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第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件 1.命題 (1)命題的概念:數(shù)學中把用語言、符號或式子表達的,能夠判斷　　　　的陳述句叫作命題.其中　　　　　的語句叫作真命題,　　　　　的語句叫作假命題. (2)四種命題及其相互關系 圖1-2-1 特別提醒:若兩個命題互為逆否命題,則它們有相同的真假性. 2.充分條件、必要條件與充要條件 (1)如果p?q,則p是q的　　　　條件. (2)如果q?p,則p是q的　　　　條件. (3)如果既有p?q,又有q?p,記作p?q,則p是q的　　　　條件. 常用結論 1.充要條件的兩個結論: (1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件; (2)若p是q的充分不必要條件,則??q是??p的充分不必要條件. 2.充分、必要條件與集合的關系 使p成立的對象構成的集合 為A,使q成立的對象構成的集合為B p是q的充分條件 A?B p是q的必要條件 B?A p是q的充分不必要條件 A?B p是q的必要不充分條件 B?A p是q的充要條件 A=B 題組一　常識題 1.[教材改編] 對于下列語句:①垂直于同一直線的兩條直線必平行嗎?②作△ABC∽△ABC.③x2+2x-3<0.④四邊形的內角和是360.其中是命題的是　　　　.(填序號) 2.[教材改編] 有下面4個命題:①集合N中最小的數(shù)是1;②若-a不屬于N,則a屬于N;③若a∈N,b∈N,則a+b的最小值為2;④x2+1=2x的解集可表示為{1,1}.其中真命題的個數(shù)為　　　　. 3.[教材改編] 命題“若整數(shù)a不能被2整除,則a是奇數(shù)”的逆否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　. 4.[教材改編] “點P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的　　　　　　　條件. 題組二　常錯題 ◆索引:命題的條件與結論不明確;含有大前提的命題的否命題易出現(xiàn)否定大前提的情況;真、假命題的推理考慮不全面;對充分必要條件判斷錯誤. 5.命題“若a2+b2=0,a,b∈R,則a=b=0”的逆否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　. 6.已知命題“對任意a,b∈R,若ab>0,則a>0”,則它的否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　. 7.若命題“ax2-2ax-3>0不成立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 8.條件p:x>a,條件q:x≥2. ①若p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍是　　　　; ②若p是q的必要不充分條件,則a的取值范圍是　　　　. 9.已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的　　　　　　條件. 探究點一　四種命題及其相互關系 例1 (1)對于命題“單調函數(shù)不是周期函數(shù)”,下列說法正確的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.逆命題為“周期函數(shù)不是單調函數(shù)” B.否命題為“單調函數(shù)是周期函數(shù)” C.逆否命題為“周期函數(shù)是單調函數(shù)” D.以上都不正確 (2)給出以下四個命題: ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; ②“全等三角形的面積相等”的否命題; ③“若q≤-1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題; ④若ab是正整數(shù),則a,b都是正整數(shù). 其中為真命題的是　　　　.(寫出所有真命題的序號) [總結反思] (1)求一個命題的其他三種命題時,需注意: ①對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫為“若p,則q”的形式; ②若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提. (2)判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題為假命題,只需舉出反例. (3)當不易直接判斷一個命題的真假時,根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真同假,可轉化為判斷其等價命題的真假. 變式題 (1)已知命題p:正數(shù)a的平方不等于0,命題q:若a不是正數(shù),則它的平方等于0,則q是p的(　　) A.逆命題 B.否命題 C.逆否命題 D.否定 (2)以下關于命題的說法正確的是　　　　.(填寫所有正確說法的序號) ①“若log2(a+1)>1,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內是增函數(shù)”是真命題; ②命題“若a≠0,則a(b+1)≠0”的否命題是“若a=0,則a(b+1)=0”; ③命題“若x,y都是偶數(shù),則(x+1)(y+1)是偶數(shù)”的逆命題為真命題; ④命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”等價. 探究點二　充分、必要條件的判定 例2 (1)[2018北京卷] 設a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)“函數(shù)f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點”是“a<-1”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [總結反思] 充分條件、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價轉化法.三種不同的方法適用于不同的類型:定義法適用于定義、定理的判斷問題;集合法多適用于命題中涉及參數(shù)的取值范圍的推斷問題;等價轉化法適用于條件和結論中帶有否定性詞語的命題. 變式題 (1)[2018深圳一模] 已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則“a2>a1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)“α=π4”是“sin 2α-3cos 2α=1”的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 探究點三　充分、必要條件的應用 例3 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是 (　　) A.0b成立的必要而不充分條件是 (　　) A.a-1>b B.a+1>b C.|a|>|b| D.a3>b3 (2)[2018衡陽4月調研] 已知p:實數(shù)m滿足m2+12a2<7am(a>0),q:方程x2m-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓,且p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍為　　　　. 第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件 考試說明 1.理解命題的概念; 2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關系; 3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.真假　判斷為真　判斷為假 2.(1)充分　(2)必要　(3)充要 對點演練 1.④　[解析] ①是疑問句,不是命題;②是祈使句,不是命題;③不能判斷真假,不是命題;④是命題. 2.0　[解析] ①為假命題,集合N中最小的數(shù)是0;②為假命題,如a=12不滿足;③為假命題,如a=0,b=1,則a+b=1,比2小;④為假命題,所給集合中的元素不滿足互異性. 3.若整數(shù)a不是奇數(shù),則a能被2整除　[解析] 以原命題結論的否定作條件、原命題條件的否定作結論得出逆否命題. 4.既不充分也不必要　[解析] 取x=12,y=12,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故為既不充分也不必要條件. 5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,則a2+b2≠0　[解析] “若p,則q”的逆否命題為“若??q,則??p”,又a=b=0的實質為a=0且b=0,故其否定為a≠0或b≠0. 6.對任意a,b∈R,若ab≤0,則a≤0　[解析] “對任意a,b∈R”是大前提,在否命題中不變,又因為ab>0,a>0的否定分別為ab≤0,a≤0,所以原命題的否命題為“對任意a,b∈R,若ab≤0,則a≤0”. 7.[-3,0]　[解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立. 當a=0時,-3≤0恒成立; 當a≠0時,得a<0,Δ=4a2+12a≤0,解得-3≤a<0. 故-3≤a≤0. 8.①a≥2?、赼<2　[解析] ①因為p是q的充分不必要條件,所以{x|x>a}?{x|x≥2},則a的取值范圍是a≥2. ②因為p是q的必要不充分條件,所以{x|x≥2}?{x|x>a},則a的取值范圍是a<2. 9.充分不必要　[解析] 依題意有p?r,r?s,s?q,∴p?r?s?q.又∵r?/ p,∴q?/ p.故p是q的充分不必要條件. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)根據(jù)四種命題的構成判斷即可.(2)對于①②,按照要求寫出相應的逆命題、否命題,再判斷真假;對于③,可直接利用原命題與逆否命題的等價性判斷原命題的真假;對于④,直接判斷. (1)D　(2)①③　[解析] (1)根據(jù)四種命題的構成可知,選項A,B,C均不正確.故選D. (2)①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,顯然為真命題;②否命題為“不全等的三角形的面積不相等”,而不全等的三角形的面積也可能相等,故為假命題;③原命題為真,所以它的逆否命題也為真,故③為真命題;④ab是正整數(shù),但a,b不一定都是正整數(shù),例如a=-1,b=-2,故④為假命題.所以答案是①③. 變式題　(1)B　(2)①②④　[解析] (1)“正數(shù)a的平方不等于0”即“若a是一個正數(shù),則它的平方不等于0”,其否命題為“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,所以選B. (2)①正確,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=logax在其定義域內是增函數(shù).②正確,由命題的否命題的定義知,該說法正確.③不正確,原命題的逆命題為“若(x+1)(y+1)是偶數(shù),則x,y都是偶數(shù)”,是假命題,如(3+1)(4+1)=20為偶數(shù),但x=3,y=4.④正確,兩者互為逆否命題,因此兩命題等價. 例2　[思路點撥] (1)將已知等式兩邊同時平方,可得出向量a,b的關系,從而得出結論;(2)通過研究單調性,求出函數(shù)存在零點的充要條件為a≤-1,從而得出結論. (1)C　(2)B　[解析] (1)將|a-3b|=|3a+b|兩邊平方,得a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2.∵a,b均為單位向量,∴ab=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故為充分必要條件. (2)因為f(x)=1x>0,所以若函數(shù)f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點,則f(e)≤0,即a≤-1,因此“函數(shù)f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點”是“a<-1”的必要不充分條件,故選B. 變式題　(1)B　(2)A　[解析] (1)當a1=-1,a2=2,公比q=-2時,雖然有a10,1a<0?a<1,a<0?a<0; 若方程的兩根均為負,則Δ=4-4a≥0,-2a<0,1a>0?a≤1,a>0?0b”不能推出“a-1>b”,故選項A不是“a>b”的必要條件,不滿足題意; “a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故滿足題意; “a>b”不能推出“|a|>|b|”,故選項C不是“a>b”的必要條件,不滿足題意; “a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要條件,不滿足題意.故選B. (2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a0. 由方程x2m-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓, 可得2-m>m-1>0,解得11,4a≤32或3a≥1,4a<32,解得13≤a≤38, 所以實數(shù)a的取值范圍是13,38. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查對命題真假的判斷,是一個開放式命題,答案不唯一,有利于學生發(fā)散思維;例2強化了充分、必要條件的判斷方法和余弦定理、基本不等式的應用;例3主要考查了充要條件的判斷;例4是以簡單不等式的方式考查充分、必要條件的應用. 例1　[配合例1使用] [2018北京通州區(qū)三模] 能夠說明“設a,b,c是任意實數(shù),若a>b>c,則a2>ab>c2”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為　　　　. [答案] 1,0,-1(此題答案不唯一) [解析] 當a=1,b=0,c=-1時,滿足a>b>c,不滿足a2>ab>c2,∴命題是假命題. 故答案可以為1,0,-1. 例2　[配合例2使用] [2018武漢4月調研] 在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知條件p:a≤b+c2,條件q:A≤B+C2,那么p是q成立的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [解析] A　由條件p:a≤b+c2,知cos A=b2+c2-a22bc≥b2+c2-b+c222bc=3(b2+c2)-2bc8bc≥6bc-2bc8bc=12,當且僅當b=c=a時取等號, 又A∈(0,π),∴0b+c2. ∴p是q成立的充分而不必要條件. 故選A. 例3　[配合例2使用] [2018莆田六中三模] 在等比數(shù)列{an}中,a2=-2,則“a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=-1”的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [解析] C　因為a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根,所以a4a12=1, 因此a82=1,又因為a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1. 從而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=-1”的充要條件,故選C. 例4　[配合例3使用] [2018南昌模擬] 在實數(shù)范圍內,使得不等式1x>1成立的一個充分而不必要條件是 (　　) A.x>0 B.x<1 C.01,∴x-1x<0,∴01成立的一個充分而不必要條件,故選D.