高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 概率與統(tǒng)計課件 文（打包6套）.zip,高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí),第九章,概率與統(tǒng)計課件,文打包6套,高考,數(shù)學(xué),復(fù)習(xí),第九,概率,統(tǒng)計,課件,打包 第5講 離散型隨機變量及其分布列 1 理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念 了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性 2 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程 并能進行簡單的應(yīng)用 3 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念 能理解n次獨立重復(fù)實驗的模型及二項分布 并能解決一些簡單的實際問題 1 隨機變量 1 隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量 常用字 母X Y 表示 2 所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變 量 3 隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值 這樣的變量就叫 做連續(xù)型隨機變量 2 條件概率及其性質(zhì) 1 條件概率的定義 A發(fā)生的條件下 事件B發(fā)生的概率 2 條件概率的求法 求條件概率除了可借助定義中的公式 還可以借助古典概 3 條件概率的性質(zhì) 0 1 條件概率具有一般概率的性質(zhì) 即 P B A 若B和C是兩個互斥事件 則P B C A P B A P C A 3 事件的相互獨立性 P A P B 1 設(shè)A B為兩個事件 若P AB 則稱事件A與事件B相互獨立 4 離散型隨機變量的分布列 稱為離散型隨機變量X的概率分布列 簡稱為X的分布列 有時為了表達簡單 也用等式P X xi pi i 1 2 n表示X的分布列 一般地 若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1 x2 xi xn X取每一個值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 則表 5 離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 1 pi 0 i 1 2 n 2 p1 p2 pn 1 6 常見的離散型隨機變量的分布列 1 兩點分布 如果隨機變量X的分布列為 其中0 p 1 稱X服從兩點分布 而稱p P X 1 為成功 概率 2 超幾何分布 一般地 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中 任取n件 其中恰 k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N 稱隨機變量X服從超幾何分布 其分布列如下表 3 二項分布 一般地 在n次獨立重復(fù)試驗中 設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X 在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p 那么在n次獨立重復(fù) k 0 1 2 n 此時稱隨機變量X服從二項分布 記作X B n p 并稱p為成功概率 其分布列如下表 1 下列四個表格中 可以作為離散型隨機變量分布列的一 個是 C D C 4 某一射手射擊所得的環(huán)數(shù) 的分布列如下 0 7 此射手 射擊一次命中環(huán)數(shù)不小于8環(huán) 的概率為 考點1 離散型隨機變量的分布列 例1 2014年廣東珠海二模 已知甲 乙兩名乒乓球運動員進行比賽 根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計 在一局比賽中 甲甲 乙二人準(zhǔn)備進行三局比賽 1 求在三局比賽中甲勝前兩局 乙勝第三局的概率 2 用 表示三局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù) 求 的分布列 規(guī)律方法 離散型隨機變量的分布列的求法 寫出X的所有可能取值 注意準(zhǔn)確理解X的含義 以免失 誤 利用概率知識 古典概型或相互獨立事件的概率 求出X 取各值的概率 列表并檢驗 寫出分布列 互動探究 1 2013年山東 甲 乙兩支排球隊進行比賽 約定先勝3局者獲得比賽的勝利 比賽隨即結(jié)束 除第五局甲隊獲勝的概 結(jié)果相互獨立 1 分別求甲隊以3 0 3 1 3 2獲勝的概率 2 若比賽結(jié)果為3 0或3 1 則勝利方得3分 對方得0分 若比賽結(jié)果為3 2 則勝利方得2分 對方得1分 求乙隊得分X的分布列 解 1 記 甲隊以3 0 3 1 3 2獲勝 分別為事件A1 A2 A3 由題意 各局比賽結(jié)果相互獨立 2 設(shè) 乙隊以3 2獲勝 為事件A4 由題意 各局比賽結(jié)果相互獨立 所以 由題意 隨機變量X的所有可能的取值為0 1 2 3 根據(jù)事件的互斥性 得 故X的分布列為 考點2 超幾何分布的應(yīng)用 例2 2012年春節(jié)前 有超過20萬名廣西 四川等省籍的外來務(wù)工人員選擇駕乘摩托車沿321國道長途跋涉返鄉(xiāng)過年 為防止摩托車駕駛?cè)艘蜷L途疲勞駕駛 手腳僵硬影響駕駛操作而引發(fā)交通事故 肇慶市公安交警部門在321國道沿線設(shè)立了多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站 讓過往返鄉(xiāng)過年的摩托車駕駛?cè)藛T有一個停車休息的場所 交警小李在某休息站連續(xù)5天對進站休息的駕駛?cè)藛T每隔50輛摩托車就詢問駕駛?cè)藛T的省籍一次 詢問結(jié)果如圖9 5 1 圖9 5 1 1 問交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的 是什么抽樣方法 2 用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進行抽 樣 若廣西籍的有5名 則四川籍的應(yīng)抽取幾名 3 在上述抽出的駕駛?cè)藛T中任取2名 求抽取的2名駕駛 人員中四川籍人數(shù) 的分布列 解 1 交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的是系統(tǒng)抽樣方法 2 從圖中可知 被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T是廣西籍的有5 20 25 20 30 100 名 四川籍的有15 10 5 5 5 40 名 設(shè)四川籍的駕駛?cè)藛T應(yīng)抽取x名 依題意 得 3 的所有可能取值為0 1 2 的分布列為 規(guī)律方法 在超幾何分布中 只要知道N M和n 就可以根據(jù)公式 求出X取不同值m時的概率P X m 從而列出X的分布列 互動探究 2 一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球 1 采取放回抽樣方式 從中摸出2個球 求2個球恰好顏 色不同的概率 2 采取不放回抽樣方式 從中摸出2個球 求摸得白球的 個數(shù)的分布列 解 1 采取放回抽樣方式 從中摸出2個球 2球恰好顏色不同 也就是說從5個球中摸出一球 若第一次摸到白球 則第二次摸到黑球 若第一次摸到黑球 則第二次摸到白球 考點3 二項分布的應(yīng)用 例3 2014年上海金山一模 2012年3月2日 國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的 環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn) 其中規(guī)定 居民區(qū)中的PM2 5年平均濃度不得超過35微克 立方米 PM2 5的24小時平均濃度不得超過75微克 立方米 某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)2013年40天的PM2 5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù) 數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下 1 請你根據(jù)上表的數(shù)據(jù)統(tǒng)計估計該樣本的眾數(shù)和中位數(shù) 不必寫出計算過程 2 求該樣本的平均數(shù) 并根據(jù)樣本估計總體的思想 從PM2 5的年平均濃度考慮 判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進 并說明理由 3 將頻率視為概率 對于2013年的某2天 記這2天中該居民區(qū)PM2 5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為 求 的分布列及數(shù)學(xué)期望E 解 1 眾數(shù)約為22 5 中位數(shù)約為37 5 2 去年該居民區(qū)PM2 5年平均濃度為7 5 0 1 22 5 0 3 37 5 0 2 52 5 0 2 67 5 0 1 82 5 0 1 40 5 微克 立方米 因為40 5 35 所以2013年該居民區(qū)PM2 5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn) 故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進 3 記事件A表示 一天PM2 5的24小時平均濃度符合環(huán) 規(guī)律方法 1 判斷一個隨機變量是否服從二項分布 關(guān)鍵有兩點 一是對立性 即一次試驗中 事件發(fā)生與否必居其一 二是重復(fù)性 即試驗是否獨立重復(fù)進行了n次 2 二項分布滿足的條件 每次試驗中 事件發(fā)生的概率是相同的 各次試驗中的事件是相互獨立的 每次試驗只有兩種結(jié)果 事件要么發(fā)生 要么不發(fā)生 隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù) 互動探究 3 一袋子中有大小相同的2個紅球和3個黑球 從袋子里隨機取球 取到每個球的可能性是相同的 設(shè)取到1個紅球得2分 取到1個黑球得1分 1 若從袋子里一次隨機取出3個球 求得4分的概率 2 若從袋子里每次取出1個球 看清顏色后放回 連續(xù)取 3次 求得分 的概率分布列 思想與方法 分類討論思想與離散型隨機變量的結(jié)合 例題 2014年福建 為回饋顧客 某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵 規(guī)定 每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球 球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 1 若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元 其 余3個均為10元 求 i 顧客所獲的獎勵額為60元的概率 ii 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望 2 商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元 并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值為10元和50元的兩種球組成 或標(biāo)有面值為20元和40元的兩種球組成 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡 請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計 并說明理由 ii 依題意 得X的所有可能取值20 60 即X的分布列為 所以顧客所獲的獎勵額的期望為E X 20 0 5 60 0 5 40 2 根據(jù)商場的預(yù)算 每個顧客的平均獎勵額為60元 所以 先尋找期望為60元的可能方案 對于面值由10元和50元組成的情況 如果選擇 10 10 10 50 的方案 因為60元是面值之和的最大值 所以期望不可能為60元 如果選擇 50 50 50 10 的方案 因為60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能為60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 記為方案1 對于面值由20元和40元組成的情況 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 記為方案2 以下是對兩個方案的分析 對于方案1 即方案 10 10 50 50 設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1 則X1的分布列為 對于方案2 即方案 20 20 40 40 設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2 則X2的分布列為 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求 但方案2獎勵額的方差比方案1的小 所以應(yīng)該選擇方案2 規(guī)律方法 本題主要考查相互獨立事件及互斥事件概率的計算 考查分類討論思想以及運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力 尤其是運用分類討論思想解決離散型隨機變量分布列問題的時候 可通過檢查最后求出的分布列是否符合分布列的兩個性質(zhì)來檢查分類討論是否有所遺漏或重復(fù)