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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月月考試題 理(答案不全) 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1. 下列說法中正確的是( ) A.棱柱的側(cè)面可以是三角形 B.正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱 C.所有的幾何體的表面都能展成平面圖形 D.棱柱的各條棱都相等 2.某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是( ) A. B. C. D. 3. 已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個(gè)面都相切)的體積是,則該球的表面積為( ) A.4πB.8πC.12πD.16π 4. 水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示,已知,則中邊上的中線的長(zhǎng)度為( ) A. B. C. D. 5. 已知三條不重合的直線和兩個(gè)不重合的平面,下列命題正確的是( ) A.若,則 B.若,且,則 C.若,則 D.若,且,則 6. 點(diǎn)分別是正方體的棱和的中點(diǎn),則和所成角的大小為() A. B. C. D. 7. 定義:底面是正三角形,側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱.將正三棱柱截去一個(gè)角(如圖1所示, 分別是的中點(diǎn))得到幾何體(如圖2),則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為( ) 8. 如圖,在大小為的二面角中,四邊形都是邊長(zhǎng)為的正方形,則兩點(diǎn)間的距離是( ) A. B. C. D. 9.已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為 ,底面是邊長(zhǎng)為的正三角形. 若為底面的中心,則與平面的所成角的大小為( ) A. B. C. D. 10. 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為() A. B. C. D. 11. 在長(zhǎng)方體中, ,.點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn),可以重合),則的最小值為( ) A. B. C. D. 12. 如圖,在正方形中,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn),將沿所在直線進(jìn)行翻折,將沿所在直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中( ) A.點(diǎn)與點(diǎn)在某一位置可能重合 B.點(diǎn)與點(diǎn)的最大距離為 C.直線與直線可能垂直 D.直線與直線可能垂直 二、填空題（每題5分，共20分） 13. 下圖是一個(gè)正方體的表面展開圖,圖中的、、和在原正方體中相互異面的有__________對(duì). 14. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有圓堡蹤,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺.術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.這里所說的圓堡蹤就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是說:圓堡蹤(圓柱體)的體積 (底面圓的周長(zhǎng)的平方高),則該問題中圓周率取值為__________. 15. 正三棱錐高為, 側(cè)棱與底面成角, 則點(diǎn)到側(cè)面的距離為__________. 16. 如下圖,平面平面,,,是正三角形,則二面角的平面角的正切值為_________. 三、解答題 17. 如圖,在四棱錐中,底面是矩形,側(cè)棱底面,,是的中點(diǎn),作交于點(diǎn). 1.證明: 平面; 2.證明: 平面. 18. 如圖,在邊長(zhǎng)為的菱形中, ,分別是和的中點(diǎn)。 1.求證: || 平面; 2.求到平面的距離. 19. 如圖,邊長(zhǎng)為的正方形中. 1.點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),將,分別沿,折起,使,兩點(diǎn)重合于點(diǎn).求證: ; 2.當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積. 20. 如圖,四棱錐中,側(cè)面為等比三角形且垂直于底面,,,是的中點(diǎn). 1.證明:直線平面. 2.點(diǎn)在棱上,且直線與底面所成銳角為,求二面角的余弦值. 21. 如圖, 是圓錐底面圓的圓心,圓錐的軸截面為等腰直角三角形, 為底面圓周上一點(diǎn) 1.若弧的中點(diǎn)為.求證: 平面; 2.如果面積是,求此圓錐的表面積 22. 如圖,在四棱錐中,平面平面為的中點(diǎn),且 1.求證:平面平面 2.求二面角的余弦值; 3.在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由。 參考答案 一、選擇題 1.答案：B 解析：棱柱的側(cè)面都是四邊形,A不正確; 正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱,正確; 所有的幾何體的表面都能展成平面圖形,球不能展開為平面圖形,C不正確; 棱柱的各條棱都相等,應(yīng)該為側(cè)棱相等,所以D不正確; 故選B 2.答案：B 解析：試題分析:由三視圖可知此幾何體為有一側(cè)面和底面垂直的三棱錐,體積為. 3.答案：D 解析：設(shè)球的半徑為.由得,∴. 4.答案：A 解析：由斜二測(cè)畫法規(guī)則知,即為直角三角形,其中,所以,邊上的中線長(zhǎng)度為. 5.答案：D 解析：選項(xiàng)A中,還有的可能;選項(xiàng)B中,還有的可能;選項(xiàng)C中,還有及與異面的可能;由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷D選面正確.故正確答案為D. 考點(diǎn):直線與平面的平行、垂直關(guān)系. 6.答案：B 解析： 7.答案：D 解析： 由題圖2側(cè)視的方向可知, 點(diǎn)的投影是棱的中點(diǎn), 點(diǎn)的投影為點(diǎn)的投影為,故應(yīng)選D. 8.答案：D 解析：因?yàn)? 所以 9.答案：B 解析：如圖所示,過作 平面于,則 為平面的中心,連接,延長(zhǎng)交于點(diǎn),則即為與平面所成的角.由,得, 即.又, ∴,∴,故選. 10.答案：D 解析： 11.答案：C 解析：由題意易得: ,作平面于,由對(duì)稱性可知, 因此,問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi),體對(duì)角線上找一點(diǎn)使得最小,如下圖所示,過點(diǎn)作它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),交直線與點(diǎn), 再過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),則的長(zhǎng)度即為所求的最小值,易得,∴,,故選C. 考點(diǎn):立體幾何中的最值問題. 12.答案：D 解析：A不正確,點(diǎn),恒不重合;B不成立,點(diǎn)和點(diǎn)的最大距離是正方形的對(duì)角線; C不正確,不可能垂直,D選項(xiàng),當(dāng)平面平面時(shí), 平面平面,直線與直線垂直, 故選D. 二、填空題 13.答案： 解析： 分析:在立體幾何中,求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型,同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離.本題采用的是“找垂面法”:即找(作)出一個(gè)過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直,然后過該點(diǎn)作其交線的垂線,則得點(diǎn)到平面的垂線段. 設(shè)在底面上的射影為,則,且是三角形的中心,設(shè)底面邊長(zhǎng)為,∴ 設(shè)側(cè)棱為,則,斜高.由面積法求到側(cè)面的距離. 解:如圖所示:設(shè)在底面上的射影為, 則平面,,且是三角形的中心, ∴ ∴平面 又∵平面, ∴平面平面, 又∵平面平面, ∴到側(cè)面的距離即為的高 設(shè)底面邊長(zhǎng)為, 則∴ 設(shè)側(cè)棱為,則,斜高. 由面積法求到側(cè)面的距離 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 本小題主要考查棱錐,線面關(guān)系、直線與平面所成的角、點(diǎn)到面的距離等基本知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力. 14.答案：3 解析：由題意知圓柱體積 (底面圓的周長(zhǎng)的平方高) ,化簡(jiǎn)得. 15.答案： 解析：作于. 因?yàn)槠矫嫫矫? 所以平面. 作于,連結(jié),所以, 所以為二面角的平面角?. 在中,因?yàn)? 設(shè), 所以, ,且為中點(diǎn), . 在正三角形中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn), , 所以. 在中, . 16.答案：3 解析：還原后的圖形如圖所示,相互異面的有與、與、與，共對(duì). 三、解答題 17.答案：1.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線分別為軸的正方向 建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè). 證明:連接交于,連接. 依題意得. 因?yàn)榈酌媸钦叫?所以是此正方形的中心. 故點(diǎn)的坐標(biāo)為,且, 所以,這表明,而平面, 且平面,所以平面. 2.依題意得,所以. 又,故. 所以,由已知得, 所以平面.