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第8講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
1.根式
n次
方根
概念
如果xn=a,那么x叫作a的 ,其中n>1,n∈N*
性質
當n是 時,a的n次方根為x=na
當n是 時,正數(shù)a的n次方根為x=na,負數(shù)的偶次方根
0的任何次方根都是0,記作n0=0
根式
概念
式子na叫作 ,其中n叫作 ,a叫作
性質
當n為奇數(shù)時,nan=
當n為偶數(shù)時,nan=|a|=
2.有理數(shù)指數(shù)冪
(1)冪的有關概念
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于 ,0的負分數(shù)指數(shù)冪 .
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質
①aras= (a>0,r,s∈Q);
②(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
3.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質
y=ax(a>0
且a≠1)
a>1
0
0時, ;
當x<0時,
當x>0時, ;
當x<0時,
在R上是
在R上是
常用結論
1.函數(shù)y=ax+b(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(0,1+b).
2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖像以x軸為漸近線.
題組一 常識題
1.[教材改編] 若x+x-1=3,則x2-x-2= .
2.[教材改編] 已知2x-1<23-x,則x的取值范圍是 .
3.[教材改編] 函數(shù)y=ax-1+2(a>0且a≠1)的圖像恒過定點 .
4.[教材改編] 下列所給函數(shù)中值域為(0,+∞)的是 .
①y=-5x;②y=131-x;③y=12x-1;④y=1-2x.
題組二 常錯題
◆索引:忽略n的范圍導致式子nan(a∈R)化簡出錯;不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯;指數(shù)函數(shù)問題時刻注意底數(shù)的兩種情況;復合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯.
5.計算3(1+2)3+4(1-2)4= .
6.若函數(shù)f(x)=(a2-3)ax為指數(shù)函數(shù),則a= .
7.若函數(shù)f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a= .
8.函數(shù)y=21x-1的值域為 .
探究點一 指數(shù)冪的化簡與求值
例1 (1)計算:823--780+4(3-π)4+[(-2)6]12= .
(2)已知x12+x-12=5,則x2+x-2-6x+x-1-5的值為 .
[總結反思] 指數(shù)冪運算的一般原則:
(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪,以便利用法則計算.
(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).
(3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù).
(4)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù).
變式題 (1)計算:2x-1312x13+x43= ( )
A.3 B.2
C.2+x D.1+2x
(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的兩根,且a>b>0,則a-ba+b= .
探究點二 指數(shù)函數(shù)的圖像及應用
例2 (1)函數(shù)y=xax|x|(a>1)的圖像大致是 ( )
A B C D
圖2-8-1
(2)[2018遼陽一模] 設函數(shù)f(x)=|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的實數(shù)a,b,c滿足f(a)=f(b)=f(c),則2a+2b+2c的取值范圍是 ( )
A.(16,32) B.(18,34)
C.(17,35) D.(6,7)
[總結反思] (1)研究指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖像要抓住三個特殊點:(1,a),(0,1),-1,1a.
(2)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖像問題的研究,往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖像,通過平移、對稱變換得到其圖像.
(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往結合相應的指數(shù)型函數(shù)圖像,利用數(shù)形結合求解.
變式題 (1)已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的圖像如圖2-8-2所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖像大致是( )
圖2-8-2
A B C D
圖2-8-3
(2)函數(shù)f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的圖像如圖2-8-4所示,則a+b的取值范圍是 .
圖2-8-4
探究點三 利用指數(shù)函數(shù)的性質解決有關問題
微點1 比較指數(shù)式的大小
例3 (1)[2018凱里一中二模] 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,則a,b,c的大小關系是 ( )
A.c(1-a)b
B.(1-a)b>(1-a)b2
C.(1+a)a>(1+b)b
D.(1-a)a>(1-b)b
[總結反思] 指數(shù)式的大小比較,依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調性,原則上化為同底的指數(shù)式,并要注意底數(shù)范圍是(0,1)還是(1,+∞),若不能化為同底,則可化為同指數(shù),或利用中間變量比較.
微點2 解簡單的指數(shù)方程或不等式
例4 (1)已知函數(shù)f(x)=a+14x+1的圖像過點1,-310,若-16≤f(x)≤0,則實數(shù)x的取值范圍是 .
(2)方程4x+|1-2x|=11的解為 .
[總結反思] (1)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),當a>1時,等價于f(x)>g(x);當0b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>c>a
2.【微點1】[2018河南八市聯(lián)考] 設函數(shù)f(x)=x2-a與g(x)=ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0,+∞)上具有不同的單調性,則M=(a-1)0.2與N=1a0.1的大小關系是( )
A.M=N B.M≤N
C.MN
3.【微點2】當x∈(-∞,-1]時,不等式(m2-m)4x-2x<0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.(-1,2)
B.(-4,3)
C.(-3,4)
D.(-2,1)
4.【微點2】若關于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有兩個不等實根,則a的取值范圍是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.0,12
5.【微點3】已知函數(shù)f(x)=bax(其中a,b為常數(shù),且a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過點A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m≥0,x∈(-∞,1]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為 .
第8講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
考試說明 1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,了解實數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運算.
2.指數(shù)函數(shù)
(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.
(2)理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點,會畫底數(shù)為2,3,10,12,13的指數(shù)函數(shù)的圖像.
(3)知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.
【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.n次方根 奇數(shù) 偶數(shù) 沒有意義 根式 根指數(shù) 被開方數(shù) a a(a≥0),-a(a<0)
2.(1)0 沒有意義 (2)ar+s ars arbr
3.(0,+∞) (0,1) y>1 01 增函數(shù) 減函數(shù)
對點演練
1.35 [解析] 把x+x-1=3兩邊平方,可得x2+x-2=7,則(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=5,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=35.
2.(-∞,2) [解析] 根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范圍是(-∞,2).
3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此時y=a0+2=3,所以函數(shù)圖像恒過定點(1,3).
4.② [解析] 對于②,∵1-x∈R,∴y=131-x的值域是(0,+∞);①的值域為(-∞,0);③的值域為[0,+∞);④的值域為[0,1).
5.22 [解析] 3(1+2)3+4(1-2)4=1+2+|1-2|=22.
6.2 [解析] 由指數(shù)函數(shù)的定義可得a2-3=1,a>0,a≠1,解得a=2.
7.2或12 [解析] 若a>1,則f(x)max=f(1)=a=2;若00且y≠1} [解析] 函數(shù)的定義域為{x|x≠1},因為1x-1≠0,所以y≠1,又指數(shù)函數(shù)y=2x的值域為(0,+∞),故所求函數(shù)的值域為{y|y>0且y≠1}.
【課堂考點探究】
例1 [思路點撥] (1)直接利用指數(shù)冪的運算法則求解即可,解答過程中注意避免符號錯誤;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值.
(1)π+8 (2)-12 [解析] (1)823--780+4(3-π)4+[(-2)6]12=2323-1+(π-3)+2612=22-1+π-3+23=4+π-4+8=π+8.
(2)由已知可得x+x-1=(x12+x12)2-2=3,
則x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,
故原式=7-63-5=-12.
變式題 (1)D (2)55 [解析] (1)原式=2x1312x13+2x13x43=1+2x.
(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以a-ba+b2=a+b-2aba+b+2ab=6-246+24=15.
因為a>b>0,所以a>b,所以a-ba+b=55.
例2 [思路點撥] (1)化簡所給的解析式,然后結合選項進行判斷;(2)作出函數(shù)圖像,結合圖像可知2a+2b=2,再分析2c的范圍求解.
(1)B (2)B [解析] (1)由題意得y=xax|x|=ax,x>0,-ax,x<0.
∵a>1,∴當x>0時,函數(shù)為增函數(shù);當x<0時,函數(shù)為減函數(shù).
結合各選項可得B滿足題意.故選B.
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示.
不妨令a1,f12=0,b<0,
所以a+b=0,所以a+b=a-a>1-1=0.
例3 [思路點撥] (1)將a,b化為同底的指數(shù)式,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的單調性比較a,b的大小,再估算c,從而得a,b,c的大小關系;(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性,即當?shù)讛?shù)大于1時單調遞增,當?shù)讛?shù)大于0小于1時單調遞減,對選項逐一驗證即可得到正確答案.
(1)A (2)D [解析] (1)因為a=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,又因為c=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c,故選A.
(2)因為0b,b>b2,
所以(1-a)1b<(1-a)b,(1-a)b<(1-a)b2,所以A,B均錯誤;
又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C錯誤;
對于D,(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以(1-a)a>(1-b)b,所以D正確.故選D.
例4 [思路點撥] (1)先確定a的值,再結合指數(shù)函數(shù)的單調性求解;(2)分情況討論去掉絕對值,解相應的指數(shù)方程.
(1)0≤x≤12 (2)x=log23 [解析] (1)由題意知f(1)=a+14+1=a+15=-310,則a=-12.因為-16≤f(x)≤0,所以-16≤14x+1-12≤0,所以13≤14x+1≤12,所以2≤4x+1≤3,所以1≤4x≤2,解得0≤x≤12.
(2)當x≤0時,1-2x≥0,
原方程即為4x-2x-10=0,可得2x=12+412,此時x>0,故舍去.
當x>0時,1-2x<0,
原方程即為4x+2x-12=0,可得2x=3,則x=log23,即為原方程的解.
例5 [思路點撥] (1)根據(jù)條件先確定a,b的值,再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性及值域確定函數(shù)f(x)的值域;(2)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),確定a的值,將不等式分離變量,轉化成b>g(x)的形式,從而轉化為考查函數(shù)g(x)的最小值問題.
(1)A (2)b>2 [解析] (1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(0)=a+b2=0,①
函數(shù)圖像過點ln3,12,則f(ln 3)=a+b4=12.②
結合①②可得a=1,b=-2,
則f(x)=1-2ex+1.因為ex>0,所以ex+1>1,所以0<2ex+1<2,所以-1<1-2ex+1<1,
即函數(shù)f(x)的值域為(-1,1).
(2)由題意知f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,得a=1,所以f(x)=2x-12x+1.設h(x)=2x-12x+1+2x-b2x+1=(2x)2+2x+1-1-b2x+1,由題設知h(x)<0在[0,1]內有解,即不等式(2x)2+2x+1-1-b<0在[0,1]內有解,即b>(2x)2+2x+1-1在[0,1]內有解.設g(x)=(2x)2+2x+1-1,x∈[0,1],而函數(shù)y=2x,y=2x+1在定義域內均單調遞增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1在[0,1]上單調遞增,所以g(x)min=g(0)=2,所以b>2.
應用演練
1.A [解析] 因為函數(shù)f(x)=0.4x在R上為減函數(shù),所以0.40.6<0.40.2<0.40=1,
又因為20.2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c.
故選A.
2.D [解析] 因為f(x)=x2-a與g(x)=ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0,+∞)上具有不同的單調性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=1a0.1<1,所以M>N,故選D.
3.A [解析] 由題意知當x∈(-∞,-1]時,m2-m<2x4x=12x恒成立,
當x∈(-∞,-1]時,12x∈[2,+∞),
則m2-m<2,解得-10且a≠1)有兩個不等實根可轉化為函數(shù)y=|ax-1|與y=2a的圖像有兩個不同交點.
當01時,兩函數(shù)圖像如圖②,而y=2a>1,不符合題意.
① ②
故00且a≠1,解得a=2,b=3,
所以f(x)=32x.
要使12x+13x≥m,x∈(-∞,1]恒成立,只需函數(shù)y=12x+13x在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
因為函數(shù)y=12x+13x在(-∞,1]上為減函數(shù),
所以當x=1時,y=12x+13x取得最小值56,
所以只需m≤56即可,
即m的取值范圍為-∞,56.
【備選理由】 例1為指數(shù)冪的運算,涉及換元運算和指數(shù)運算,技巧性較強;例2為分段函數(shù)與函數(shù)不等式結合問題,需要分區(qū)間處理,考查函數(shù)的單調性;例3為含參不等式,進一步熟悉分離變量以及轉化與化歸思想;例4考查了求解指數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)的單調性、不等式恒成立問題,要善于使用分離變量法求解.
例1 [配合例1使用] 已知a23=2+3,則a+a-1a13+a13的值為 .
[答案] 3
[解析] 設a13=t,則t2=2+3,則a+a-1a13+a13=t3+1t3t+1t=t2+1t2-1=2+3+12+3-1=3.
例2 [配合例4使用] [2018河南林州一中調研] 已知函數(shù)f(x)=2x-1,x>1,1,x≤1,則不等式f(x)0在x∈(-∞,1]時恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
[答案] -34,+∞
[解析] 從已知不等式中分離出實數(shù)a,得a>-14x+12x.
∵函數(shù)y=14x和y=12x在R上都是減函數(shù),∴當x∈(-∞,1]時,14x≥14,12x≥12,
∴14x+12x≥14+12=34,從而得-14x+12x≤-34.
故實數(shù)a的取值范圍為a>-34.
例4 [配合例5使用] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x-12x.
(1)若f(x)=32,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對任意t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)由f(x)=32?2x-12x=32?2(2x)2-32x-2=0?(2x-2)(22x+1)=0.∵2x>0,∴2x=2,∴x=1.
(2)由2tf(2t)+mf(t)≥0?2t22t-122t+m2t-12t≥0?m(2t-2-t)≥-2t(22t-2-2t).
又t∈[1,2],∴2t-2-t>0,∴m≥-2t(2t+2-t),即m≥-22t-1,
故只需m≥(-22t-1)max.
令y=-22t-1,t∈[1,2],可得ymax=-22-1=-5,
故m≥-5.
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