高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 不等式課件 文（打包6套）.zip,高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí),第六章,不等式課件,文打包6套,高考,數(shù)學(xué),復(fù)習(xí),第六,不等式,課件,打包 第六章不等式 第1講 不等式的概念與性質(zhì) 1 比較原理 兩實(shí)數(shù)之間有且只有以下三個(gè)大小關(guān)系之一 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 2 不等式的性質(zhì) 1 對(duì)稱性 a b b a a b b a a c 2 傳遞性 a b b c 3 可加性 a b a c b c 移項(xiàng)法則 a b c a c b 推論 同向不等式可加 a b c d a c b d 4 可乘性 a b c 0 ac bc a b c 0 推論1 同向 正 可乘 a b 0 c d 0 ac bd 推論2 可乘方 正 a b 0 an bn n N n 2 ac bc 1 a b R 若a b 0 則下列不等式中正確的是 A b a 0 D B a3 b3 0C a2 b2 0D b a 0 2 2013年廣東深圳二模 設(shè)0 a b 1 則下列不等式 D 成立的是 3 2012年廣東汕頭一模 如果a R 且a2 a 0 那么 a a2 a a2的大小關(guān)系式為 D A a2 a a2 aC a a2 a a2 B a2 a a a2D a a2 a2 a 0 考點(diǎn)1 不等式的基本性質(zhì) 例1 1 設(shè)0 a b 則下列不等式中正確的是 答案 B 2 2014年四川 若a b 0 c d 0 則一定有 答案 B 規(guī)律方法 1 判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí) 先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮 找到與命題相近的性質(zhì) 并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假 2 特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法 特別對(duì)于有一定條件限制的選擇題 用特殊值驗(yàn)證的方法更方便 判斷一個(gè)命題為假命題時(shí) 可以用特殊值法 但不能用特殊值法肯定一個(gè)命題 此時(shí)只能用所學(xué)知識(shí)嚴(yán)密證明 互動(dòng)探究 1 若a 0 b a c d 0 則下列命題 其中能成立的個(gè)數(shù)是 A 1個(gè)C 3個(gè) B 2個(gè)D 4個(gè) 答案 C 考點(diǎn)2 利用作差比較大小 例2 在等比數(shù)列 an 和等差數(shù)列 bn 中 a1 b1 0 a3 b3 0 且a1 a3 試比較下列各組數(shù)的大小 1 a2與b2 2 a5與b5 規(guī)律方法 作差比較法證明不等式的步驟是 作差 變形 判斷差的符號(hào) 作差是依據(jù) 變形是手段 判斷差的符號(hào)才是目的 常用的變形方法有 配方法 通分法 因式分解法等 有時(shí)把差變形為常數(shù) 有時(shí)變形為常數(shù)與幾個(gè)數(shù)平方和的形式 有時(shí)變形為幾個(gè)因式積的形式等 總之 變形到能判斷出差的符號(hào)為止 互動(dòng)探究 2 已知等比數(shù)列 an 的公比q 0 其前n項(xiàng)和為Sn 則S4a5 與S5a4的大小關(guān)系是 A S4a5 S5a4C S4a5 S5a4 B S4a5 S5a4D 不確定 A 考點(diǎn)3 利用作商比較大小 易錯(cuò) 易混 易漏 忽略考慮等號(hào)能否同時(shí)成立例題 設(shè)f x ax2 bx 1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范圍 圖6 1 1 失誤與防范 本題主要考查多個(gè)不等式等號(hào)能否成立的問(wèn)題 可以考慮待定系數(shù)法 換元法和線性規(guī)劃法 要特別注意1 a b 2 2 a b 4中的a b不是獨(dú)立的 而是相互制約的 因此無(wú)論用哪種方法都必須將a b a b當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待 第2講 一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式的解法 1 將不等式的右邊化為零 左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 2 求出相應(yīng)的一元二次方程的根 3 利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式 的解集 2 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān) 系如下表 續(xù)表 若a 0時(shí) 可以先將二次項(xiàng)系數(shù)a化成正數(shù) 對(duì)照上表求解 判別式 b2 4ac 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根 1 2015年廣東廣州第一次調(diào)研 不等式x2 2x 3 0的解 集是 1 3 B 3 下列四個(gè)不等式中 解集為R的是 C 4 2014年四川 已知集合A x x 1 x 2 0 集合B 為整數(shù)集 則A B A 1 0 C 2 1 0 1 B 0 1 D 1 0 1 2 解析 A x 1 x 2 集合B為整數(shù)集 則A B 1 0 1 2 故選D D 考點(diǎn)1 解一元二次 分式不等式 例1 1 2013年廣東 不等式x2 x 2 0的解集為 解析 x2 x 2 x 2 x 1 0 2 x 1 答案 2 1 規(guī)律方法 解一元二次不等式的一般步驟是 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 即不等式的右邊為零 左邊的二次項(xiàng)系數(shù)為正 確定判別式 的符號(hào) 若 0 則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根 若 0 則對(duì)應(yīng)的二次方程無(wú)根 結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集 特別地 若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式 則可立即寫出不等式的解集 互動(dòng)探究 解析 不等式2x2 ax a2 0的解集中的一個(gè)元素為1 則有2 a a2 0 即a2 a 2 0 解得 1 a 2 故選B B 考點(diǎn)2 含參數(shù)不等式的解法 例2 解關(guān)于x的不等式 ax2 a 1 x 1 0 規(guī)律方法 解含參數(shù)的有理不等式時(shí)分以下幾種情況討 論 根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)討論 大于0 小于0 等于0 根據(jù)根的判別式討論 0 0 x2 x1 x2 x1 x2 互動(dòng)探究 2 已知不等式ax2 3x 6 4的解集為 x xb 1 求a b的值 2 解不等式ax2 ac b x bc 0 2 不等式ax2 ac b x bc 0 即x2 2 c x 2c 0 即 x 2 x c 0 當(dāng)c 2時(shí) 不等式 x 2 x c 0的解集為 x 2 x c 當(dāng)c 2時(shí) 不等式 x 2 x c 0的解集為 x c x 2 當(dāng)c 2時(shí) 不等式 x 2 x c 0的解集為 綜上所述 當(dāng)c 2時(shí) 不等式ax2 ac b x bc 0的解集 為 x 2 x c 當(dāng)c 2時(shí) 不等式ax2 ac b x bc 0的解集為 x c x 2 當(dāng)c 2時(shí) 不等式ax2 ac b x bc 0的解集為 考點(diǎn)3 一元二次不等式的應(yīng)用 例3 2014年大綱 函數(shù)f x ax3 3x2 3x a 0 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 上是增函數(shù) 求a的取值范圍 規(guī)律方法 含參數(shù)問(wèn)題的分類討論 其主要形式最終都轉(zhuǎn)化成二次問(wèn)題的分類討論 分類討論的一般情形為 討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù) a 0 a 0 a0 0 x2 x1 x2 x1 x2 討論兩根是否在定義域內(nèi) 互動(dòng)探究 5 0 5 3 2013年江蘇 已知f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 4x 則不等式f x x的解集用區(qū)間表示為 綜上所述 x 5 0 5 思想與方法 利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求參數(shù)的范圍 例題 已知函數(shù)f x x2 2x ax x 1 1 若對(duì)任意x 1 f x 0恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 若對(duì)任意a 1 1 f x 4恒成立 求實(shí)數(shù)x的取值范圍 規(guī)律方法 在含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中 選準(zhǔn) 主元 往往是解題的關(guān)鍵 即需要確定合適的變量或參數(shù) 能使函數(shù)關(guān)系更加清晰明朗 一般地 已知存在范圍的量為變量 而待求范圍的量為參數(shù) 如第 1 小問(wèn)中x為變量 關(guān)于x的二次函數(shù) a為參數(shù) 第 2 小問(wèn)中a為變量 關(guān)于a的一次函數(shù) x為參數(shù) 第3講 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 1 基本不等式成立的條件 a 0 b 0 2 等號(hào)成立的條件 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) B B A 有最大值C 是增函數(shù) B 有最小值D 是減函數(shù) 4 已知x 0 y 0 且x 4y 1 則xy的最大值為 2 116 考點(diǎn)1 利用基本不等式求最值 或取值范圍 答案 16 3 2013年福建 若2x 2y 1 則x y的取值范圍是 A 0 2 C 2 B 2 0 D 2 答案 D 規(guī)律方法 1 第 1 小題與第 2 小題需要將 1 靈活代入 所求的代數(shù)式中 這種方法叫逆代法 2 第 3 小題的關(guān)鍵在于如何從2x 2y 1中提煉出我們所 需要的x y 只有2x 2y 2x y才能得到x y 3 利用均值不等式及變式求函數(shù)的最值時(shí) 要注意到合理拆分項(xiàng)或配湊因式 而拆與湊的過(guò)程中 一要考慮定理使用的條件 兩數(shù)都為正 二要考慮必須使和或積為定值 三要考慮等號(hào)成立的條件 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取 號(hào) 即 一正 二定 三相等 互動(dòng)探究 36 考點(diǎn)2 利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍 互動(dòng)探究 考點(diǎn)3 利用基本不等式處理實(shí)際問(wèn)題 例3 某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖6 3 1所示的矩形綜合性休閑廣場(chǎng) 其總面積為3000平方米 其中場(chǎng)地四周 陰影部分 為通道 通道寬度均為2米 中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地 其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同 塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米 1 分別寫出用x表示y和用x表示S的函數(shù)關(guān)系式 寫出函數(shù)定義域 2 怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值 最大值為多少 圖6 3 1 互動(dòng)探究 答案 40 難點(diǎn)突破 在基本不等式中利用整體思想求最值例題 1 若實(shí)數(shù)x y滿足x2 y2 xy 1 則x y的最大值是 答案 B 規(guī)律方法 本題主要考查了均值不等式在求最值時(shí)的運(yùn)用 整體思想是分析這類題目的突破口 即x y與x 2y分別是統(tǒng)一的整體 如何構(gòu)造出只含x y 構(gòu)造xy亦可 與x 2y 構(gòu)造x 2y亦可 形式的不等式是解本題的關(guān)鍵 第4講 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 1 一般地 直線l Ax By C 0把直角坐標(biāo)平面分成三 個(gè)部分 Ax By C 0 直線l上的點(diǎn) x y 的坐標(biāo)滿足 直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) x y 的坐標(biāo)滿足Ax By C 0 直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) x y 的坐標(biāo)滿足Ax By C 0 所以 只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi) 任取一特殊點(diǎn) x0 y0 計(jì)算Ax0 By0 C的值的正負(fù) 即可判斷不等式表示的平面區(qū)域 2 由于對(duì)直線Ax By C 0同一側(cè)的所有點(diǎn) x y 把它的坐標(biāo) x y 代入Ax By C所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同 所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) x0 y0 由Ax0 By0 C的符號(hào)即可判斷不等式表示的平面區(qū)域 2 線性規(guī)劃相關(guān)概念 最小值 最小值 式組 含邊界 1 寫出能表示如圖6 4 1所示的陰影部分的二元一次不等 圖6 4 1 C 1 4 若點(diǎn) 1 3 和點(diǎn) 4 2 在直線2x y m 0的兩側(cè) 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 5 m 10 考點(diǎn)1 二元一次不等式 組 與平面區(qū)域 例1 設(shè)集合A x y x y 1 x y是三角形的三邊長(zhǎng) 則集合A所表示的平面區(qū)域 不含邊界的陰影部分 是 A B C D 思維點(diǎn)撥 由三角形的三邊關(guān)系 兩邊之和大于第三邊 來(lái)確定二元一次不等式組 然后求可行域 答案 A 規(guī)律方法 本題以三角形 集合為載體來(lái)考查線性規(guī)劃問(wèn)題 由于是選擇題 只要找出正確的不等式組并作出相應(yīng)的直線即可看出答案 這就是做選擇題的特點(diǎn) 圖D16 4 考點(diǎn)2 線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題 解析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖D15 由z 2x y 得y 2x z 平移直線y 2x z 由圖象知 當(dāng)直線y 2x z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 4 2 時(shí) 直線y 2x z的截距最大 此時(shí)z最大 此時(shí)z 2 4 2 10 故選C 圖D15 答案 C 規(guī)律方法 利用線性規(guī)劃求最值 一般用圖解法求解 其步驟是 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域 考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形 確定最優(yōu)解 在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直 線 從而確定最優(yōu)解 求最值 將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小 值 互動(dòng)探究 y的最小值為 1 解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域知 區(qū)域?yàn)槿切?平移直線z x y 得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩直線y 1與x y 1 0的交點(diǎn) 0 1 時(shí) z取得最小值為1 考點(diǎn)3 線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 例3 某家具廠有方木料90m 五合板600m 準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售 已知生產(chǎn)一張書桌需要方木料0 1m 五合板2m 生產(chǎn)一個(gè)書櫥需要方木料0 2m 五合板1m 出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元 出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元 如果只安排生產(chǎn)書桌 可獲利潤(rùn)多少 如果只安排生產(chǎn)書櫥 可獲利潤(rùn)多少 如何安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大 思維點(diǎn)撥 找出約束條件與目標(biāo)函數(shù) 準(zhǔn)確地作出可行域 再利用圖形直觀地求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解 因此安排生產(chǎn)400個(gè)書櫥 100張書桌 可獲利潤(rùn)最大為 56000元 規(guī)律方法 根據(jù)已知條件寫出不等式組是解題的第一步 畫出可行域是第二步 找出最優(yōu)解是第三步 互動(dòng)探究 3 2013年湖北 某旅行社租用A B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行 A B兩種車輛的載客量分別為36人和60人 租金分別為1600元 輛和2400元 輛 旅行社要求租車總數(shù)不超 過(guò)21輛 且B型車不多于A型車7輛 則租金最少為 A 31200元C 36800元 B 36000元D 38400元 答案 C 思想與方法 用數(shù)形結(jié)合的思想求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 解析 不等式組表示的區(qū)域如圖6 4 3 則 OM 的最小值就是坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線x y 2 0的距離 圖6 4 3 圖6 4 4 規(guī)律方法 用線性規(guī)劃求最值時(shí) 要充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 只有把握好這一點(diǎn) 才能準(zhǔn)確求解 常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義如下 第5講 不等式的應(yīng)用 1 如果a b R 那么a2 b2 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí) 取 號(hào) 2ab B 2 2013年陜西 若點(diǎn) x y 位于曲線y x 與y 2所圍成 A 的封閉區(qū)域 則2x y的最小值為 A 6B 2C 0D 2 解析 如圖D18 將點(diǎn) 2 2 代入2x y 得最小值為 6 圖D18 3 建造一個(gè)容積為8m3 深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池 如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為180元和80元 那么水池 的最低總造價(jià)為 元 2000 4 一批貨物隨17列貨車從A市以v千米 時(shí)勻速直達(dá)B市 已知兩地路線長(zhǎng)400千米 為了安全 兩輛貨車間距至少不得 不計(jì)貨車長(zhǎng)度 8 考點(diǎn)1 利用不等式進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 例1 出版社出版某一讀物 一頁(yè)上所印文字占去150cm2 上 下邊要留1 5cm空白 左 右兩側(cè)要留1cm空白 出版商為降低成本 應(yīng)選用怎樣尺寸的紙張 規(guī)律方法 利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí) 首先要認(rèn)真審題 分析題意 建立合理的不等式模型 最后通過(guò)基本不等式解題 注意最常用的兩種題型 積一定 和最小 和一定 積最大 互動(dòng)探究 1 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室 在溫室內(nèi) 沿左 右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道 沿 前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地 則最大的種植面積是 D A 218m2 B 388m2 C 468m2 D 648m2 考點(diǎn)2 利用規(guī)劃進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 例2 某人有樓房一幢 室內(nèi)面積共計(jì)180m2 擬分隔成兩類房間作為旅游客房 大房間每間面積為18m2 可住游客5名 每名游客每天住宿費(fèi)40元 小房間每間面積為15m2 可住游客3名 每名游客每天住宿費(fèi)為50元 裝修大房間每間需要1000元 裝修小房間每間需要600元 如果他只能籌款8000元用于裝修 且游客能住滿客房 他隔出大房間和小房間各多少間 能獲得最大收益 規(guī)律方法 利用線性規(guī)劃研究實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是 應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型 即根據(jù)題意找出約束條件 確定 線性目標(biāo)函數(shù) 用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解 即畫出可行域 在可行域 內(nèi)求使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解 根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解 即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解 本題完全利用圖象 對(duì)作圖的準(zhǔn)確性和精確度要求很高 在現(xiàn)實(shí)中很難做到 為了得到準(zhǔn)確的答案 建議求出所有邊界的交點(diǎn) 再代入檢驗(yàn) 當(dāng)所求解問(wèn)題的結(jié)果是整數(shù) 而最優(yōu)解不是整數(shù)時(shí) 可取最優(yōu)解附近的整點(diǎn)檢驗(yàn) 找出符合題意的整數(shù)最優(yōu)解 互動(dòng)探究 2 某企業(yè)生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品 已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸 B原料2噸 生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸 B原料3噸 銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元 每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元 該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸 B原料不超過(guò)18噸 那么該企業(yè)可獲得的最大利潤(rùn) 是 A 12萬(wàn)元C 25萬(wàn)元 B 20萬(wàn)元D 27萬(wàn)元 答案 D 考點(diǎn)3 利用基本不等式處理實(shí)際問(wèn)題 例3 某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買飼料 已知該養(yǎng)殖場(chǎng)每天需要飼料200公斤 每公斤飼料的價(jià)格為1 8元 飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天0 03元 購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元 1 求該養(yǎng)殖場(chǎng)多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最小 2 若提供飼料的公司規(guī)定 當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于5噸時(shí) 其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠 即原價(jià)的85 問(wèn)該養(yǎng)殖場(chǎng)是否考慮利用此優(yōu)惠條件 請(qǐng)說(shuō)明理由 互動(dòng)探究 3 2013年廣東廣州一模 某輛汽車購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用是15萬(wàn)元 每年使用的保險(xiǎn)費(fèi) 路橋費(fèi) 汽油費(fèi)等約為1 5萬(wàn)元 年維修保養(yǎng)費(fèi)用第一年為3000元 以后逐年遞增3000元 則這輛汽車報(bào)廢的最佳年限 即使用多少年的年平均費(fèi)用最少 是 A 8年D 12年 B 10年D 15年 答案 B 易錯(cuò) 易混 易漏 利用基本不等式時(shí)忽略了等號(hào)成立的條件 例題 某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池 池的深度一定 平面圖如圖6 5 1 如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元 米 中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元 米 池底建造單價(jià)為80元 米2 水池所有墻的厚度忽略不計(jì) 圖6 5 1 1 試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬 使總造價(jià)最低 并求出最低總造價(jià) 2 若由于地形限制 該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米 試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬 使總造價(jià)最低 并求出最低總造價(jià) 值 首先考慮利用均值不等式 利用均值不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件及題目的限制條件 如果均值不等式中等號(hào)不能成立 則考慮利用 對(duì)勾 函數(shù)的單調(diào)性 在區(qū)間 0 a 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 a 上單調(diào)遞增 或者利用導(dǎo)數(shù)求最值 第6講 不等式選講 1 理解絕對(duì)值的幾何意義 并能利用含絕對(duì)值不等式的幾 何意義證明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 3 會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式 ax b c ax b c x c x b a 2 了解下列柯西不等式的幾種不同形式 理解它們的幾何意義 并會(huì)證明 3 會(huì)用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形 4 會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式 5 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 6 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明伯努利不等式 1 x n 1 nx x 1 x 0 n為大于1的正整數(shù) 了 解當(dāng)n為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)伯努利不等式也成立 7 會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 能夠利用平均值不 等式 柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值 8 了解證明不等式的基本方法 比較法 綜合法 分析法 反證法 縮放法 1 常用的證明不等式的方法 1 比較法 比較法包括作差比較法和作商比較法 2 綜合法 利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式 例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理 和不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出所要證明的不等式 3 分析法 證明不等式時(shí) 有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個(gè)不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題 如果能夠肯定這些充分條件都已具備 那么就可以斷定原不等式成立 4 反證法 可以從正難則反的角度考慮 即要證明不等式A B 先假設(shè)A B 由題設(shè)及其他性質(zhì) 推出矛盾 從而肯定A B 凡涉及的證明不等式為否定命題 唯一性命題或含有 至多 至少 不存在 不可能 等詞語(yǔ)時(shí) 可以考慮用反證法 5 放縮法 要證明不等式A B成立 借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法 2 絕對(duì)值不等式 1 含絕對(duì)值不等式的解法 設(shè)a 0 f x a f x a 2 理解絕對(duì)值的幾何意義 a b a b a b D 1 用反證法證明時(shí) 其中的結(jié)論 a b 應(yīng)假設(shè)為 A a b B a b C a b D a b 2 若關(guān)于x的不等式 x a 1的解集為 1 3 則實(shí)數(shù)a的值為 A 2 B 1 C 1 D 2 3 不等式 2x 3 1的解集為 1 2 A 4 2014年廣東韶關(guān)調(diào)研 不等式 x 1 x 2 1的解集 是 1 5 2013年江西 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi) 不等式 x 2 1 1的解 集為 0 4 考點(diǎn)1 比較法證明不等式 例1 2013年江蘇 已知a b 0 求證 2a3 b3 2ab2 a2b 證明 2a3 b3 2ab2 a2b 2a3 2ab2 a2b b3 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 規(guī)律方法 比較法證不等式的步驟可歸納為 作差并化簡(jiǎn) 其化簡(jiǎn)目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式 判斷差值與零的大小關(guān)系 必要時(shí)須進(jìn)行討論 得出結(jié)論 又 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 a b a b 2a b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 考點(diǎn)2 綜合法證明不等式 例2 2013年新課標(biāo) 設(shè)a b c均為正實(shí)數(shù) 且a b c 1 證明 規(guī)律方法 分析法證明不等式 就是 執(zhí)果索因 從所證的不等式出發(fā) 不斷用充分條件代替前面的不等式 直至使不等式成立的條件已具備 就斷定原不等式成立 當(dāng)證題不知從何入手時(shí) 有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決 特別對(duì)于條件 簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法 用分析法論證 若A 則B 這個(gè)命題的模式是 欲證命題B為真 只需證明命題B1為真 從而又只需證明命題B2為真 從而又 只需證明命題A為真 今已知A真 故B必真 簡(jiǎn)寫為 B B1 B2 Bn A 考點(diǎn)3 分析法證明不等式 規(guī)律方法 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程之間不能直接互化 必需以普通方程為橋梁 即將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程 或?qū)?shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程 要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性 考點(diǎn)4利用放縮法證明不等式時(shí)應(yīng)把握好度 規(guī)律方法 要證A B 可適當(dāng)選擇一個(gè)C 使得C B 反之亦然 主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時(shí)的證明 一般的放縮技巧有 分式放縮 固定分子 放縮分母 固定分母 放縮分子 多見于分式類不等式的證明 添舍放縮 視情況丟掉或增多一些項(xiàng)進(jìn)行放縮 多見于整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明 考點(diǎn)5 解絕對(duì)值不等式 例5 已知函數(shù)f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若關(guān)于x的不等式f x a恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思維點(diǎn)撥 1 只要分區(qū)去掉絕對(duì)值 即轉(zhuǎn)化為普通的一次不等式 最后把各個(gè)區(qū)間內(nèi)的解集合并即可 2 問(wèn)題等價(jià)于f x max 可以利用不等式 a b a b a b 考點(diǎn)6 不等式 a b a b a b 的應(yīng)用 例6 1 不等式 x 3 x 1 a2 3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 A 1 4 C 2 5 B 2 5 D 1 4 解析 由絕對(duì)值的幾何意義易知 x 3 x 1 的最小值為4 所以不等式 x 3 x 1 a2 3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立 只需a2 3a 4 解得 1 a 4 答案 A 2 若關(guān)于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 設(shè)y x 3 x 4 1 x 3 則y 2x 7 3 x 4 圖象如圖6 6 1 1 x 4 圖6 6 1 由圖象 可知 1 y 1 當(dāng)a 1時(shí) 不等式的解集不是空集 答案 1 規(guī)律方法 對(duì)于比較復(fù)雜的含絕對(duì)值不等式的問(wèn)題 若用常規(guī)解法需分類討論 去掉絕對(duì)值符號(hào) 解法繁瑣 而靈活運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義 往往能簡(jiǎn)便 巧妙地將問(wèn)題解決 互動(dòng)探究 1 若不等式 x 4 x 3 a的解集為非空集合 則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 A a 7C a 1 B 1 a 7D a 1 解析 由題意 得a x 4 x 3 min x 4 x 3 x 4 x 3 即a 1 C 2 若不等式 x a x 2 1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立 則實(shí) 數(shù)a的取值范圍為 a 3或a 1 解析 設(shè)y x a x 2 則ymin a 2 因?yàn)椴坏仁?x a x 2 1對(duì) x R恒成立 所以 a 2 1 解得a 3 或a 1 3 2015年廣東廣州一模 已知a為實(shí)數(shù) 則 a 1是關(guān)于 x的絕對(duì)值不等式 x x 1 a有解的 B A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件