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計算題押題練(四) 1.如圖所示，相距為L的兩條足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ與水平面的夾角為θ，N、Q兩點間接有阻值為R的電阻。整個裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面向下。將質(zhì)量為m、阻值也為R的金屬桿cd垂直放在導軌上，桿cd由靜止釋放，下滑距離x時達到最大速度。重力加速度為g，導軌電阻不計，桿與導軌接觸良好。求： (1)桿cd下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述過程中，桿cd上產(chǎn)生的熱量。 解析：(1)設桿cd下滑到某位置時速度為v，則桿產(chǎn)生的感應電動勢E＝BLv，回路中的感應電流I＝ 桿所受的安培力F＝BIL 根據(jù)牛頓第二定律有mgsin θ－＝ma 當速度v＝0時，桿的加速度最大，最大加速度am＝gsin θ，方向沿導軌平面向下 當桿的加速度a＝0時，速度最大，最大速度 vm＝，方向沿導軌平面向下。 (2)桿cd從開始運動到達到最大速度過程中，根據(jù)能量守恒定律得 mgxsin θ＝Q總＋mvm2 又Q桿＝Q總 所以Q桿＝mgxsin θ－。 答案：(1)gsin θ　 (2)mgxsin θ－ 2.如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC的距離為1 m，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r＝0.4 m的四分之一細圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k＝100 N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊，一個質(zhì)量為1 kg的小球放在曲面AB上，現(xiàn)從距BC的高度為h＝0.6 m處靜止釋放小球，小球進入管口C端時，它對上管壁有FN＝5 N的作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中小球速度最大時彈簧的彈性勢能為Ep＝0.5 J。取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)小球在C處受到的向心力大?。? (2)BC間的動摩擦因數(shù)； (3)若改變高度h且BC段光滑，試通過計算探究小球壓縮彈簧過程中的最大動能Ekm與高度h的關(guān)系，并在坐標系中粗略做出Ekmh的圖像，并標出縱軸的截距。 解析：(1) 小球進入管口C端時，它與圓管上管壁有大小為FN＝5 N的相互作用力， 故小球受到的向心力為F向＝FN＋mg＝5 N＋10 N＝15 N。 (2)在C點，由F向＝m，代入數(shù)據(jù)得vC＝ m/s 小球從A點運動到C點過程，由動能定理得 mgh－μmgs＝mvC2，解得μ＝0.3。 (3)在壓縮彈簧過程中速度最大時，合力為零。設此時小球離D端的距離為x0，則有kx0＝mg， 解得x0＝＝0.1 m 由機械能守恒定律有mg(r＋x0＋h)＝Ekm＋Ep 得Ekm＝mg(r＋x0＋h)－Ep，代入數(shù)據(jù)得Ekm＝10h＋4.5，圖像如圖所示。 答案：(1)15 N　(2)0.3　(3)見解析 3．如圖甲所示，在0≤x≤d的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的磁場，在x<0的區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強電場(圖中未畫出)。一質(zhì)子從點P處以速度v0沿x軸正方向運動，t＝0時，恰從坐標原點O進入勻強磁場。磁場按圖乙所示規(guī)律變化，以垂直于紙面向外為正方向。已知質(zhì)子的質(zhì)量為m，電荷量為e，重力不計。 (1)求質(zhì)子剛進入磁場時的速度大小和方向； (2)若質(zhì)子在0～時間內(nèi)從y軸飛出磁場，求磁感應強度B的最小值； (3)若質(zhì)子從點M(d,0)處離開磁場，且離開磁場時的速度方向與進入磁場時相同，求磁感應強度B0的大小及磁場變化周期T。 解析：(1)質(zhì)子在電場中作類平拋運動，時間為t，剛進磁場時速度方向與x正半軸的夾角為α，有x＝v0t＝d，y＝t＝，tan α＝，又v＝， 解得v＝v0，α＝30。 (2)質(zhì)子在磁場中運動軌跡與磁場右邊界相切時半徑最大，B最小 由幾何關(guān)系知R1＋R1cos 60＝d， 解得R1＝d 根據(jù)牛頓第二定律，有evB＝m 解得B＝。 (3)分析可知，要想滿足題目要求，則質(zhì)子在磁場變化的半個周期內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角為60，在此過程中質(zhì)子沿x軸方向上的位移恰好等于它在磁場中做圓周的半徑R。欲使質(zhì)子從M點離開磁場，且速度符合要求，必有：n2R＝d 質(zhì)子做圓周運動的軌道半徑：R＝＝ 解得B0＝(n＝1,2,3，…) 設質(zhì)子在磁場做圓周運動的周期為T0， 則有T0＝＝，＝ 解得T＝(n＝1,2,3，…)。 答案：(1)v0　沿x軸正方向斜向上與x軸夾角為30　(2)　 (3)(n＝1,2,3，…)　(n＝1,2,3，…)