高考數(shù)學總復習 第九章 概率與統(tǒng)計課件 文（打包6套）.zip,高考數(shù)學總復習,第九章,概率與統(tǒng)計課件,文打包6套,高考,數(shù)學,復習,第九,概率,統(tǒng)計,課件,打包 第9講 用樣本估計總體 1 了解分布的意義和作用 會列頻率分布表 會畫頻率分布直方圖 頻率折線圖 莖葉圖 理解它們各自的特點 2 理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用 會計算數(shù)據(jù)標準差 3 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征 如平均數(shù) 標準差 并作出合理的解釋 4 會用樣本的頻率分布估計總體分布 會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征 理解用樣本估計總體的思想 5 會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題 1 用樣本估計總體 通常我們對總體作出的估計一般分成兩種 一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布 另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 2 統(tǒng)計圖 1 頻率分布直方圖 求極差 極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差 決定組距和組數(shù) 當樣本容量不超過100時 常分成5 12組 組距 極差組數(shù) 將數(shù)據(jù)分組 通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間 最后一組取閉區(qū)間 也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組 列頻率分布表 登記頻數(shù) 計算頻率 列出頻率分布表 將樣本數(shù)據(jù)分成若干個小組 每個小組內(nèi)的樣本個數(shù)稱作頻數(shù) 頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率 頻率反映各個數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小 繪制頻率分布直方圖 把橫軸分成若干段 每一段對應一個組距 然后以線段為底作一小長方形 它的高等于該組的 頻率組距 這樣得到一系列的長方形 每個長方形的面積恰好是該 組上的頻率 這些矩形就構成了頻率分布直方圖 各個長方形 的面積總和等于 1 2 頻率分布折線圖和總體密度曲線 頻率分布折線圖 連接頻率分布直方圖中各長方形上端的中點 就得頻率分布折線圖 總體密度曲線 隨著樣本容量的增加 作圖時所分的組數(shù)增加 組距減小 相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線 統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線 3 莖葉圖 當樣本數(shù)據(jù)較少時 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好 它不但可以保留所有信息 而且可以隨時記錄 給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便 3 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù) 據(jù)的眾數(shù) 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列 把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù) 或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù) 叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù) 平均數(shù) 標準差是反映總體波動大小的特征數(shù) 樣本方差是標準差的平方 通常用樣本方差估計總體方差 當樣本容量接近總體容量時 樣本方差接近總體方差 1 在廣雅中學 十佳學生 評選的演講比賽中 如圖9 9 1是七位評委為某學生打出的分數(shù)的莖葉圖 去掉一個最高分和 C 一個最低分后 所剩數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為 圖9 9 1A 85 85B 84 86 C 84 85D 85 86 2 2012年廣東惠州第一次調(diào)研 從某小學隨機抽取100名同學 將他們的身高 單位 cm 數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 如 圖9 9 2 由圖中數(shù)據(jù)可知身高在 120 130 內(nèi)的學生人數(shù)為 圖9 9 2 A 20 B 25 C 30 D 35 C 3 甲 乙 丙 丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽 四人的平均成績和方差如下表所示 從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽 最佳人 選是 C A 甲C 丙 B 乙D 丁 方差s2 4 2013年四川成都二模 在某大型企業(yè)的招聘會上 前來應聘的本科生 碩士研究生和博士研究生共2000人 各類畢業(yè)生人數(shù)統(tǒng)計圖如圖9 9 3 則博士研究生的人數(shù)為 圖9 9 3 240 考點1 頻率分布直方圖的繪制及其應用 例1 2013年四川 某學校隨機抽取20個班 調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù) 所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖9 9 4 以組距為5將數(shù)據(jù)分組成 0 5 5 10 30 35 35 40 時 所作 的頻率分布直方圖是 圖9 9 4 AC BD 解析 根據(jù)題意 列頻率分布表得 故選A 規(guī)律方法 用頻率分布直方圖解決相關問題時 應正確理解圖表中各個量的意義 識圖掌握信息是解決該類問題的關 鍵 頻率分布直方圖有以下幾個要點 縱軸表示 頻率組距 頻 率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比 直方圖中每一個矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個區(qū)間上的頻率 所有的小矩形的面積之和等于1 即頻率之和為1 答案 A 互動探究 1 2014年江蘇 某種樹木的底部周長的取值范圍是 80 130 它的頻率分布直方圖如圖9 9 5 則在抽測的60株樹木中 有 株樹木的底部周長小于100cm 圖9 9 5 解析 由題意知 在抽測的60株樹木中 底部周長小于 100cm的株數(shù)為 0 015 0 025 10 60 24 株 答案 24 考點2 莖葉圖的應用 例2 2014年新課標 某市為了考核甲 乙兩部門的工作情況 隨機訪問了50位市民 根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分 評分越高表明市民的評價越高 繪制莖葉圖 如圖9 9 6 圖9 9 6 1 分別估計該市的市民對甲 乙兩部門評分的中位數(shù) 2 分別估計該市的市民對甲 乙兩部門的評分高于90分的概率 3 根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲 乙兩部門的評價 解 1 由所給莖葉圖知 50位市民對甲部門的評分由小到大排序 排在第25 26位的是75 75 故樣本中位數(shù)為75 所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75 50位市民對乙部門的評分由小到大排序 排在第25 26位 0 1 0 16 2 由所給莖葉圖知 50位市民對甲 乙部門的評分高于 90分的比率分別為 550 850 故該市的市民對甲 乙部門的評分高于90分的概率的估計值分別為0 1 0 16 3 由所給莖葉圖知 市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù) 而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差 說明該市市民對甲部門的評價較高 評價較為一致 對乙部門的評價較低 評價差別較大 注 考生利用其他統(tǒng)計量進行分析 結論合理的同樣給分 互動探究 2 2013年重慶 莖葉圖 如圖9 9 7 記錄了甲 乙兩組各5 名學生在一次英語聽力測試中的成績 單位 分 圖9 9 7 已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16 8 則x y的值分別為 C A 2 5 B 5 5 C 5 8 D 8 8 解析 甲組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排 最中間那個數(shù)為15 則x 5 乙組平均數(shù)為16 8 則乙組數(shù)據(jù)的總和為16 8 5 84 則y 84 9 15 18 24 10 8 考點3用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 例3 2014年廣東 某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表 1 求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差 2 以十位數(shù)為莖 個位數(shù)為葉 作出這20名工人年齡的 莖葉圖 3 求這20名工人年齡的方差 解 1 這20名工人年齡的眾數(shù)為30 極差為40 19 21 2 莖葉圖 如圖9 9 8 如下 圖9 9 8 規(guī)律方法 1 眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點 但無 法客觀的反映總體特征 2 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線 3 標準差 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小 標準差 方差越大 數(shù)據(jù)越分散 標準差 方差越小 數(shù)據(jù)越集中 答案 D 難點突破 統(tǒng)計圖與概率的結合 在高考中常以頻率分布直方圖或莖葉圖的形式出現(xiàn) 考查 統(tǒng)計與概率的知識 這也是近幾年高考的熱點 例題 2014年重慶 20名學生某次數(shù)學考試成績 單位 分 的頻數(shù)分布直方圖 如圖9 9 9 如下 1 求頻率分布直方圖中a的值 2 分別求出成績落在 50 60 與 60 70 中的學生人數(shù) 3 從成績在 50 70 的學生中任選2人 求此2人的成績都 在 60 70 中的概率 解 1 頻率分布直方圖的組距為10 2a 3a 6a 7a 2a 10 1 a 1200 0 005 圖9 9 9 第8講 隨機抽樣 1 理解隨機抽樣的必要性和重要性 2 會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本 了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法 1 簡單隨機抽樣 抽簽法 1 定義 設一個總體含有N個個體 從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本 n N 如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等 就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣 2 最常用的簡單隨機抽樣的方法 和隨機數(shù)法 2 系統(tǒng)抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本 3 確定首個個體 在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l l k 4 獲取樣本 按照一定的規(guī)則抽取樣本 通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l k 再加k得到第3個個體編號 依次進行下去 直到獲取整個樣本 l 2k 3 分層抽樣 1 定義 在抽樣時 將總體分成互不交叉的層 然后按照一定的比例 從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體 將各層取出的個體合在一起作為樣本 這種抽樣方法叫做分層抽樣 2 分層抽樣的應用范圍 當總體是由差異明顯的幾個部分組成時 往往選用分層抽 樣 1 在簡單隨機抽樣中 某一個個體被抽到的可能性是 C A 與第幾次抽樣有關 第一次抽到的可能性最大B 與第幾次抽樣有關 第一次抽到的可能性最小C 與第幾次抽樣無關 每一次抽到的可能性相等D 與第幾次抽樣無關 與抽取幾個樣本有關 2 為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況 銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況 若用系統(tǒng)抽樣法 則抽樣間 隔和隨機剔除的個體數(shù)分別為 A A 3 2 B 2 3 C 2 30 D 30 2 3 2013年廣東揭陽一模 某學校高一 高二 高三年級的學生人數(shù)之比為3 3 4 現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本 則應從高三年級抽取的 學生人數(shù)為 A 15人 B 20人 C 25人 D 30人 B 4 問題 三種不同的容器中分別裝有同一型號的零件400個 200個 150個 現(xiàn)在要從這750個零件中抽取一個容量為50的樣本 從20名學生中選出3名參加座談會 方法 隨機抽樣法 系統(tǒng)抽樣法 分層抽樣法 其中問題與方法能配對的是 C A C B D 考點1 簡單隨機抽樣 例1 1 2014年四川 由人教版必修3P100 1改編 在 世界讀書日 前夕 為了解某地5000名居民某天的閱讀時間 從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析 在這個問題中 5000名居民的閱讀時間的全體是 A 總體C 樣本的容量 B 個體D 從總體中抽取的一個樣本 解析 為了解5000名居民某天的閱讀時間 從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析 樣本容量為200 每個居民的閱讀時間就是一個個體 5000名居民的閱讀時間的全體是總體 答案 A 2 2014年湖南 對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本 當選取簡單隨機抽樣 系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時 總體中每個個體被抽中的概率分別為p1 p2 p3 則 A p1 p2 p3C p1 p3 p2 B p2 p3 p1D p1 p2 p3 解析 根據(jù)隨機抽樣的原理可得簡單隨機抽樣 分層抽樣 系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等 即p1 p2 p3 故選D 答案 D 規(guī)律方法 抽樣方法主要有簡單隨機抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 不論是哪種抽樣方法 在整個抽樣過程中 每個個體被抽到的概率是相等的 本題考查分層抽樣 多年來 全國各地對抽樣方法的考查一直是以分層抽樣為最主要的考查對象 但是2013年江西卷考到了隨機數(shù)表 見互動探究1 應該引起我們的警覺 互動探究 1 2013年江西 總體由編號為01 02 19 20的20個個體組成 利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體 選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取 兩個數(shù)字 則選出來的第5個個體的編號為 78163204 6572080292344935 63148200 0702436936234869 97286938 01987481 A 08C 02 B 07D 01 解析 從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字開始向右讀 第一個數(shù)為65 不符合條件 第二個數(shù)為72 不符合條件 第三個數(shù)為08 符合條件 以下符合條件的依次為 02 14 07 01 故第5個數(shù)為01 答案 D 考點2 系統(tǒng)抽樣 例2 1 2014年廣東 為了解1000名學生的學習情況 采用系統(tǒng)抽樣的方法 從中抽取容量為40的樣本 則分段的間隔 為 A 50C 25 B 40D 20 解析 由題意知 分段間隔為 100040 25 故選C 答案 C 2 將參加夏令營的600名學生編號為 001 002 600 采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本 且隨機抽得的號碼為003 這600名學生分住在三個營區(qū) 從001到300在第 營區(qū) 從301到495在第 營區(qū) 從496到600在第 營區(qū) 三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為 A 26 16 8C 25 16 9 B 25 17 8D 24 17 9 12 故抽取的號碼構成以3為首項 公差為12的等差數(shù)列 在第 營區(qū)001 300號恰好有25組 故抽取25人 在第 營區(qū)301 495號有195人 共有16組多3人 因為抽取的第一個數(shù)是3 所以 營區(qū)共抽取17人 剩余50 25 17 8 人 需從第 營區(qū)抽取 答案 B 第7講 正態(tài)分布 利用實際問題的直方圖 了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 1 正態(tài)分布 的圖象為正態(tài)分布密度曲線 簡稱正態(tài)曲線 2 正態(tài)曲線的特點 x 1 1 曲線位于x軸上方 與x軸不相交 2 曲線是單峰的 關于直線 對稱 4 曲線與x軸之間的面積為 5 當 一定時 曲線隨 的變化沿x軸平移 6 當 一定時 曲線形狀由 確定 越大 曲線越 矮胖 表示總體分布越分散 越 曲線越 高瘦 表示總體分布越集中 小 3 3 原則 1 P X 0 6826 2 P 2 X 2 0 9544 3 P 3 X 3 0 9974 1 正態(tài)曲線下 橫軸上 從均值到 的面積為 A 0 95 B A B 0 5C 0 975D 不能確定 與標準差的大小有關 2 標準正態(tài)分布的均值與標準差分別為 A 0與1C 0與0 B 1與0D 1與1 3 已知隨機變量 服從正態(tài)分布N 0 2 P 2 0 023 C A 則P 2 2 A 0 477C 0 954 B 0 628D 0 977 4 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N a 4 且P X 1 0 5 則實數(shù)a的值為 A 1C 2 D 4 考點1 正態(tài)分布密度函數(shù)形式 例1 下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是 照上述選項是否符合 對于B 0 1 故選B 答案 B 互動探究 C 的平均數(shù)和標準差分別是 A 0和8C 0和2 B 0和4D 0和0 考點2 正態(tài)分布的相關計算 例2 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N 3 1 且P 2 x 4 0 6826 則P X 4 A 0 1588C 0 1586 B 0 1587D 0 1585 答案 B 規(guī)律方法 對于正態(tài)分布的相關計算要充分利用正態(tài)曲 線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1 正態(tài)曲線關于直線x 對稱 從而在關于x 對稱區(qū)間上的概率相等 P x a 1 P x a P x a 1 P x a 互動探究 2 2014年新課標 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件 測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值 由測量結果得如下頻率分布直方圖 如圖9 7 1 圖9 7 1 考點3 正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì) 密度函數(shù)圖象如圖9 7 2 則有 圖9 7 2 A 1 2C 1 2 1 2 1 2 解析 因為正態(tài)曲線的圖象關于直線x 對稱 由圖則 1 2 又 2越大 即方差越大 說明樣本數(shù)據(jù)越發(fā)散 圖象越矮胖 反之 2越小 即方差越小 說明樣本數(shù)據(jù)越集中 圖象越瘦高 答案 A 規(guī)律方法 曲線是單峰的 關于直線x 對稱 當 一定時 曲線隨 的變化沿x軸平移 當 一定時 曲線形狀由 確定 越大 曲線越 矮胖 表示總體分布越分散 C 互動探究 3 正態(tài)分布有兩個參數(shù) 與 相應的正態(tài)曲線的形狀 越扁平 A 越大C 越大 B 越小D 越小 易錯 易混 易漏 與正態(tài)分布結合的綜合問題 例題 佛山某學校的場室統(tǒng)一使用 佛山照明 的一種燈管 已知這種燈管使用壽命 單位 月 服從正態(tài)分布N 2 且使用壽命不少于12個月的概率為0 8 使用壽命不少于24個月的概率為0 2 1 求這種燈管的平均使用壽命 2 假設一間功能室一次性換上4支這種新燈管 使用12個月時進行一次檢查 將已經(jīng)損壞的燈管換下 中途不更換 求至少有兩支燈管需要更換的概率 即這種燈管的平均使用壽命是18個月 2 每支燈管使用12個月時已經(jīng)損壞的概率為1 0 8 0 2 假設使用12個月時該功能室需要更換的燈管數(shù)量為 支 則 B 4 0 2 故至少有兩支燈管需要更換的概率p 1 P 0 P 1 規(guī)律方法 此題的第 1 小題涉及正態(tài)分布 只需要根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性進行計算 正解 1 N 2 P 12 0 8 P 24 0 2 P 24 第6講 離散型隨機變量的均值與方差 理解取有限個值的離散型隨機變量均值 方差的概念 能計算簡單離散型隨機變量的均值 方差 并能解決一些實際問題 1 離散型隨機變量的均值和方差 一般地 若離散型隨機變量X的分布列為 則稱E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 2 均值和方差的性質(zhì)設a b是常數(shù) 隨機變量X Y滿足Y aX b aE X b 則E Y E aX b D Y D aX b a2D X 3 兩點分布及二項分布的均值和方差 p np 1 若X服從兩點分布 則E X D X p 1 p 2 若X B n p 則E X D X np 1 p 1 已知隨機變量 的分布列是 B 則D A 0 6 B 0 8 C 1 D 1 2 D 2 已知 的分布列為 A E p D pqB E p D p2C E q D q2D E 1 p D p p2 其中p 0 1 則 3 已知X的分布列如下表 設Y 2X 1 則Y的數(shù)學期望 是 B C 考點1 離散型隨機變量的均值 例1 2014年天津 某大學志愿者協(xié)會有6名男同學 4名女同學 在這10名同學中 3名同學來自數(shù)學學院 其余7名同學來自物理 化學等其他互不相同的7個學院 現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動 每位同學被選到的可能性相同 1 求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率 2 設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù) 求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望 解 1 設 選出的3名同學是來自互不相同的學院 為事件A 則 所以隨機變量X的分布列為 規(guī)律方法 1 一般地 若離散型隨機變量X的分布列為 則稱E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 2 求數(shù)學期望 均值 的關鍵是求出其分布列 若已知離散型分布列 可直接套用公式E X x1p1 x2p2 xipi xnpn求其均值 隨機變量的均值是一個常數(shù) 它不依賴于樣本的抽取 只要找準隨機變量及相應的概率即可計算 互動探究 1 2013年廣東 已知離散型隨機變量X的分布列為 A 則X的數(shù)學期望E X 考點2 離散型隨機變量的方差 例2 2013年浙江 設袋子中裝有a個紅球 b個黃球 c個藍球 且規(guī)定 取出1個紅球得1分 取出1個黃球2分 取出1個藍球得3分 1 當a 3 b 2 c 1時 從該袋子中任取2個球 有放回 且每個球取到的機會均等 記隨機變量 為取出這2個球所得分數(shù)之和 求 的分布列 2 從該袋子中任取1個球 且每個球取到的機會均等 記b c 解 1 由已知 得當兩次取出的球分別是紅紅時 2 當兩次取出的球分別是紅黃 或黃紅時 3 當兩次取出的球分別是黃黃 紅藍 或藍紅時 4 當兩次取出的球分別是藍藍時 6 當兩次取出的球分別是黃藍 或藍黃時 5 2 由已知 得 有三種取值即1 2 3 所以 的分布列是 故a b c 3 2 1 規(guī)律方法 1 一般地 若離散型隨機變量X的分布列為 xn E X 2pn為隨機變量X的方差 2 若X是隨機變量 且Y aX b 其中a b是常數(shù) 則Y也是隨機變量 則E Y E aX b aE X b D Y D aX b a2D X 3 均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平 如果兩個隨機變量的均值相等 還要看隨機變量的取值在均值周圍的變化 方差大 說明隨機變量取值較分散 方差小 說明取值較集中 互動探究 考點3 二項分布的綜合應用 例3 2014年廣東 隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù) 單位 件 獲得數(shù)據(jù)如下 30 42 41 36 44 40 37 37 25 45 29 43 31 36 49 34 33 43 38 42 32 34 46 39 36 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下 1 確定樣本頻率分布表中n1 n2 f1和f2的值 2 根據(jù)上述頻率分布表 畫出樣本頻率分布直方圖 3 根據(jù)樣本頻率分布直方圖 求在該廠任取4人 至少有 1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間 30 35 的概率 解 1 n1 7 n2 2 f1 0 28 f2 0 08 2 樣本頻率分布直方圖如圖9 6 1 圖9 6 1 3 根據(jù)樣本頻率分布直方圖 每人的日加工零件數(shù)落在區(qū) 間 30 35 的概率為0 2 設所取的4人中 日加工零件數(shù)落在區(qū)間 30 35 的人數(shù)為 則 B 4 0 2 P 1 1 P 0 1 1 0 2 4 1 0 4096 0 5904 所以所取的4人中 至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間 30 35 的概率約為0 5904 互動探究 3 2013年福建 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動 舉辦方設置了 人有且只有一次抽獎機會 每次抽獎中獎與否互不影響 晚會結束后憑分數(shù)兌換獎品 1 若小明選擇方案甲抽獎 小紅選擇方案乙抽獎 記他們 的累計得分為X 求X 3的概率 2 若小明 小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進行抽獎 問 他們選擇何種方案抽獎 累計的得分的數(shù)學期望較大 思想與方法 利用分類討論思想求數(shù)學期望 例題 2014年湖北 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站 過去50年的水文資料顯示 水的年入流量X 年入流量 一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和 單位 億立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超過120的年份有35年 超過120的年份有5年 將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率 并假設各年的年入流量相互獨立 1 求在未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概 率 2 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行 但每年發(fā)電機最 多可運行臺數(shù)受年入流量X限制 并有如下關系 若某臺發(fā)電機運行 則該臺年利潤為5000萬元 若某臺發(fā)電機未運行 則該臺年虧損800萬元 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應安裝發(fā)電機多少臺 2 記水電站年總利潤為Y萬元 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40 故1臺發(fā)電機運行的概率為 1 對應的年利潤Y 5000 E Y 5000 1 5000 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意 當40 X 80時 1臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 800 4200 因此P Y 4200 P 40 X 80 p1 0 2 當X 80時 2臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 2 10000 因此P Y 10000 P X 80 p2 p3 0 8 由此得Y的分布列如下 所以E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意 當40120時 3臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的分布列如下 所以E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 綜上所述 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應安裝 發(fā)電機2臺 規(guī)律方法 本題考查學生在不同背景下遷移知識的能力 關鍵在于如果迅速 準確將信息提取 加工 構建數(shù)學模型 化歸為數(shù)學期望問題 第5講 離散型隨機變量及其分布列 1 理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念 了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性 2 理解超幾何分布及其導出過程 并能進行簡單的應用 3 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念 能理解n次獨立重復實驗的模型及二項分布 并能解決一些簡單的實際問題 1 隨機變量 1 隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量 常用字 母X Y 表示 2 所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變 量 3 隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值 這樣的變量就叫 做連續(xù)型隨機變量 2 條件概率及其性質(zhì) 1 條件概率的定義 A發(fā)生的條件下 事件B發(fā)生的概率 2 條件概率的求法 求條件概率除了可借助定義中的公式 還可以借助古典概 3 條件概率的性質(zhì) 0 1 條件概率具有一般概率的性質(zhì) 即 P B A 若B和C是兩個互斥事件 則P B C A P B A P C A 3 事件的相互獨立性 P A P B 1 設A B為兩個事件 若P AB 則稱事件A與事件B相互獨立 4 離散型隨機變量的分布列 稱為離散型隨機變量X的概率分布列 簡稱為X的分布列 有時為了表達簡單 也用等式P X xi pi i 1 2 n表示X的分布列 一般地 若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1 x2 xi xn X取每一個值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 則表 5 離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 1 pi 0 i 1 2 n 2 p1 p2 pn 1 6 常見的離散型隨機變量的分布列 1 兩點分布 如果隨機變量X的分布列為 其中0 p 1 稱X服從兩點分布 而稱p P X 1 為成功 概率 2 超幾何分布 一般地 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中 任取n件 其中恰 k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N 稱隨機變量X服從超幾何分布 其分布列如下表 3 二項分布 一般地 在n次獨立重復試驗中 設事件A發(fā)生的次數(shù)為X 在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p 那么在n次獨立重復 k 0 1 2 n 此時稱隨機變量X服從二項分布 記作X B n p 并稱p為成功概率 其分布列如下表 1 下列四個表格中 可以作為離散型隨機變量分布列的一 個是 C D C 4 某一射手射擊所得的環(huán)數(shù) 的分布列如下 0 7 此射手 射擊一次命中環(huán)數(shù)不小于8環(huán) 的概率為 考點1 離散型隨機變量的分布列 例1 2014年廣東珠海二模 已知甲 乙兩名乒乓球運動員進行比賽 根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計 在一局比賽中 甲甲 乙二人準備進行三局比賽 1 求在三局比賽中甲勝前兩局 乙勝第三局的概率 2 用 表示三局比賽中甲獲勝的局數(shù) 求 的分布列 規(guī)律方法 離散型隨機變量的分布列的求法 寫出X的所有可能取值 注意準確理解X的含義 以免失 誤 利用概率知識 古典概型或相互獨立事件的概率 求出X 取各值的概率 列表并檢驗 寫出分布列 互動探究 1 2013年山東 甲 乙兩支排球隊進行比賽 約定先勝3局者獲得比賽的勝利 比賽隨即結束 除第五局甲隊獲勝的概 結果相互獨立 1 分別求甲隊以3 0 3 1 3 2獲勝的概率 2 若比賽結果為3 0或3 1 則勝利方得3分 對方得0分 若比賽結果為3 2 則勝利方得2分 對方得1分 求乙隊得分X的分布列 解 1 記 甲隊以3 0 3 1 3 2獲勝 分別為事件A1 A2 A3 由題意 各局比賽結果相互獨立 2 設 乙隊以3 2獲勝 為事件A4 由題意 各局比賽結果相互獨立 所以 由題意 隨機變量X的所有可能的取值為0 1 2 3 根據(jù)事件的互斥性 得 故X的分布列為 考點2 超幾何分布的應用 例2 2012年春節(jié)前 有超過20萬名廣西 四川等省籍的外來務工人員選擇駕乘摩托車沿321國道長途跋涉返鄉(xiāng)過年 為防止摩托車駕駛人因長途疲勞駕駛 手腳僵硬影響駕駛操作而引發(fā)交通事故 肇慶市公安交警部門在321國道沿線設立了多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站 讓過往返鄉(xiāng)過年的摩托車駕駛人員有一個停車休息的場所 交警小李在某休息站連續(xù)5天對進站休息的駕駛人員每隔50輛摩托車就詢問駕駛人員的省籍一次 詢問結果如圖9 5 1 圖9 5 1 1 問交警小李對進站休息的駕駛人員的省籍詢問采用的 是什么抽樣方法 2 用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛人員進行抽 樣 若廣西籍的有5名 則四川籍的應抽取幾名 3 在上述抽出的駕駛人員中任取2名 求抽取的2名駕駛 人員中四川籍人數(shù) 的分布列 解 1 交警小李對進站休息的駕駛人員的省籍詢問采用的是系統(tǒng)抽樣方法 2 從圖中可知 被詢問了省籍的駕駛人員是廣西籍的有5 20 25 20 30 100 名 四川籍的有15 10 5 5 5 40 名 設四川籍的駕駛人員應抽取x名 依題意 得 3 的所有可能取值為0 1 2 的分布列為 規(guī)律方法 在超幾何分布中 只要知道N M和n 就可以根據(jù)公式 求出X取不同值m時的概率P X m 從而列出X的分布列 互動探究 2 一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球 1 采取放回抽樣方式 從中摸出2個球 求2個球恰好顏 色不同的概率 2 采取不放回抽樣方式 從中摸出2個球 求摸得白球的 個數(shù)的分布列 解 1 采取放回抽樣方式 從中摸出2個球 2球恰好顏色不同 也就是說從5個球中摸出一球 若第一次摸到白球 則第二次摸到黑球 若第一次摸到黑球 則第二次摸到白球 考點3 二項分布的應用 例3 2014年上海金山一模 2012年3月2日 國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的 環(huán)境空氣質(zhì)量標準 其中規(guī)定 居民區(qū)中的PM2 5年平均濃度不得超過35微克 立方米 PM2 5的24小時平均濃度不得超過75微克 立方米 某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)2013年40天的PM2 5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù) 數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下 1 請你根據(jù)上表的數(shù)據(jù)統(tǒng)計估計該樣本的眾數(shù)和中位數(shù) 不必寫出計算過程 2 求該樣本的平均數(shù) 并根據(jù)樣本估計總體的思想 從PM2 5的年平均濃度考慮 判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進 并說明理由 3 將頻率視為概率 對于2013年的某2天 記這2天中該居民區(qū)PM2 5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的天數(shù)為 求 的分布列及數(shù)學期望E 解 1 眾數(shù)約為22 5 中位數(shù)約為37 5 2 去年該居民區(qū)PM2 5年平均濃度為7 5 0 1 22 5 0 3 37 5 0 2 52 5 0 2 67 5 0 1 82 5 0 1 40 5 微克 立方米 因為40 5 35 所以2013年該居民區(qū)PM2 5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準 故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進 3 記事件A表示 一天PM2 5的24小時平均濃度符合環(huán) 規(guī)律方法 1 判斷一個隨機變量是否服從二項分布 關鍵有兩點 一是對立性 即一次試驗中 事件發(fā)生與否必居其一 二是重復性 即試驗是否獨立重復進行了n次 2 二項分布滿足的條件 每次試驗中 事件發(fā)生的概率是相同的 各次試驗中的事件是相互獨立的 每次試驗只有兩種結果 事件要么發(fā)生 要么不發(fā)生 隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù) 互動探究 3 一袋子中有大小相同的2個紅球和3個黑球 從袋子里隨機取球 取到每個球的可能性是相同的 設取到1個紅球得2分 取到1個黑球得1分 1 若從袋子里一次隨機取出3個球 求得4分的概率 2 若從袋子里每次取出1個球 看清顏色后放回 連續(xù)取 3次 求得分 的概率分布列 思想與方法 分類討論思想與離散型隨機變量的結合 例題 2014年福建 為回饋顧客 某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵 規(guī)定 每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球 球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 1 若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元 其 余3個均為10元 求 i 顧客所獲的獎勵額為60元的概率 ii 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望 2 商場對獎勵總額的預算是60000元 并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值為10元和50元的兩種球組成 或標有面值為20元和40元的兩種球組成 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡 請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計 并說明理由 ii 依題意 得X的所有可能取值20 60 即X的分布列為 所以顧客所獲的獎勵額的期望為E X 20 0 5 60 0 5 40 2 根據(jù)商場的預算 每個顧客的平均獎勵額為60元 所以 先尋找期望為60元的可能方案 對于面值由10元和50元組成的情況 如果選擇 10 10 10 50 的方案 因為60元是面值之和的最大值 所以期望不可能為60元 如果選擇 50 50 50 10 的方案 因為60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能為60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 記為方案1 對于面值由20元和40元組成的情況 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 記為方案2 以下是對兩個方案的分析 對于方案1 即方案 10 10 50 50 設顧客所獲的獎勵額為X1 則X1的分布列為 對于方案2 即方案 20 20 40 40 設顧客所獲的獎勵額為X2 則X2的分布列為 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求 但方案2獎勵額的方差比方案1的小 所以應該選擇方案2 規(guī)律方法 本題主要考查相互獨立事件及互斥事件概率的計算 考查分類討論思想以及運用數(shù)學知識解決問題的能力 尤其是運用分類討論思想解決離散型隨機變量分布列問題的時候 可通過檢查最后求出的分布列是否符合分布列的兩個性質(zhì)來檢查分類討論是否有所遺漏或重復 第4講 古典概型與幾何概型 1 古典概型 1 理解古典概型及其概率計算公式 2 會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事 件發(fā)生的概率 2 隨機數(shù)與幾何概型 1 了解隨機數(shù)的意義 能運用模擬方法估計概率 2 了解幾何概型的意義 1 基本事件的特點 1 任何兩個基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型 簡稱古典概型 1 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個 2 每個基本事件出現(xiàn)的可能性 相等 3 古典概型的概率公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個 而且所有結果出模型即為古典概型 如果某個事件A包括的結果有m個 那么事件A的概率 P A 4 幾何概型 長度 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的 面積或體積 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱為幾何概型 5 幾何概型中 事件A的概率計算公式 6 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 1 無限性 在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結果有無限多個 2 等可能性 每個結果的發(fā)生具有等可能性 注意 幾何概型的試驗中 事件A的概率P A 只與子區(qū)域A的幾何度量 長度 面積或體積 成正比 而與A的位置和形狀無關 求試驗中幾何概型的概率 關鍵是求得事件所占區(qū)域和 整個區(qū)域 的幾何度量 然后代入公式即可求解 1 2013年江西 集合A 2 3 B 1 2 3 從A B中各 取任意一個數(shù) 則這兩數(shù)之和等于4的概率是 C 2 從甲 乙 丙三人中任選兩名代表 則甲被選中的概率 為 C 3 2013年福建 利用計算機產(chǎn)生0 1之間的均勻隨機數(shù)a 則事件 3a 1 0 發(fā)生的概率為 4 如圖9 4 1的矩形 長為5 寬為2 在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆 則我們可以估計 出陰影部分的面積為 圖9 4 1 考點1 古典概型 例1 1 2014年江西 人教版必修3P127 例3 擲兩顆均勻的 骰子 則點數(shù)之和為5的概率等于 解析 擲兩顆均勻的骰子 點數(shù)的所有可能情況有6 6 36 種 其中兩顆骰子點數(shù)之和為5的事件有 1 4 4 1 2 3 答案 B 答案 C 2 2014年湖北 隨機投擲兩枚均勻的骰子 他們向上的點數(shù)之和不超過5的概率為p1 點數(shù)之和大于5的概率為p2 點數(shù)之和為偶數(shù)的概率為p3 則 A p1 p2 p3B p2 p1 p3C p1 p3 p2D p3 p1 p2 規(guī)律方法 本題是考查古典概型 利用公式P A 古典概型必須明確判斷兩點 對于每個隨機試驗來說 所有可能出現(xiàn)的實驗結果數(shù)n必須是有限個 出現(xiàn)的所有不同的試驗結果數(shù)m其可能性大小必須是相同的 解決這類問題的關鍵是列舉做到不重不漏 互動探究 1 2014年四川 一個盒子里裝有3張卡片 分別標記有數(shù)字1 2 3 這3張卡片除標記的數(shù)字外完全相同 隨機有放回地抽取3次 每次抽取1張 將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a b c 1 求 抽取的卡片上的數(shù)字滿足a b c 的概率 2 求 抽取的卡片上的數(shù)字a b c不完全相同 的概率 解 1 由題意 a b c 的所有可能有3 3 3 27 種 設 抽取的卡片上的數(shù)字滿足a b c 為事件A 則事件 A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3種 2 設 抽取的卡片上的數(shù)字a b c不完全相同 為事件B 考點2 幾何概型 例2 1 在面積為S的 ABC的邊AB上任取一點P 則 解析 取AB的三等分點P 如圖D49 如果在線段BP上 圖D49 答案 A 2 向面積為S的 ABC內(nèi)任投一點 則PPBC的面積小 圖D50 答案 34 規(guī)律方法 應用幾何概型求概率的步驟 把每一次試驗當做一個事件 看事件是否是等可能的且事件的個數(shù)是否是無限個 若是則考慮用幾何概型 將試驗構成的區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形 并加以度量 將幾何概型轉(zhuǎn)化為長度 面積 體積之比 應用幾何概型的概率公式求概率 互動探究 2 2014年遼寧 若將一個質(zhì)點隨機投入如圖9 4 2所示的長方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質(zhì)點落在以AB為直徑 的半圓內(nèi)的概率是 圖9 4 2 答案 B 考點3 兩種概型與其他知識的綜合運用 例3 甲 乙兩人約定上午9時至12時在某地時見面 并約定任何一個人先到之后等另一個人不超過一個小時 一小時之內(nèi)若對方不來 則離去 如果他們兩人在9時到12時之間的任何時刻到達約定地的概率都是相等的 求他們見到面的概率 思維點撥 1 考慮甲 乙兩人分別到達某處的時間 在平面直角坐標系內(nèi)分別用x軸 y軸表示甲 乙到達約會地時的時間 用0時到3時表示9時至12時的時間段 則試驗發(fā)生包含的條件是 x y 0 x 3 0 y 3 2 兩人能會面的時間必須滿足 x y 1 這就將問題化歸為幾何概型問題 解 設9時后過了x小時甲到達 9時后過了y小時乙到達 取點Q x y 則0 x 3 0 y 3 兩人見到面的充要條件是 x y 1 如圖9 4 3 作出兩部分對應圖形的 區(qū)域 得所求概率是 圖9 4 3 規(guī)律方法 將隨機事件轉(zhuǎn)化為面積之比時 要注意總的基本事件和所求事件分別表示的區(qū)域 互動探究 3 2014年重慶 由人教版必修3P137 例2改編 某校早上8 00開始上課 假設該校學生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 用數(shù)字作答 解析 用x表示小王到校的時間 30 x 50 用y表示小張到校的時間 30 y 50 則所有可能的結果對應如圖D51所示的直角坐標系中的正方形ABCD區(qū)域 小張比小王至少早5分鐘到校 即x y 5 所對應的區(qū)域為 圖D51 易錯 易混 易漏 幾何概型中容易混淆幾何量的比例題 1 在直角三角形ABC中 A 30 過直角頂 點C作射線CM交線段AB于M 則使 AM AC 的概率為 正解 如圖9 4 4 取AD AC A 30 此時 ACD 75 則 BCD 15 欲使 AM AC CM必須在 BCD內(nèi) 其 圖9 4 4 答案 B 2 在直角三角形ABC中 A 30 在斜邊AB上任取一 點M 則使 AM AC 的概率為 答案 C 失誤與防范 請注意兩題的區(qū)別 過直角頂點C作射線CM交線段AB于M 與 在斜邊AB上任取一點M 前者CM在直角內(nèi)等可能 結果應該為角度的比 后者M為斜邊AB上任一點 結果應該為斜邊AB上的長度比