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10.3　二項式定理 最新考綱 考情考向分析 1.了解二項式定理. 2.理解二項式系數(shù)的性質. 以理解和應用二項式定理為主，常考查二項展開式，通項公式以及二項式系數(shù)的性質，賦值法求系數(shù)的和也是考查的熱點；本節(jié)內容在高考中以選擇、填空題的形式進行考查，難度中檔. 1.二項式定理 二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二項展開式的通項公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項 二項式系數(shù) 二項展開式中各項的系數(shù)C(k∈{0，1，2，…，n}) 2.二項式系數(shù)的性質 (1)C＝1，C＝1. C＝C＋C. (2)C＝C. (3)當n是偶數(shù)時，項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，與項的二項式系數(shù)相等且最大. (4)(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. 概念方法微思考 1.(a＋b)n與(b＋a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系？ 提示　(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應的項不相同而且兩個展開式的通項不同. 2.二項展開式形式上有什么特點？ 提示　二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n＋1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C. 3.二項展開式中二項式系數(shù)最大時該項的系數(shù)就最大嗎？ 提示　不一定最大，當二項式中a，b的系數(shù)為1時，此時二項式系數(shù)等于項的系數(shù)，否則不一定. 題組一　思考辨析 1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)Can－kbk是二項展開式的第k項.(　　) (2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.(　　) (3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關.(　√　) (4)(a－b)n的展開式第k＋1項的系數(shù)為Can－kbk.(　　) (5)(x－1)n的展開式二項式系數(shù)和為－2n.(　　) 題組二　教材改編 2.[P31例2(2)](1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于(　　) A.80B.40C.20D.10 答案　B 解析　Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，當k＝2時，x2的系數(shù)為C22＝40. 3.[P31例2(2)]若n展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為(　　) A.10B.20C.30D.120 答案　B 解析　二項式系數(shù)之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Cx6－kk＝Cx6－2k，當6－2k＝0，即當k＝3時為常數(shù)項，T4＝C＝20. 4.[P41B組T5]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(　　) A.9B.8C.7D.6 答案　B 解析　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8. 題組三　易錯自糾 5.(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是(　　) A.C B.C C.C D.(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n二項展開式第m項的通項公式為 Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1， 所以系數(shù)為C(－1)m－1. 6.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一個單調遞增數(shù)列，則k的最大值是(　　) A.5B.6C.7D.8 答案　B 解析　由二項式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11). 又(x＋1)10展開式中二項式系數(shù)最大項是第6項， 所以a6＝C，則k的最大值為6. 7.(x－y)4的展開式中，x3y3項的系數(shù)為________. 答案　6 解析　二項展開式的通項是Tk＋1＝C(x)4－k(－y)k＝，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展開式中x3y3的系數(shù)為(－1)2C＝6. 題型一　二項展開式 命題點1　求指定項(或系數(shù)) 例1　(1)(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為(　　) A.15B.20C.30D.35 答案　C 解析　因為(1＋x)6的通項為Cxk，所以(1＋x)6的展開式中含x2的項為1Cx2和Cx4. 因為C＋C＝2C＝2＝30， 所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為30. 故選C. (2)(2018溫州市高考適應性測試)在9的展開式中，常數(shù)項是(　　) A.C B.－C C.8C D.－8C 答案　D 解析　二項式9的展開式的通項公式為C9－k(－2x)k＝，令＝0，得k＝3，則二項式9的展開式中的常數(shù)項為(－2)3C＝－8C，故選D. (3)(x2＋x＋y)4的展開式中，x3y2的系數(shù)是________. 答案　12 解析　方法一　(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4， 其展開式的第k＋1項的通項公式為Tk＋1＝C(x2＋x)4－kyk， 因為要求x3y2的系數(shù)，所以k＝2， 所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因為(x2＋x)2的展開式中x3的系數(shù)為2， 所以x3y2的系數(shù)是62＝12. 方法二　(x2＋x＋y)4表示4個因式x2＋x＋y的乘積， 在這4個因式中，有2個因式選y，其余的2個因式中有一個選x，剩下的一個選x2，即可得到含x3y2的項， 故x3y2的系數(shù)是CCC＝12. 命題點2　求參數(shù) 例2　(1)若(x2－a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　) A.B.C.1D.2 答案　D 解析　由題意得10的展開式的通項公式是Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k，10的展開式中含x4(當k＝3時)，x6(當k＝2時)項的系數(shù)分別為C，C，因此由題意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故選D. (2)若6的展開式中常數(shù)項為，則實數(shù)a的值為(　　) A.2B.C.－2D. 答案　A 解析　6的展開式的通項為Tk＋1＝C(x2)6－kk＝Ckx12－3k，令12－3k＝0， 得k＝4. 故C4＝，即4＝，解得a＝2，故選A. 思維升華求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可. 跟蹤訓練1　(1)(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)(1＋x)6的展開式中x3的系數(shù)為__________. 答案　14 解析　在(1＋x)6的展開式中x3的系數(shù)為C＝20，(1＋x)6的展開式中x3的系數(shù)為C＝6，所以(1＋x)6的展開式中x3的系數(shù)為20－6＝14. (2)(2018麗水、衢州、湖州三地教學質量檢測)若6的展開式中x3的系數(shù)為－12，則a＝______；常數(shù)項是________. 答案　2　60 解析　由于二項展開式的通項Tk＋1＝Cx6－kk＝(－a)kCx6－3k，令6－3k＝3，則k＝1，所以(－a)C＝－6a＝－12，a＝2；令6－3k＝0，則k＝2，所以常數(shù)項是(－2)2C＝415＝60. 題型二　二項式系數(shù)的和與各項的系數(shù)和問題 例3　(1)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝____________. 答案　3 解析　設(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. (2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為________. 答案　1或－3 解析　令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9m9＝39，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1. (3)若n的展開式中含x的項為第6項，設(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a1＋a2＋…＋an的值為________. 答案　255 解析　n展開式的第k＋1項為 Tk＋1＝C(x2)n－kk＝C(－1)kx2n－3k， 當k＝5時，2n－3k＝1，∴n＝8. 對(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256. 又當x＝0時，a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a8＝255. 思維升華 (1)“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法. (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 跟蹤訓練2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1.① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)2， 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094. (3)(①＋②)2， 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093. (4)方法一　∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187. 方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即為(1＋2x)7展開式中各項的系數(shù)和，令x＝1， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187. 題型三　二項式定理的應用 例4　(1)設a∈Z且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a等于(　　) A.0B.1C.11D.12 答案　D 解析　512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C522012－C522011＋…＋C52(－1)2011＋C(－1)2012＋a， ∵C522012－C522011＋…＋C52(－1)2011能被13整除且512012＋a能被13整除， ∴C(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值為12. (2)設復數(shù)x＝(i是虛數(shù)單位)，則Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2017等于(　　) A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i 答案　C 解析　x＝＝＝－1＋i， Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2017 ＝(1＋x)2017－1＝i2017－1＝i－1. 思維升華 (1)逆用二項式定理的關鍵 根據(jù)所給式子的特點結合二項展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定理求解. (2)利用二項式定理解決整除問題的思路 ①觀察除式與被除式間的關系； ②將被除式拆成二項式； ③結合二項式定理得出結論. 跟蹤訓練3　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　) A.－1B.1C.－87D.87 答案　B 解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1， ∵前10項均能被88整除，∴余數(shù)是1. (2)若(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，則＋＋…＋＝________. 答案?。? 解析　當x＝0時，左邊＝1，右邊＝a0，∴a0＝1. 當x＝時，左邊＝0，右邊＝a0＋＋＋…＋， ∴0＝1＋＋＋…＋， 即＋＋…＋＝－1. 1.在6的展開式中，常數(shù)項為(　　) A.－240B.－60C.60D.240 答案　D 解析　6的展開式中，通項公式為Tk＋1＝C(x2)6－kk＝(－2)kCx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，故常數(shù)項為T5＝(－2)4C＝240，故選D. 2.(2018杭州質檢)二項式5的展開式中含x3項的系數(shù)是(　　) A.80B.48C.－40D.－80 答案　D 解析　∵5展開式的通項為Tk＋1＝C(2x)5－kk＝(－1)k25－kCx5－2k，5－2k＝3，則k＝1，∴含x3的項為T2＝(－1)124Cx3＝－80x3，其中系數(shù)為－80，故選D. 3.(x＋y)(2x－y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為(　　) A.－80B.－40C.40D.80 答案　D 解析　(2x－y)6的展開式的通項公式為Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，當k＝2時，T3＝240x4y2，當k＝3時，T4＝－160x3y3，故x4y3的系數(shù)為240－160＝80，故選D. 4.(1＋3x)n的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則x4的二項式系數(shù)為(　　) A.21B.35C.45D.28 答案　B 解析　∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二項式系數(shù)為C＝35，故選B. 5.(2018浙江省考前熱身聯(lián)考)3展開式的常數(shù)項為(　　) A.120B.160C.200D.240 答案　B 解析　3＝6，展開式的通項為Tk＋1＝C6－k(2x)k＝C2kx2k－6，令2k－6＝0，可得k＝3，故展開式的常數(shù)項為160. 6.若在(x＋1)4(ax－1)的展開式中，x4項的系數(shù)為15，則a的值為(　　) A.－4B.C.4D. 答案　C 解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4項的系數(shù)為4a－1＝15，∴a＝4. 7.(2018浙江省重點中學高三調研)9的展開式中，除常數(shù)項外，各項系數(shù)的和為(　　) A.－671B.671C.672D.673 答案　B 解析　令x＝1，可得該二項展開式各項系數(shù)之和為－1.因為該二項展開式的通項公式為Tk＋1＝C9－k(－2x2)k＝C(－2)kx3k－9，令3k－9＝0，得k＝3，所以該二項展開式中的常數(shù)項為C(－2)3＝－672，所以除常數(shù)項外，各項系數(shù)的和為－1－(－672)＝671，故選B. 8.若(1－3x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，x∈R，則a13＋a232＋…＋a201832018的值為(　　) A.22018－1B.82018－1C.22018D.82018 答案　B 解析　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a13＋a232＋…＋a201832018＝(1－9)2018＝82018，所以a13＋a232＋…＋a201832018＝82018－a0＝82018－1，故選B. 9.(2018紹興諸暨期末)已知(2x＋1)6＝a6(x＋1)6＋a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋…＋a1(x＋1)＋a0，則a0＋a1＋a2＋…＋a6＝________，a2＝________. 答案　1　60 解析　令x＝0，即得16＝a6＋a5＋…＋a1＋a0， 又(2x＋1)6＝[2(x＋1)－1]6的展開式的通項為Tk＋1＝C[2(x＋1)]6－k(－1)k， 則a2＝C22(－1)4＝60. 10.(2018杭州四校聯(lián)考)已知n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則n＝________；若含x8項的系數(shù)為，則常數(shù)項為________. 答案　12　 解析　因為展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共有13項，n＝12，則二項展開式的通項Tk＋1＝令12－k＝8，得k＝3，所以Ca9＝，得a9＝，得a9＝，即a＝. 令12－k＝0，得k＝9， 故常數(shù)項為T10＝Ca3＝3＝. 11.9192除以100的余數(shù)是________. 答案　81 解析　9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋(C90＋C)＝k100＋9290＋1＝k100＋82100＋81(k為正整數(shù))，所以9192除以100的余數(shù)是81. 12.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝__________.(用數(shù)字作答) 答案　364 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 令x＝0，得a0＝1， ∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364. 13.(2014浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)等于(　　) A.45B.60C.120D.210 答案　C 解析　因為f(m，n)＝CC， 所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 14.已知n(n∈N*)的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和、系數(shù)之和分別為p，q，則p＋64q的最小值為______. 答案　16 解析　顯然p＝2n.令x＝1，得q＝. 所以p＋64q＝2n＋≥2＝16， 當且僅當2n＝， 即n＝3時取等號，此時p＋64q的最小值為16. 15.(2018金華模擬)若(3－2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋10a10＝________. 答案　－20 解析　對原等式兩邊求導，得－20(3－2x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋10a10＝－20. 16.若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，求： (1)展開式中所有x的有理項； (2)展開式中系數(shù)最大的項. 解　易求得展開式前三項的系數(shù)為1，2C，4C. 由題意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9. (1)設展開式中的有理項為Tk＋1， 由Tk＋1＝C()9－kk＝ 又∵0≤k≤9，∴k＝2，6. 故有理項為T3＝＝144x3， (2)設展開式中Tk＋1項的系數(shù)最大，則 ∴≤k≤， 又∵k∈N，∴k＝6， 故展開式中系數(shù)最大的項為T7＝5376.