終邊落在某條直線上,一般要分類討論. (2)已知角α的某個三角函數值,可依據三角函數值設出角α終邊上某一符合條件的點的坐標來解決相關問題. 角度2　三角函數值的符號判定 例4 (1)若sin θcos θ<0,tanθsinθ>0,則角θ是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)若α為第二象限角,則cos 2α,cosα2,1sin2α,1cosα2中,其值必為正的有 (　　) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 [總結反思] 判斷三角函數值的符號,關鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號,特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況. 角度3　三角函數線的應用 例5 [2018嘉興模擬] 已知α∈π2,3π4,a=sin α,b=cos α,c=tan α,那么a,b,c的大小關系是 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b [總結反思] 利用三角函數線比較大小或解三角不等式,通常采用數形結合的方法,一般來說sin x≥b,cos x≥a,只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點與交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據方向即可確定相應的x的范圍. 變式題 函數f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定義域為　　　　　　　　　　　. 第17講　任意角和弧度制及任意角的三角函數 考試說明 1.任意角、弧度制 (1)了解任意角的概念和弧度制的概念. (2)能進行弧度與角度的互化. 2.理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.(1)端點　(2)正角　負角　象限角　(3){β|β=α+k360,k∈Z} 2.(1)半徑長　(2)|α|r 3.(1)y　x　(2)余弦線　正弦線　正切線 對點演練 1.{α|α=k360+45,k∈Z}　[解析] 終邊落在第一象限角平分線上的最小正角為45,所以與其終邊相同的角的集合為{α|α=k360+45,k∈Z}. 2.(1)38π　(2)15　[解析] (1)6730=67.5π180=3π8(rad);(2)π12=π12180π=15. 3.1.2　[解析] 根據圓心角弧度數的計算公式得,α=144120=1.2. 4.35-105　[解析] r=(-1)2+22=5,所以sin α=25=255,cos α=-15=-55,tan α=2-1=-2,所以sin α-cos α+tan α=35-105. 5.π4或34π　[解析] 因為00,cos α<0, ∴|sinα|sinα-cosα|cosα|=1-(-1)=2. 8.80π　[解析] 72=2π5 rad,∴S扇形=12αr2=122π5202=80π(cm2). 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)先求出直線y=-3x的傾斜角,再根據終邊相同的角的要求得出角α的取值集合;(2)對k分奇數和偶數兩種情況分析角α所表示的范圍. (1)D　(2)C　[解析] (1)因為直線y=-3x的傾斜角是2π3,所以終邊落在直線y=-3x上的角α的取值集合為αα=kπ-π3,k∈Z.故選D. (2)當k=2n(n∈Z)時,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此時α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣;當k=2n+1(n∈Z)時,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此時α表示的范圍與5π4≤α≤3π2表示的范圍一樣.故選C. 變式題　(1)B　(2)一或三　[解析] (1)M中,x=k2180+45=k90+45=45(2k+1),k∈Z,2k+1是奇數;N中,x=k4180+45=k45+45=45(k+1),k∈Z,k+1是整數.綜上可知,必有M?N. (2)∵角α的終邊在x軸的上方, ∴k360<α<180+k360,k∈Z,∴k180<α2<90+k180,k∈Z. 當k=2n(n∈Z)時, 有n360<α2<90+n360,可知α2為第一象限角; 當k=2n+1(n∈Z)時, 有n360+180<α2<270+n360,可知α2為第三象限角. 例2　[思路點撥] (1)找出弧長與半徑,用弧度制公式求解;(2)設扇形的半徑為r,根據弧長公式可求出r的值,再由扇形的面積公式即可得出結論. (1)2+22　(2)3π2　[解析] (1)設圓的半徑為r,則圓內接等腰直角三角形的斜邊長為2r,一條直角邊長為2r,所以周長為2r+22r,所以圓弧所對圓心角的弧度數是2r+22rr=2+22. (2)設扇形的半徑為r, ∵扇形的圓心角為60,它的弧長為π, ∴60πr180=π,解得r=3, ∴S扇形=12π3=3π2. 變式題　(1)C　(2)2　[解析] (1)將表的分針撥快應按順時針方向旋轉,為負角,故選項A,B不正確;又因為撥快10分鐘,故應轉過的角的絕對值大小為周角的16,即為-162π=-π3. (2)設扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面積S=12lr=12(18-2r)r=-r2+9r,當r=92時,S取得最大值,此時l=18-2r=9,所以圓心角的弧度數是lr=992=2. 例3　[思路點撥] 利用任意角的三角函數的定義求解. (1)B　(2)-32　[解析] (1)∵角α的終邊經過點P(m,-2m),其中m≠0,∴r=m2+(-2m)2=5m2=5|m|. 當m>0時,sin α=-2m5m=-25,cos α=m5m=15,∴sin α+cos α=-55; 當m<0時,sin α=-2m-5m=25,cos α=m-5m=-15,∴sin α+cos α=55. ∴sin α+cos α=55. (2)∵角α以Ox為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點12,y,∴y=-1-122=-32, ∴sin α=yr=-321=-32. 例4　[思路點撥] (1)根據條件確定sin θ,cos θ的符號,再確定θ所在的象限;(2)根據α為第二象限角,分別確定2α,α2的終邊所在的象限,再根據象限確定對應函數值的符號. (1)D　(2)A　[解析] (1)由tanθsinθ>0,得1cosθ>0,所以cos θ>0.又sin θcos θ<0,所以sin θ<0,所以θ為第四象限角,故選D. (2)由題意知,2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z),則4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z), 所以2α的終邊在第三、第四象限或y軸的負半軸上,所以sin 2α<0,cos 2α可正可負也可為零.因為kπ+π4<α2cos α>tan α,即a>b>c. 方法二:此題也可采用特值法.∵α∈π2,3π4,∴可取α=2π3,此時a=sin α=32,b=cos α=-12,c=tan α=-3,即a>b>c,故選A. 變式題　x2kπ+π3≤x<2kπ+3π4,k∈Z　[解析] 由題意得,自變量x應滿足1-2cosx≥0,sinx-22>0,即cosx≤12,sinx>22,則如圖中陰影部分所示,不等式組的解集為x2kπ+π3≤x<2kπ+3π4,k∈Z. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查判斷弧度制下的角所在的象限問題;例2考查弧長公式與等差數列的綜合問題;例3強化對三角函數定義的理解與應用,并給出了方法二,即利用同角三角函數的基本關系也可求解;例4考查三角函數線的基本應用. 例1　[配合例1使用] 若角α=-4,則α的終邊在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] B　因為-3π2<α=-4<-π,所以依據負角的定義可知α的終邊在第二象限.故選B. 例2　[配合例2使用] 如圖所示,一條螺旋線是用以下方法畫成的:△ABC是邊長為1的正三角形,曲線CA1,A1A2,A2A3分別是以A,B,C為圓心,以AC,BA1,CA2為半徑畫的弧,曲線CA1A2A3稱為螺旋線旋轉一圈,然后又以A為圓心,AA3為半徑畫弧……這樣畫到第n圈,則所得整條螺旋線的長度ln=　　　　.(用π表示即可) [答案] n(3n+1)π [解析] 設第n段弧的弧長為an,由弧長公式可得a1=2π3,a2=2π32,a3=2π33,…, 所以數列{an}是以2π3為首項,2π3為公差的等差數列.畫到第n圈,有3n段弧,故所得整條螺旋線的長度ln=a1+a2+a3+…+a3n=2π3(1+2+3+…+3n)=n(3n+1)π. 例3　[配合例3使用] 若點P(3,y)是角α終邊上的一點,且滿足y<0,cos α=35,則tan α= (　　) A.-34 B.34 C.43 D.-43 [解析] D　方法一:由題意知,r=32+y2,所以cos α=332+y2=35,解得y=-4或y=4(舍),所以tan α=-43. 方法二:因為點P(3,y)是角α終邊上的一點,且滿足y<0,cos α=35, 所以sin α=-1-cos2α=-45, 所以tan α=sinαcosα=-43,故選D. 例4　[配合例5使用] [2018北京首師大附中月考] 已知cos α≤-12,則角α的取值范圍為　　　　　　　　　. [答案] α2kπ+23π≤α≤2kπ+43π,k∈Z [解析] 如圖所示,作出直線x=-12,交單位圓于C,D兩點,連接OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍,故滿足條件的角α的取值范圍為α2kπ+23π≤α≤2kπ+43π,k∈Z.