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課時規(guī)范練54　坐標系與參數方程 基礎鞏固組 1.已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數). (1)寫出曲線C的參數方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 2.(2017遼寧大連一模,文22)已知在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=4cos θ,直線l的參數方程為x=1-255t,y=1+55t(t為參數). (1)求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程; (2)若曲線C2的參數方程為x=2cosα,y=sinα(α為參數),曲線C1上點P的極角為π 4,Q為曲線C2上的動點,求PQ的中點M到直線l距離的最大值. 3.(2017安徽馬鞍山一模,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=cosα,y=1+sinα(α為參數,α∈R),在以坐標原點為極點,x軸非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρsinθ-π 4=2. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)若曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點,求|AB|的值. 4.在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程; (2)直線l的參數方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數),l與C交于A,B兩點,|AB|=10,求l的斜率. 5.在直角坐標系xOy中,曲線C1:x=tcosα,y=tsinα(t為參數,t≠0),其中0≤α<π.在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=23cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標; (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值. ?導學號24190956? 綜合提升組 6.(2017山西臨汾三模,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α(α為參數),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C2的極坐標方程為ρsinθ-π 4=22m. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程; (2)若曲線C1與曲線C2有公共點,求實數m的取值范圍. 7.(2017山西太原二模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=2cosφ,y=sinφ(其中φ為參數),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ(tan αcos θ-sin θ)=1α為常數,0<α<π,且α≠π 2,點A,B(A在x軸下方)是曲線C1與C2的兩個不同交點. (1)求曲線C1普通方程和C2的直角坐標方程; (2)求|AB|的最大值及此時點B的坐標. 8.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ+π 4=22. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. ?導學號24190957? 創(chuàng)新應用組 9.(2017遼寧沈陽三模,22)已知曲線C的參數方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數),在同一平面直角坐標系中,將曲線C上的點按坐標變換x=12x,y=13y得到曲線C,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系. (1)求曲線C的極坐標方程; (2)若過點A32,π (極坐標)且傾斜角為π 6的直線l與曲線C交于M,N兩點,弦MN的中點為P,求|AP||AM||AN|的值. 10.(2017河北邯鄲二模,文22)在極坐標系中,已知三點O(0,0),A2,π 2,B22,π 4. (1)求經過O,A,B的圓C1的極坐標方程; (2)以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,圓C2的參數方程為x=-1+acosθ,y=-1+asinθ(θ是參數),若圓C1與圓C2外切,求實數a的值. 答案： 1.解(1)曲線C的參數方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數).直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為d=55|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|=dsin30 =255|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tan α=43. 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255. 當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255. 2.解 (1)曲線C1的極坐標方程為ρ=4cos θ,即ρ2=4ρcos θ, 可得直角坐標方程:C1:x2+y2-4x=0. 直線l的參數方程為x=1-255t,y=1+55t(t為參數), 消去參數t可得普通方程:x+2y-3=0. (2)P22,π 4,直角坐標為(2,2),Q(2cos α,sin α),M1+cosα,1+12sinα, ∴M到l的距離 d=|1+cosα+2+sinα-3|5 =105sinα+π 4≤105, 從而最大值為105. 3.解 (1)由x=cosα,y=1+sinα?x=cosα,y-1=sinα?x2+(y-1)2=1, 由ρsinθ-π 4=2?22ρsin θ-22ρcos θ=2?y-x=2,即C2:x-y+2=0. (2)∵直線x-y+2=0與圓x2+(y-1)2=1相交于A,B兩點, 又x2+(y-1)2=1的圓心(0,1),半徑為1, 故圓心到直線的距離d=|0-1+2|12+(-1)2=22, ∴|AB|=212-222=2. 4.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標方程ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R). 設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44. 由|AB|=10得cos2α=38,tan α=153. 所以l的斜率為153或-153. 5.解 (1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-23x=0. 聯立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0, 解得x=0,y=0或x=32,y=32. 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和32,32. (2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的極坐標為(2sin α,α),B的極坐標為(23cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sinα-π 3. 當α=5π6時,|AB|取得最大值,最大值為4. 6.解 (1)曲線C1的參數方程為 x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α, 消去參數,可得y=x2(-2≤x≤2),由ρsinθ-π 4=22m,得22ρsin θ-22ρcos θ=22m,所以曲線C2的直角坐標方程為x-y+m=0. (2)由y=x2,x-y+m=0,可得x2-x-m=0, ∵曲線C1與曲線C2有公共點, ∴m=x2-x=x-122-14. ∵-2≤x≤2,∴-14≤m≤6. 7.解(1)曲線C1的參數方程為x=2cosφ,y=sinφ(其中φ為參數),普通方程為x24+y2=1; 曲線C2的極坐標方程為ρ(tan αcos θ-sin θ)=1,直角坐標方程為xtan α-y-1=0. (2)C2的參數方程為x=tcosα,y=-1+tsinα(t為參數),代入x24+y2=1,得14 cos2α+sin2αt2-2tsin α=0, ∴t1+t2=2sinα14cos2α+sin2α, ∴|AB|=2sinα14cos2α+sin2α=83sinα+1sinα, ∵0<α<π,且α≠π 2, ∴sin α∈(0,1), ∴|AB|max=433,此時B的坐標為433,13. 8.解 (1)C1的普通方程為x23+y2=1,C2的直角坐標方程為x+y-4=0. (2)由題意,可設點P的直角坐標為(3cos α,sin α). 因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值, d(α)=|3cosα+sinα-4|2=2sinα+π 3-2. 當且僅當α=2kπ+π 6(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為2,此時P的直角坐標為32,12. 9.解 (1)C:x=2cosθ,y=3sinθ?x24+y23=1,x=12x,y=13y?x=2x,y=3y, 代入C的普通方程可得x2+y2=1, 因為ρ2=x2+y2,所以曲線C的極坐標方程為C:ρ=1. (2)點A32,π 的直角坐標是A32,0, 將l的參數方程x=-2+tcos π 6,y=tsin π 6 代入x2+y2=1, 可得4t2-63t+5=0,∴t1+t2=332,t1t2=54, |AP||AM||AN|=t1+t22|t1t2|=335. 10.解 (1)將O,A,B三點化成直角坐標為O(0,0),A(0,2),B(2,2). ∴圓C1的圓心為(1,1),半徑為2, ∴圓C1的普通方程為(x-1)2+(y-1)2=2, 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入普通方程得ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ=0, ∴ρ=22sinθ+π 4. (2)∵圓C2的參數方程為x=-1+acosθ,y=-1+asinθ(θ是參數), ∴圓C2的普通方程為(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圓C2的圓心為(-1,-1),半徑為|a|. ∵圓C1與圓C2外切, ∴22=2+|a|,解得a=2.