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12＋4分項(xiàng)練10　立體幾何 1．已知a，b為異面直線，下列結(jié)論不正確的是(　　) A．必存在平面α，使得a∥α，b∥α B．必存在平面α，使得a，b與α所成角相等 C．必存在平面α，使得a?α，b⊥α D．必存在平面α，使得a，b與α的距離相等 答案　C 解析　由a，b為異面直線知，在A中，在空間中任取一點(diǎn)O(不在a，b上)，過(guò)點(diǎn)O分別作a，b的平行線，則由過(guò)點(diǎn)O的a，b的平行線確定一個(gè)平面α，使得a∥α，b∥α，故A正確；在B中，平移b至b′與a相交，因而確定一個(gè)平面α，在α上作a，b′夾角的平分線，明顯可以作出兩條．過(guò)角平分線且與平面α垂直的平面使得a，b′與該平面所成角相等，角平分線有兩條，所以有兩個(gè)平面都可以．故B正確；在C中，當(dāng)a，b不垂直時(shí)，不存在平面α，使得a?α，b⊥α，故C錯(cuò)誤；在D中，過(guò)異面直線a，b的公垂線的中點(diǎn)作與公垂線垂直的平面α，則平面α使得a，b與α的距離相等，故D正確．故選C. 2．(2018河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①若m⊥α，α⊥β，則m∥β； ②若m⊥α，α∥β，n?β，則m⊥n； ③若m?α，n?β，m∥n，則α∥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　對(duì)于①，若m⊥α，α⊥β，則m∥β或m?β，所以不正確； 對(duì)于②，若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又由n?β，所以m⊥n正確； 對(duì)于③，若m?α，n?β，m∥n，則α∥β或α與β相交， 所以不正確； 對(duì)于④，若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又由m⊥β，所以m⊥α是正確的， 綜上可知，正確命題的個(gè)數(shù)為2. 3．(2018福建省廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正(主)視圖是(　　) 答案　A 解析　取DD1的中點(diǎn)F，連接AF，C1F， 平面AFC1E為截面．如圖所示， 所以上半部分的正(主)視圖，如A選項(xiàng)所示，故選A. 4．(2018煙臺(tái)模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，則幾何體的表面積為(　　) A．3π＋4－2 B．3π＋2－2 C.＋2－2 D.＋2＋2 答案　A 解析　由三視圖還原出原幾何體是一個(gè)半圓柱挖去一個(gè)三棱柱，尺寸見(jiàn)三視圖， S＝π12＋2＋22 ＝3π－2＋4. 5．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B．8 C. D．6 答案　A 解析　如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中， 題圖中的三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為四棱錐P－ADC1B1， 其中P為棱A1D1的中點(diǎn)， 則該幾何體的體積 VP－ADC1B1＝2VP－DB1C1＝2VD－PB1C1 ＝2S△PB1C1DD1＝. 6．現(xiàn)有編號(hào)為①，②，③的三個(gè)三棱錐(底面水平放置)，俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　根據(jù)題意可得三個(gè)立體幾何圖形如圖所示：由圖一可得側(cè)面ABD，ADC與底面垂直，由圖二可得面ACE垂直于底面，由圖三可知，無(wú)側(cè)面與底面垂直． 7．(2018漳州模擬)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，則其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為(　　) A. B. C. D．29 答案　A 解析　如圖1，分別取AC，A1C1的中點(diǎn)G，H，連接GH， 取GH的中點(diǎn)O，連接OA， 由題意，得A1B＋B1C＝A1C， 即△A1B1C1為直角三角形， 則點(diǎn)O為外接球的球心，OA為半徑， 則R＝OA＝ ＝； 如圖2，作三棱柱的中截面， 則中截面三角形的內(nèi)心是該三棱柱的內(nèi)切球的球心， 中截面三角形的內(nèi)切圓的半徑r＝＝1，也是內(nèi)切球的半徑， 因?yàn)镽∶r＝∶2， 則其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為＝. 8．(2018昆明適應(yīng)性檢測(cè))在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則(　　) A．MN∥C1D1 B．MN⊥BC1 C．MN⊥平面ACD1 D．MN⊥平面ACC1 答案　D 解析　對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)镸，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N∈平面CDD1C1，點(diǎn)M?平面CDD1C1， 所以直線MN是平面CDD1C1的斜線， 又因?yàn)橹本€C1D1在平面CDD1C1內(nèi)， 故直線MN與直線C1D1不可能平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)； 對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中易知NB≠NC1， 因?yàn)辄c(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)， 所以直線MN 與直線BC1不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)； 對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)MN⊥平面ACD1，可得MN⊥CD1. 因?yàn)镹是CD1的中點(diǎn)， 所以MC＝MD1，這與MC≠M(fèi)D1矛盾． 故假設(shè)不成立． 所以選項(xiàng)C錯(cuò)； 對(duì)于選項(xiàng)D，分別取B1C1，C1D1的中點(diǎn)P，Q，連接PM，QN，PQ. 因?yàn)辄c(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)， 所以PM∥CC1且PM＝CC1. 同理QN∥CC1且QN＝CC1. 所以PM∥QN且PM＝QN， 所以四邊形PQNM為平行四邊形， 所以PQ∥MN. 在正方體中，CC1⊥PQ，PQ⊥AC， 因?yàn)锳C∩CC1＝C，AC?平面ACC1，CC1?平面ACC1， 所以PQ⊥平面ACC1. 因?yàn)镻Q∥MN，所以MN⊥平面ACC1. 9．(2018瀘州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A．136π B．144π C．36π D．34π 答案　D 解析　由三視圖可知幾何體為四棱錐E－ABCD，直觀圖如圖所示． 其中，BE⊥平面ABCD，BE＝4，AB⊥AD，AB＝， C到AB的距離為2，C到AD的距離為2， 以A為原點(diǎn)，分別以AD，AB所在直線及平面ABCD過(guò)A的垂線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 則A(0,0,0)，B(0，，0)，C(2,2，0)，D(4,0,0)，E(0，，4)． 設(shè)外接球的球心為M(x，y，z)， 則MA＝MB＝MC＝MD＝ME， ∴x2＋y2＋z2＝x2＋(y－)2＋z2 ＝(x－2)2＋(y－2)2＋z2 ＝(x－4)2＋y2＋z2＝x2＋(y－)2＋(z－4)2， 解得x＝2，y＝，z＝2. ∴外接球的半徑r＝MA＝ ＝， ∴外接球的表面積S＝4πr2＝34π. 10.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠BCA＝90，∠BAC＝60，AC＝4，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CA1上，且A1H＝3HC，則線段FH的長(zhǎng)為(　　) A．2 B．4 C. D．3 答案　C 解析　由題意知，AB＝8，過(guò)點(diǎn)F作FD∥AB交AA1于點(diǎn)D，連接DH，則D為AE中點(diǎn)，F(xiàn)D＝AB＝4， 又＝＝3，所以DH∥AC，∠FDH＝60， DH＝AC＝3，由余弦定理得 FH＝＝，故選C. 11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑．“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈ ，人們還用過(guò)一些類似的近似公式，根據(jù)π＝3.141 59…判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是(　　) A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ 答案　D 解析　根據(jù)球的體積公式V＝πR3＝π3， 得d＝ ，設(shè)選項(xiàng)中的常數(shù)為，則π＝， 選項(xiàng)A代入得π＝＝3.1， 選項(xiàng)B代入得π＝＝3， 選項(xiàng)C代入得π＝＝3.2， 選項(xiàng)D代入得π＝＝3.142 857， D選項(xiàng)更接近π的真實(shí)值，故選D. 12．(2018上饒模擬)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有兩個(gè)球O1，O2相外切，球O1與面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切，球O2與面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切，則兩球表面積之和的最大值與最小值的差為(　　) A．(2－)π B. C．(3－)π D. 答案　A 解析　設(shè)球O1，O2的半徑分別為r1，r2， 由題意得r1＋r1＋r2＋r2＝， 所以r1＋r2＝，令a＝. 表面積和為S，所以S＝4πr＋4πr， 所以＝r＋r＝r＋(a－r1)2＝22＋， 又r1最大時(shí)，球O1與正方體六個(gè)面相切， 且max＝，min＝－＝， 所以r1∈. 又<<， 所以當(dāng)r1＝時(shí)，min＝， 當(dāng)r1＝或時(shí)，max＝a2－a＋， 所以max－min＝－a＋ ＝＝. 所以兩球表面積之和的最大值與最小值的差為(2－)π. 13.如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝AB＝PA， 所以tan∠PCA＝＝2. 14．(2018大同、陽(yáng)泉聯(lián)考)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列結(jié)論： ①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直； ②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等； ③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180； ④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 答案?、冖? 解析?、賹⑺拿骟wABCD的三組對(duì)棱分別看作平行六面體的面對(duì)角線，由于三組對(duì)棱分別相等，所以平行六面體為長(zhǎng)方體．由于長(zhǎng)方體的各面不一定為正方形，所以同一面上的面對(duì)角線不一定垂直，從而每組對(duì)棱不一定相互垂直，①錯(cuò)誤；②四面體ABCD的每個(gè)面是全等的三角形，面積是相等的，②正確；③由②可知，四面體ABCD的每個(gè)面是全等的三角形，從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)內(nèi)角，它們之和為180，③錯(cuò)誤；④四面體ABCD棱的中點(diǎn)即為長(zhǎng)方體側(cè)面的中心，所以對(duì)棱中點(diǎn)連線都過(guò)長(zhǎng)方體的中心且相互垂直平分，④正確． 15．(2018南昌模擬)已知正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的上、下底邊長(zhǎng)分別為3，4，高為7，若該正三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，且球心O在正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1內(nèi)，則球O的表面積為_(kāi)_______． 答案　100π 解析　因?yàn)檎馀_(tái)ABC－A1B1C1的上、下底邊長(zhǎng)分別為3，4， 取正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為E，E1， 則正三棱臺(tái)的高為h＝EE1＝7， 在上下底面的等邊三角形中， 可得AE＝AD＝3，A1E1＝A1D1＝4， 則球心O在直線EE1上，且半徑為R＝OA＝OA1， 所以＝，且OE＋OE1＝7， 解得OE＝4，所以R＝＝5， 所以球O的表面積為S＝4πR2＝100π. 16．已知三棱錐O—ABC中，A，B，C三點(diǎn)均在球心為O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120，若球O的體積為，則三棱錐O—ABC的體積是________． 答案　 解析　三棱錐O—ABC中，A，B，C三點(diǎn)均在球心為O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120，則AC＝， ∴S△ABC＝11sin 120＝，設(shè)球半徑為R，由球的體積V1＝πR3＝，解得R＝4.設(shè)△ABC外接圓的圓心為G，∴外接圓的半徑為GA＝＝1， ∴OG＝＝＝， ∴三棱錐O —ABC的體積為 V2＝S△ABCOG＝＝.