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課時規(guī)范練46　拋物線 基礎鞏固組 1.(2017廣西桂林一模,文4)若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,2)到其焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.1 C.32 D.2 2.O為坐標原點,F為拋物線C:y2=42x的焦點,P為拋物線C上一點,若|PF|=42,則△POF的面積為(　　) A.2 B.22 C.23 D.4 3.過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標為3,則|AB|等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(2017山西運城模擬)已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點,若MN中點的橫坐標為3,則此拋物線方程為(　　) A.x2=32y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y 5.(2017河北張家口4月模擬,文6)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,若|AB|=6,則線段AB的中點M的橫坐標為(　　) A.2 B.4 C.5 D.6 6.(2017河南洛陽一模,文11)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點,F為拋物線C的焦點,若|FA|=2|FB|,則點A到拋物線的準線的距離為 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 7.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A,B,交其準線l于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為 (　　) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=3x 8.已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為　　　　　. 9.已知點F為拋物線y2=12x的焦點,過點F的直線l與拋物線在第一象限內(nèi)的交點為A,過A作AH垂直拋物線的準線于H,若直線l的傾斜角α∈0,π3,則△AFH面積的最小值為　　　　　. 10.(2017廣東江門一模,文10改編)F是拋物線y2=2x的焦點,以F為端點的射線與拋物線相交于點A,與拋物線的準線相交于點B,若FB=4FA,則FAFB=　　　　　. ?導學號24190944? 綜合提升組 11.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A.355 B.2 C.115 D.3 12.(2017全國Ⅱ,文12)過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為3的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為 (　　) A.5 B.22 C.23 D.33 13.以拋物線C的頂點為圓心的圓交拋物線C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=42,|DE|=25,則拋物線C的焦點到準線的距離為　　　　　. 14.(2017安徽馬鞍山一模,文20)設動點P(x,y)(x≥0)到定點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,記點P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)設D(x0,2)是曲線C上一點,與兩坐標軸都不平行的直線l1,l2過點D,且它們的傾斜角互補.若直線l1,l2與曲線C的另一交點分別是M,N,證明直線MN的斜率為定值. ?導學號24190945? 創(chuàng)新應用組 15.(2017山東菏澤一模,文15)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,以拋物線C上的點M(x0,22)x0>p2為圓心的圓與y軸相切,與線段MF相交于點A,且被直線x=p2截得的弦長為3|MA|,若|MA||AF|=2,則|AF|=　　　　　. 16.(2016吉林東北師大附中二模,文20)已知拋物線C:y=12x2,直線l:y=x-1,設P為直線l上的動點,過點P作拋物線的兩條切線,切點分別為A,B. (1)當點P在y軸上時,求線段AB的長; (2)求證:直線AB恒過定點. 答案： 1.D　由題意,3x0=x0+p2,∴x0=p4, ∴p22=2. ∵p>0,∴p=2,故選D. 2.C　利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32. ∴yP=26.∴S△POF=12|OF||yP|=23.故選C. 3.D　由題設知線段AB的中點到準線的距離為4. 設A,B兩點到準線的距離分別為d1,d2. 由拋物線的定義知 |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8. 4.D　設點M(x1,y1),N(x2,y2). 由x2=ay,y=2x-2消去y, 得x2-2ax+2a=0, 所以x1+x22=2a2=3,即a=3, 因此所求的拋物線方程是x2=3y. 5.A　∵拋物線y2=4x,∴p=2.設A,B兩點的橫坐標分別為x1,x2,利用拋物線定義,AB中點橫坐標為x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故選A. 6.A　拋物線C:y2=8x的準線為l:x=-2,直線y=k(x+2)恒過定點P(-2,0),如圖,過點A,B分別作AM⊥l于點M,BN⊥l于點N,由|FA|=2|FB|,則|AM|=2|BN|,點B為AP的中點.連接OB,則|OB|=12|AF|, ∴|OB|=|BF|,點B的橫坐標為1,∴|BN|=3,∴|AM|=6,故選A. 7.C　如圖,分別過點A,B作AA1⊥l于點A1,BB1⊥l于點B1, 由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. ∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BB1|. ∴∠BCB1=30, ∴∠AFx=60. 連接A1F,則△AA1F為等邊三角形,過點F作FF1⊥AA1于點F1,則F1為AA1的中點,設l交x軸于點K, 則|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32, 故拋物線方程為y2=3x. 8.2　由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時當且僅當|AB|取得最小值. 依拋物線定義知當|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時,為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2. 9.363　設點A的坐標為(x,y)(y>0),直線l的傾斜角α∈0,π3,則x≥9. 故△AFH的面積S=12(x+3)y. 令t=S2=14(x+3)212x=3x(x+3)2. 則t=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函數(shù)t單調(diào)遞增. 故當x=9時,S最小,此時Smin2=39122,即Smin=363. 10.94　由題意,設點A的橫坐標為m,過點A向準線作垂線交垂線于點C,設準線與x軸的交點為D, 則由拋物線的定義,|FA|=m+12,由△BAC∽△BFD,得m+121=34,∴m=14. ∴|FA|=34,|FB|=3, ∴FAFB=|FA||FB|=94. 11.B　由題可知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準線,設拋物線的焦點為F(1,0),則動點P到l2的距離等于|PF|,則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值,即焦點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是|4-0+6|5=2. 12.C　由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3. 因為M在x軸的上方, 所以M(3,23). 因為MN⊥l,且N在l上, 所以N(-1,23). 因為F(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1). 所以M到直線NF的距離為|3(3-1)+23|(-3)2+12=23. 13.4　不妨設拋物線C的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=R2. 因為|AB|=42, 所以可設A(m,22). 又因為|DE|=25, 所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16. 故p=4,即C的焦點到準線的距離是4. 14.(1)解 由題意知,點P的軌跡方程是以F(1,0)為焦點,以x=-1為準線的拋物線,故曲線C的方程為y2=4x. (2)證明 由D(x0,2)在曲線C上,得4=4x0,則x0=1,從而D(1,2). 設M(x1,y1),N(x2,y2),直線l1:y=k(x-1)+2, 則l2:y=-k(x-1)+2, 由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0, ∴x11=(k-2)2k2=k2-4k+4k2, 同理x2=k2+4k+4k2. ∴x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k. ∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k. ∴kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,直線MN的斜率為定值-1. 15.1　由拋物線的定義得|MF|=x0+p2. ∵圓與y軸相切,∴|MA|=x0. ∵圓被直線x=p2截得的弦長為3|MA|,圓心到直線x=p2的距離為|MA|2-32|MA|2=12|MA|, ∴|MA|=2x0-p2, ∴2x0-p2=x0,解得x0=p. ∴M(p,22),∴2p2=8,∴p=2. ∵|MA||AF|=2,∴|AF|=12|MA|=12p=1. 16.(1)解 設Ax1,12x12,Bx2,12x22,y=12x2的導數(shù)為y=x,以A為切點的切線方程為y-12x12=x1(x-x1),整理得y=x1x-12x12, 同理,以B為切點的切線方程為y=x2x-12x22,代入P(0,-1),得x12=x22=2(x1x2<0),可得|AB|=|x1-x2|=22. (2)證明 設P(x,y), 由(1)得y=x1x-12x12,y=x2x-12x22, 可得Px2+x12,x1x22. 由已知直線AB的斜率必存在,設直線AB的方程為y=kx+b, y=kx+b,y=12x2, 可得x2-2kx-2b=0, 即有x1+x2=2k,x1x2=-2b,可得P(k,-b), 由點P在直線y=x-1上,可得b=1-k, 則直線AB的方程為y=kx+(1-k),即k(x-1)-y+1=0, 則直線AB過定點(1,1).