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2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第四學(xué)月考試試題 理(重點(diǎn)班，含解析) 一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1. 已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（?。? A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】由題意可得：，則，............... 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第四象限. 本題選擇D選項(xiàng). 2. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ） A. B. 160 C. D. 【答案】A 【解析】因?yàn)檎归_式中的通項(xiàng)公式可得，令所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，應(yīng)選答案A。 3. 3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，則3位男生中有且只有2位男生相鄰的概率為（ ） A. B. C. D. 310 【答案】C 【解析】三個(gè)男生都不相鄰的排列有：A33A43=144 種， 三個(gè)男生都相鄰的排列有：A334A33=144 種， 六個(gè)人所有肯能的排列有A66=720 種， 據(jù)此可知3位男生中有且只有2位男生相鄰的概率為1?144+144720=35 . 本題選擇C選項(xiàng). 4. 某校高考數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N100,52，且P(ξ<110)=0.96，則P(90<ξ<100)的值為（ ） A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46 【答案】D 【解析】依據(jù)題設(shè)條件及正太分布的對(duì)稱性可知Pξ≥110=1-0.96=0.04，所以P(ξ≤90)=0.04，則2P90<ξ<100=1-20.04=0.92，所以P90<ξ<100=0.46，應(yīng)選答案D。 5. 下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖時(shí)，若輸入，分別為18,27，則輸出的a=（ ） A. 0 B. 9 C. 18 D. 54 【答案】B 【解析】因?yàn)閍=18,b=27,ab，則a=a?b=18?9=9,b=9，此時(shí)a=b=9，運(yùn)算程序結(jié)束，輸出a=9，應(yīng)選答案B。 6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為2，則輸出S的值為 A. 64 B. 84 C. 340 D. 1364 【答案】B 【解析】執(zhí)行該程序框圖，第一次循環(huán)，x=2,S=4；第二次循環(huán)，x=4,S=4+16=20；第三次循環(huán)，x=8,S=20+64=84，84>64 結(jié)束循環(huán)，輸出S=84 ，故選B. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的條件結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題. 解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可. 7. 將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，B＝{出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36?6=30， 事件B:出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，有10種， ∴PB|A=1030=13， 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：條件概率的計(jì)算方法： (1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進(jìn)行計(jì)算； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，然后求概率值. 8. 若實(shí)數(shù)a=2?2，則a10?2C101a9+22C102a2??+210等于(　　) A. 32 B. －32 C. 1 024 D. 512 【答案】A 【解析】由題意可得： a10?2C101a9+22C102a2??+210=a?210=2?2?210=32. 本題選擇A選項(xiàng). 9. 4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有(　　) A. 24種 B. 36種 C. 48種 D. 60種 【答案】D 【解析】試題分析：每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有兩種：一種是一家企業(yè)錄用一名，C43A33=24種；一種是其中有一家企業(yè)錄用兩名大學(xué)生，C42A33=36種，∴一共有C43A33+C42A33=60種，故選D 考點(diǎn)：排列組合問題. 10. 下列說法中正確的是(　　) A. 相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，回歸分析是對(duì)相關(guān)關(guān)系的分析，因此沒有實(shí)際意義 B. 獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)分類變量關(guān)系的研究沒有100%的把握，所以獨(dú)立性檢驗(yàn)研究的結(jié)果在實(shí)際中也沒有多大的實(shí)際意義 C. 相關(guān)關(guān)系可以對(duì)變量的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報(bào)，這種預(yù)報(bào)可能會(huì)是錯(cuò)誤的 D. 獨(dú)立性檢驗(yàn)如果得出的結(jié)論有99%的可信度，就意味著這個(gè)結(jié)論一定是正確的 【答案】C 【解析】相關(guān)關(guān)系雖然是一種不確定關(guān)系，但是回歸分析可以在某種程度上對(duì)變量的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報(bào)，這種預(yù)報(bào)在盡量減小誤差的條件下可以對(duì)生產(chǎn)與生活起到一定的指導(dǎo)作用；獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)分類變量的檢驗(yàn)也是不確定的，但是其結(jié)果也有一定的實(shí)際意義，故正確答案為C. 11. 如圖，5個(gè)(x，y)數(shù)據(jù)，去掉D(3,10)后，下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A. 相關(guān)系數(shù)r變大 B. 殘差平方和變大 C. R2變大 D. 解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) 【答案】B 【解析】依據(jù)線性相關(guān)的有關(guān)知識(shí)可知：去掉數(shù)據(jù)D(3,10)后相關(guān)系數(shù)變大；相關(guān)指數(shù)R2也變大；同時(shí)解釋變量與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性也變強(qiáng)，相應(yīng)的殘差平方和變小，故應(yīng)選答案C。 12. 一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目 ξ的期望為(　　) A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4 【答案】C 【解析】試題分析：由題意知ξ=0，1，2，3， ∵當(dāng)ξ=0時(shí)，表示前三次都沒射中，第四次還要射擊，但結(jié)果不計(jì)， ∴P（ξ=0）=0.43， ∵當(dāng)ξ=1時(shí)，表示前兩次都沒射中，第三次射中 ∴P（ξ=1）=0.60.42， ∵當(dāng)ξ=2時(shí)，表示第一次沒射中，第二次射中 ∴P（ξ=2）=0.60.4， ∵當(dāng)ξ=3時(shí)，表示第一次射中， ∴P（ξ=3）=0.6， ∴Eξ=2.376． 故選C． 考點(diǎn)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的計(jì)算． 點(diǎn)評(píng)：本題在解題過程中當(dāng)隨機(jī)變量為0時(shí)，題目容易出錯(cuò)同學(xué)們可以想一想，模擬一下當(dāng)時(shí)的情況，四顆子彈都用上說明前三次都沒有射中，而第四次無論是否射中，子彈都為0． 二.填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. 設(shè) z ∈C , 滿足2<|z|<4.條件的點(diǎn) z 的集合是_________________; 【答案】圓環(huán) 【解析】由2＜|z|＜4，則22＜x2+y2＜42. 則點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以2和4為半徑的圓所夾的圓環(huán)，但是不包括環(huán)的邊界，如圖②所示. 14. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件z+z=2+i,則z=_______________; 【答案】34+i 【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)由已知a+bi+a2+b2=2+i 由復(fù)數(shù)相等可得a+a2+b2=2b=1，解得：a=34b=1， 故z=34+i. 15. 平面上，點(diǎn)A、C為射線PM上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B、D為射線PN上的兩點(diǎn)，則有SΔPABSΔPCD=PAPBPCPD（其中SΔPAB、SΔPCD分別為ΔPAB、ΔPCD的面積）；空間中，點(diǎn)A、C為射線PM上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B、D為射線PN上的兩點(diǎn)，點(diǎn)E、F為射線PL上的兩點(diǎn)，則有VP?ABEVP?CDF=______（其中VP?ABE、VP?CDF分別為四面體P—ABE、P—CDF的體積）. 【答案】PA?PB?PEPC?PD?PF 【解析】由題設(shè)可得VP-ABEVP-CDF=VE-PABVF-PCD= SΔPABPE?sinθSΔPCDPF?sinθ=PA?PBsin∠BPAA?PEPC?PDsin∠DPC?PF= PA?PB?PEPC?PD?PF(其中θ是射線PL與平面PAB所成角)，應(yīng)填答案PA?PB?PEPC?PD?PF。 點(diǎn)睛：解答本題的思路也可以直接運(yùn)用類比推理的思維模式進(jìn)行推證，求解本題時(shí)充分借助題設(shè)條件中的三棱錐可以換底的幾何特征，先將三棱錐的體積進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后借助三角形的面積公式及三棱錐的體積公式進(jìn)行分析推證，從而使得問題巧妙獲解。 16. 袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝________. 【答案】1335 【解析】根據(jù)題意可知取出的4只球中紅球個(gè)數(shù)可能為4，3，2，1個(gè)，黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為0，1，2，3個(gè)，其分值X相應(yīng)為4，6，8，10． ∴P(X≤6)=PX=4+PX=6=C43C31C74+C44C30C74=1335. 三.解答題(本大題共4小題，共40分) 17. 1+ax1+x5的展開式中x2的系數(shù)是20，求實(shí)數(shù)a的值． 【答案】2. 【解析】(1+x)5展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1=C5rxr， 結(jié)合多項(xiàng)式的特點(diǎn)可得x2項(xiàng)為：C52x2+aC51x2， 據(jù)此可得：C52+aC51=20，解得：a=2. 18. 某種藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一.周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，由于下雨會(huì)影響藥材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二無雨的概率相同且為p,兩天是否下雨互不影響，若兩天都下雨的概率為0.04. （1）求p及基地的預(yù)期收益； （2）若該基地額外聘請工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)，若周一無雨時(shí)收益為11萬元，有雨時(shí)收益為6萬元，且額外聘請工人的成本為5000元，問該基地是否應(yīng)該額外聘請工人，請說明理由. 【答案】(1)p=0.8；基地的預(yù)期收益為9.16萬元；(2)該基地應(yīng)該外聘工人，理由見解析. 【解析】試題分析： （1）由于兩天下雨是相互獨(dú)立的，因此兩天都下雨的概率是(1?p)2，由此可得p；該基地收益X的可能取值為10，8， 5（單位：萬元），分別計(jì)算要概率，然后列出概率分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．（2）該基地額外聘請工人的預(yù)期收益絕對(duì)值計(jì)算易得，現(xiàn)第（1）小題，比較兩個(gè)預(yù)期值可得． 試題解析： (1) 兩天都下雨的概率為(1-p)2=0.04，解得p=0.8. 該基地收益X的可能取值為10，8， 5。（單位：萬元）則： P(X=10)=0.64，P(X=8)=20.80.2=0.32，P(X=5)=0.04 所以該基地收益X的分布列為： X 10 8 5 P 0.64 0.32 0.04 則該基地的預(yù)期收益EX=100.64+80.32+50.04=9.16（萬元） 所以,基地的預(yù)期收益為9.16萬元 ⑵設(shè)基地額外聘請工人時(shí)的收益為Y萬元,則其預(yù)期收益: EY=110.8+60.2-0.5=9.5（萬元） 此時(shí)EY>EX，所以該基地應(yīng)該外聘工人. 19. 2015年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢?cái)產(chǎn)損失，適逢暑假，小張調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成0,2000，2000,4000，4000,6000，6000,8000，8000,10000五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）： （Ⅰ）臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如右下表格，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？ （Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率. 現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的人數(shù)為. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望E(ξ)和方差D(ξ). 附：臨界值表 P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024 隨機(jī)量變 K2=(a+b+c+d)(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析. 【解析】試題分析： (1)由題意寫出列聯(lián)表，計(jì)算可得K2=4.762>3.841，所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)． (2)題中所給的分布列為二項(xiàng)分布，據(jù)此求得分布列，然后計(jì)算可得E(ξ)=np=0.9，D(ξ)=np(1-p)=0.63. 試題解析： （Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元的有70人，經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的有30人，則表格數(shù)據(jù)如下 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 合計(jì) 捐款超過 500元 60 20 80 捐款不超 過500元 10 10 20 合計(jì) 70 30 100 K2=100(6010-1020)280207030=4.762. 因?yàn)?.762>3.841，p(k≥3.841)=0.05. 所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)． （Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率. 由題意知的取值可能有0,1,2,3， ξ~B(3,310)， Pξ=0=C3031007103=3431000， Pξ=1=C3131017102=4411000， Pξ=2=C3231027101=1891000， Pξ=3=C3331037100=271000， 從而的分布列為 0 1 2 3 p 3431000 4411000 1891000 271000 E(ξ)=np=3310=0.9， D(ξ)=np(1-p)=3310710=0.63 點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解．(2)若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解． 20. 在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列{n∈N＋}． 【答案】答案見解析. 【解析】主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用。 由條件得2bn＝an＋an＋1，an2+1＝bnbn＋1， 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a1＝2，b1＝4可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝＝(k＋2)2. 解：由條件得2bn＝an＋an＋1，＝bnbn＋1， 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*. 4分 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a1＝2，b1＝4可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝＝(k＋2)2. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切n∈N*都成立． 10分