(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)講義(含解析).doc
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第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 突破點(diǎn)一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 1.直線和平面垂直的定義 直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直. 2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號(hào)語言 判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì)定理 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 ?a∥b 3.直線與平面所成的角 (1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角. (2)線面角θ的范圍:. 一、判斷題(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.( ) (2)若直線a⊥平面α,直線b∥α,則直線a與b垂直.( ) (3)直線a⊥α,b⊥α,則a∥b.( ) 答案:(1) (2)√ (3)√ 二、填空題 1.過一點(diǎn)有________條直線與已知平面垂直. 答案:一 2.在三棱錐PABC中,點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O, ①若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的________心. ②若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的________心. 答案:外 垂 3.如圖,已知∠BAC=90,PC⊥平面ABC,則在△ABC, △PAC的邊所在的直線中,與PC垂直的直線有________________;與AP垂直的直線有________. 解析:因?yàn)镻C⊥平面ABC, 所以PC垂直于直線AB,BC,AC. 因?yàn)锳B⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C, 所以AB⊥平面PAC, 又因?yàn)锳P?平面PAC, 所以AB⊥AP,與AP垂直的直線是AB. 答案:AB,BC,AC AB [典例] (2019鄭州一測(cè))如圖,在三棱錐PABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,BC=2,AC=2,D為線段AB上的點(diǎn),且AD=2DB,PD⊥AC. (1)求證:PD⊥平面ABC; (2)若∠PAB=,求點(diǎn)B到平面PAC的距離. [解] (1)證明:連接CD,據(jù)題知AD=4,BD=2,AC2+BC2=AB2, ∴∠ACB=90,∴cos∠ABC==, ∴CD2=22+(2)2-222cos∠ABC=8, ∴CD=2,∴CD2+AD2=AC2,則CD⊥AB. ∵平面PAB⊥平面ABC, ∴CD⊥平面PAB,∴CD⊥PD, ∵PD⊥AC,AC∩CD=C, ∴PD⊥平面ABC. (2)由(1)得PD⊥AB,∵∠PAB=, ∴PD=AD=4,PA=4, 在Rt△PCD中,PC==2, ∴△PAC是等腰三角形,∴可求得S△PAC=8. 設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為d, 由VBPAC=VPABC,得S△PACd=S△ABCPD, ∴d==3. 故點(diǎn)B到平面PAC的距離為3. [方法技巧] 證明直線與平面垂直的方法 (1)定義法:若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,則這條直線垂直于這個(gè)平面(不常用); (2)判定定理(常用方法); (3)若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面(客觀題常用); (4)若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,則它必垂直于另一個(gè)平面(客觀題常用); (5)若兩平面垂直,則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面(常用方法); (6)若兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面(客觀題常用). [針對(duì)訓(xùn)練] (2019貴州模擬)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為平行四邊形,且AB=AD=1,AA1=,∠ABC=60. (1)求證:AC⊥BD1; (2)求四面體D1AB1C的體積. 解:(1)證明:連接BD,與AC交于點(diǎn)O,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,且AB=AD,所以四邊形ABCD為菱形, 所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,可知BB1⊥AC,則AC⊥平面BB1D1D,又BD1?平面BB1D1D,則AC⊥BD1. (2)VD1AB1C=VABCDA1B1C1D1-VB1ABC-VD1ACD-VAA1B1D1-VCC1B1D1=VABCDA1B1C1D1-4VB1ABC=-4=. 突破點(diǎn)二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 1.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義:兩個(gè)平面相交, 如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直. (2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理: 文字語言 圖形語言 符號(hào)語言 判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直 ?l⊥α 2.二面角的有關(guān)概念 (1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角. (2)二面角的平面角:過二面角棱上的任一點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角α的范圍:. 一、判斷題(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“”) (1)若α⊥β,a⊥β?a∥α.( ) (2)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.( ) (3)如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β.( ) 答案:(1) (2) (3) 二、填空題 1.m,n為直線,α,β為平面,若m⊥α,m∥n,n∥β,則α與β的位置關(guān)系為________. 答案:垂直 2.設(shè)α,β為兩個(gè)不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的____________條件. 答案:充分不必要 3.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,連接PB,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂直的平面有________對(duì). 解析:由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC,共7對(duì). 答案:7 [典例] (2019開封定位考試)如圖,在三棱錐DABC中,AB=2AC=2,∠BAC=60,AD=,CD=3,平面ADC⊥平面ABC. (1)證明:平面BDC⊥平面ADC; (2)求三棱錐DABC的體積. [解] (1)證明:在△ABC中,由余弦定理可得, BC= = =, ∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC, ∵平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC, ∴BC⊥平面ADC, 又BC?平面BDC,∴平面BDC⊥平面ADC. (2)由余弦定理可得cos∠ACD=, ∴sin∠ACD=, ∴S△ACD=ACCDsin∠ACD=, 則VDABC=VBADC=BCS△ACD=. [方法技巧] 面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化 兩種方法 (1)面面垂直的定義; (2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β) 一個(gè)轉(zhuǎn)化 在已知兩個(gè)平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 [針對(duì)訓(xùn)練] (2019洛陽一模)如圖,在四棱錐EABCD中,△EAD為等邊三角形,底面ABCD為等腰梯形,滿足AB∥CD,AD=DC=AB,且AE⊥BD. (1)證明:平面EBD⊥平面EAD; (2)若△EAD的面積為,求點(diǎn)C到平面EBD的距離. 解:(1)證明:如圖,取AB的中點(diǎn)M,連接DM, 則由題意可知四邊形BCDM為平行四邊形, ∴DM=CB=AD=AB,即點(diǎn)D在以線段AB為直徑的圓上, ∴BD⊥AD,又AE⊥BD,且AE∩AD=A, ∴BD⊥平面EAD. ∵BD?平面EBD,∴平面EBD⊥平面EAD. (2)∵BD⊥平面EAD,且BD?平面ABCD, ∴平面ABCD⊥平面EAD. ∵等邊△EAD的面積為, ∴AD=AE=ED=2, 取AD的中點(diǎn)O,連接EO,則EO⊥AD,EO=, ∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD, ∴EO⊥平面ABCD. 由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形, ∴BD==2, S△EBD=EDBD=2, 設(shè)點(diǎn)C到平面EBD的距離為h, 由VCEBD=VEBCD,得S△EBDh=S△BCDEO, 又S△BCD=BCCDsin 120=, ∴h=.∴點(diǎn)C到平面EBD的距離為. 突破點(diǎn)三 平行與垂直的綜合問題 1.平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在證明線面、面面平行時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,不可過于“模式化”. 2.垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在證明線面垂直、面面垂直時(shí),一定要注意判定定理成立的條件.同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系,即: 在證明兩平面垂直時(shí),一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在圖中不存在,則可通過作輔助線來解決. [典例] (2018北京高考)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F(xiàn)分別為AD,PB的中點(diǎn). (1)求證:PE⊥BC; (2)求證:平面PAB⊥平面PCD; (3)求證:EF∥平面PCD. [證明] (1)因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn), 所以PE⊥AD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形, 所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD, 因?yàn)镻D?平面PAD,所以AB⊥PD. 又因?yàn)镻A⊥PD,AB∩PA=A, 所以PD⊥平面PAB. 因?yàn)镻D?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,DG. 因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn),所以FG∥BC,F(xiàn)G=BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn), 所以DE∥BC,DE=BC. 所以DE∥FG,DE=FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG. 又因?yàn)镋F?平面PCD,DG?平面PCD, 所以EF∥平面PCD. [方法技巧] 平行與垂直的綜合問題主要是利用平行關(guān)系、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化去解決.注意遵循“空間到平面”“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化關(guān)系. [針對(duì)訓(xùn)練] (2019北京西城區(qū)期末)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G,H分別是CE,CF的中點(diǎn). (1)求證:AC⊥平面BDEF; (2)求證:平面BDGH∥平面AEF. 證明:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AC⊥BD. 又平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,且AC?平面ABCD, 所以AC⊥平面BDEF. (2)在△CEF中,因?yàn)镚,H分別是CE,CF的中點(diǎn),所以GH∥EF. 又GH?平面AEF,EF?平面AEF,所以GH∥平面AEF. 設(shè)AC∩BD=O,連接OH,如圖. 在△ACF中,因?yàn)镺,H分別為CA,CF的中點(diǎn), 所以O(shè)H∥AF. 因?yàn)镺H?平面AEF,AF?平面AEF, 所以O(shè)H∥平面AEF. 因?yàn)镺H∩GH=H,OH,GH?平面BDGH, 所以平面BDGH∥平面AEF.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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