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課時分層作業(yè) 五十九 幾 何 概 型
一、選擇題(每小題5分,共40分)
1.如圖,在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子,有280粒落到陰影部分,估計陰影部分的面積為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選D.根據(jù)幾何概型的概率公式可得
P====,所以陰影部分的面積為.
2.(2018醴陵模擬)如圖四個游戲盤,現(xiàn)在投鏢,投中陰影部分概率最小的
是 ( )
【解析】選C.A游戲盤的投中陰影部分概率為,B游戲盤的投中陰影部分概率為,設正方形的邊長為2r,C游戲盤的投中陰影部分概率為=,設圓的半徑為r,D游戲盤的投中陰影部分概率為=,所以C游戲盤的投中陰影部分概率最小.
3.隨著科技的進步,微爆技術正逐步被應用到我們日常生活中的各個方面.某醫(yī)院為探究微爆技術在治療腎結石方面的應用,設計了一個試驗:在一個棱長為
1 cm的正方體的中心放置微量手術專用炸藥,而爆炸的威力范圍是一個半徑為R的球,則爆炸之后形成的碎片全部落在正方體內部的概率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選A.由題意可知,要使碎片全部落在正方體的內部,則該爆炸的威力范圍的半徑R不大于正方體的內切球的半徑r=.所以該事件的概率P==.
4.在長為12 cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選C.設AC=x cm(0
0,解得00}的概率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選D.由題意可知a∈,區(qū)間長度為6,因為1∈{x|2x2+ax-a2>0},所以2+a-a2>0,則-10}的概率為P==.
8.(2018南昌模擬)已知f(x)=+cos x,在區(qū)間(0,π)內任取一點x,使得f′(x)>0的概率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選C.因為f(x)=+cos x,所以f′(x)=-sin x,令-sin x>0,sin x<,當x∈(0,π)時,00,得|x|90的概率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選A.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中任取一點M,滿足∠AMB>90的區(qū)域為半徑為1的球體的,體積為π13=,所以所求概率為=.
【變式備選】(2018長沙模擬)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(點E與點B1不重合),且EH∥A1D1,過EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點分別為點F,G.若AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F,在長方體ABCD-A1B1C1D1內隨機選取一點,則該點取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內的概率為________.
【解題指南】解題關鍵是用間接法表示幾何體A1ABFE-D1DCGH的體積.
【解析】在等腰直角三角形B1EF中,因為斜邊EF=a,
所以B1E=B1F=a,根據(jù)幾何概型概率公式,得
P=
=
=1-
=1-
=1-=1-aa=1-=.
答案:
4.(12分)(2018濟南模擬)已知向量a=(2,1),b=(x,y).
(1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率.
(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夾角是鈍角的概率.
【解析】(1)設“a∥b”為事件A,由a∥b,得x=2y.
所有基本事件為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1), (1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12個基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2個基本事件.
則P(A)==,即向量a∥b的概率為.
(2)設“a,b的夾角是鈍角”為事件B,由a,b的夾角是鈍角,可得ab<0,即2x+y<0,且x≠2y.
基本事件為
所表示的區(qū)域,
B=,
則由圖可知,P(B)==,
即向量a,b的夾角是鈍角的概率是.
【變式備選】已知集合A=[-3,3],B= [-2,2],設M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M內隨機取出一個元素(x,y).
(1)求以(x,y)為坐標的點落在圓x2+y2=4內的概率.
(2)求以(x,y)為坐標的點到直線x+y=0的距離不大于的概率.
【解析】(1)A=[-3,3],B=[-2,2],設M={(x,y)|x∈A,y∈B},表示的區(qū)域的面積為64=24.
圓x2+y2=4的面積為4π,
所以以(x,y)為坐標的點落在圓x2+y2=4內的概率為P1==.
(2)由題意,到直線x+y=0的距離不大于的點夾在兩條平行直線x+y-2=0與x+y+2=0之間,如圖所示,
故所求事件的概率為
P2==.
5.(13分)已知關于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.
(1)設集合A={-1,1,2,3,4,5}和B={-2,-1,1,2,3,4},分別從集合A,B中隨機取一個數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.
(2)設點(a,b)是區(qū)域內的隨機點,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.
【解析】要使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a>0且-≤1,即a>0且2b≤a.
(1)所有(a,b)的取法總數(shù)為66=36個,滿足條件的(a,b)有(1,-2),(1,-1), (2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3,1),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),
(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2)共16個,所以,所求概率P==.
(2)如圖,求得區(qū)域的面積為88=32.
由求得P,
所以區(qū)域內滿足a>0且2b≤a的面積為
8=.
所以,所求概率P==.
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