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晶格圓柱殼受軸向負(fù)荷時(shí)的變形破壞機(jī)制 導(dǎo)言 在過去十年中,因?yàn)楦鞣N核心拓?fù)涞木W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有很高的強(qiáng)度和硬度,能有效的吸收能量,緩震隔熱,所以其影響很大[1–4].研究表明,在一些應(yīng)用中設(shè)計(jì)良好的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)相對(duì)于實(shí)心板具有更好的性能.一般來說,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是設(shè)計(jì)中首要考慮的問題,因?yàn)槠湓诮Y(jié)構(gòu)的整個(gè)力學(xué)響應(yīng)中發(fā)揮了重要作用.只有理解了各種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變形機(jī)制,才能實(shí)現(xiàn)最佳的設(shè)計(jì).以往的研究大多數(shù)研究的是二維平面格.圖1(a)–(d)分別為四種平面網(wǎng)格配置,即正方形,六角形, Kagome,三角形.每種結(jié)構(gòu)都是由二維幾何平面圖形組成,最近對(duì)正方形,六角形, Kagome,三角形網(wǎng)格的強(qiáng)度和剛度進(jìn)行了分析,它們表現(xiàn)出豐富的多樣性變形,如圖[5-8].對(duì)于正方形和六角形網(wǎng)格板來說,其每一個(gè)網(wǎng)格都承受的起由大多數(shù)載荷受的起受的起由大多數(shù)載荷引起的彎曲變形,但是正方形網(wǎng)格在承受軸向載荷時(shí)的承受能力會(huì)相對(duì)小一些.對(duì)于三角形和可果美網(wǎng)格板,網(wǎng)格的變形主要是軸向拉伸或壓縮,所以兩者具有更高的剛度和承載能力.用標(biāo)準(zhǔn)的金屬板材加工方法可以很容易的加工出六角形網(wǎng)格結(jié)構(gòu).六角形結(jié)構(gòu)的彈性模量,塑料制品產(chǎn)量和屈曲行為被廣泛討論[ 1,9,10 ] 。最近已經(jīng)有了一種新的被命名為粉加工技術(shù)的加工方法[11].王和麥克道爾[8,12]系統(tǒng)的分析了幾種平面網(wǎng)格模式的剛度,強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度. 弗萊克和秋[ 13 ]用有限元方法估計(jì)了三種彈性脆性平面格的斷裂韌性: 六邊形，三角形和可果美.張等人[14,15]提出了兩個(gè)新的超靜定平面網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),而且制定了其表面屈服強(qiáng)度的范圍.因?yàn)榫Ц癫牧鲜且环N超輕質(zhì)材料,所以這種傳統(tǒng)材料在航空航天工程中被廣泛采用.例如,利用繞組技術(shù),人們可以制造晶格圓柱殼,如圖1(e)-(h), 晶格圓柱殼是航空航天器和飛機(jī)的重要組成部分.三角晶格圓柱殼晶胞的主要幾何參數(shù)代表了這三種晶格的主要幾何參數(shù),(l)表示晶格晶胞邊線的長度,(b)(t)分別表示徑向方向和晶格殼表面晶胞邊線的密度.六角形晶格夾層圓柱殼在過去幾十年中被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)的機(jī)身和衛(wèi)星的電子管[16-19].受軸向壓縮時(shí),夾層圓柱殼具有比傳統(tǒng)的軸向加強(qiáng)圓柱殼更好的力學(xué)性能.雖然人們對(duì)六邊形晶格的力學(xué)性能進(jìn)行了深入研究,但以前的研究主要集中在簡單的六角形晶格平面結(jié)構(gòu)上,如晶胞邊線和由晶胞組成的平面,對(duì)于六角形晶格圓柱殼的力學(xué)行為沒有進(jìn)行過深入調(diào)查.因此,六角形拓?fù)渚Ц駡A柱殼是本文的講述重點(diǎn).由主要受拉伸作用的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)組成的晶格圓柱殼,如三角形晶格和可過沒晶格,其平面力學(xué)性能好于六角形晶格圓柱殼[1,8],所以軸向加強(qiáng)圓柱殼更適合采用受拉伸作用的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).實(shí)際應(yīng)用中,圓柱殼必須能夠承受相當(dāng)大的軸向載荷,能夠抵制屈曲.軸向彈性模量的復(fù)雜分析,受軸向載荷時(shí),晶格圓 圖1 四種二維點(diǎn)陣板和相應(yīng)圓柱殼的結(jié)構(gòu):(a) 正方形晶格板;(b)六邊形晶格板;(c) Kagome晶格板;(d)三角形晶格板;(e)正方形晶格圓柱殼;(f)六邊形晶格圓柱殼;(g) Kagome晶格圓柱殼;(h)三角形晶格圓柱殼 柱殼的性能取決于它的軸向屈服強(qiáng)度和軸向膨脹系數(shù).盡管有一些有限的實(shí)驗(yàn)報(bào)告,但對(duì)這些晶格圓柱殼的力學(xué)行為的研究還是比較少的,晶格圓柱殼的變形機(jī)制殼的變形機(jī)制和失效分析的研究網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用中是非常有價(jià)值的. 全文的綱要如下,第二節(jié)的重點(diǎn)是由主要承受彎曲載荷的平面格組成的圓柱殼的類型.主要是分析幾何尺寸對(duì)全面有效剛度和彈性屈曲行為的影響.第三節(jié)中,我們首先介紹定量預(yù)測有效彈性模量的簡單模型和Kagome與三角形晶格圓柱殼的屈服強(qiáng)度.通過相應(yīng)的有限元計(jì)算驗(yàn)證模型.此外,我們通過研究Kagome晶格圓柱殼的失效模型建立其失效機(jī)理圖.最后,通過全面比較三種晶格圓柱殼的負(fù)載能力和重量,得出Kagome和三角形晶格圓柱殼的負(fù)載能力相當(dāng),且都強(qiáng)于六角形晶格圓柱殼的負(fù)載能力. 圖2 (a)三角形晶格圓柱殼的一個(gè)晶胞沿軸線方向的示意圖 (b)晶胞三維圖及其幾何參數(shù) 圖3 六角形晶格圓柱殼的矩形截面梁的變形模式和無量綱軸向彈性模量及其幾何參數(shù); ;; 1 圓柱殼受擠壓時(shí)的軸向力學(xué)性能 在這一節(jié)中,研究的是圓柱殼受均勻軸向擠壓載荷時(shí)的變形機(jī)制.圖1中的e圖和f圖分別為正方形和六角形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).晶格結(jié)構(gòu)的梁與梁都很好的結(jié)合在一起.通過基于有限元方法的靜態(tài)分析可以確定有效彈性模量,有效彈性模量可以作為幾何和材料參數(shù).通過均勻化方法來解析彈性屈服載荷.因?yàn)檎叫尉Ц窈土切尉Ц褡冃螜C(jī)制相似,所以這里只對(duì)六邊形晶格進(jìn)行分析.利用商業(yè)軟件ABAQUS對(duì)六角形晶格圓柱殼進(jìn)行有限元分析.圓形和矩形都是梁.矩形截面的寬高比等于,晶格結(jié)構(gòu)的材料是各向同性的, 和,其中和分別表示材料的楊氏模量和泊松比.通過梁和完善網(wǎng)格以確保準(zhǔn)確性.矩形梁截面圖及數(shù)值如圖3.軸向彈性模量是指圓柱殼在受一軸向應(yīng)力時(shí)的平均軸向應(yīng)變.用有限元計(jì)算法,通過受軸向應(yīng)力時(shí)自由端的平均軸向位移量估計(jì)出有效軸向應(yīng)變.晶格圓柱殼的有效軸向模量被用于計(jì)算的前提是晶格圓柱殼受同一軸向應(yīng)力和有效軸向應(yīng)變.軸向屈服強(qiáng)度在第3節(jié)討論,它是通過晶格所承受的應(yīng)力中的最大應(yīng)力確定的.圓柱殼的屈服可以認(rèn)為是晶格單元的屈服.在彈性變形范圍內(nèi),如果圓柱殼晶格為非方形,那么圓柱殼的截面將不能保持圓形.對(duì)于六角形晶格圓柱殼來說,當(dāng)它的結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時(shí),若它的晶格是圓形時(shí)則圓柱殼的截面為圓形.如果晶格梁的慣量主要方向不是任意的,則可以通過變形機(jī)制的數(shù)值結(jié)果判斷出軸向負(fù)載的六角形晶格圓柱殼的截面不會(huì)是圓形.應(yīng)當(dāng)指出,這一現(xiàn)象和晶格圓柱殼的應(yīng)用是不矛盾的,因?yàn)榫Ц駡A柱殼通常被用做夾層結(jié)構(gòu)的核心,較硬的上下夾層在很大程度上制約了局部變形. 圖3是通過有限元計(jì)算得出的晶格的截面為矩形的六角形晶格圓柱殼的有效軸向彈性模量，a為截面寬高比。晶格圓柱殼的相對(duì)密度，。和分別為晶格圓柱殼軸向和圓周方向的晶胞數(shù)目，,，僅僅是圓柱殼的厚度改變。圓柱殼的相對(duì)厚度為厚度與半徑比，。簡單分析得出以彎曲變形為主的六角形平面晶格結(jié)構(gòu)的有效模量用表示，。用來標(biāo)準(zhǔn)化晶格圓柱殼的有效彈性模量。晶格圓柱殼的正常彈性模量和相對(duì)厚度近似成正比，，其中表示晶格圓柱殼的軸向有效彈性模量。當(dāng)圓柱殼的晶格為正方形時(shí)，圓柱殼的軸向模量與此時(shí)晶格的彈性模量相當(dāng)，否則軸向模量將隨著晶格寬高比的增加而增加?；咀冃螜C(jī)制的定性解釋如下：承受軸向載荷時(shí)，晶格為正方形的六角形晶格圓柱殼的截面為圓形。在這種情況下，圓柱殼的軸向變形是由圓柱殼表面梁的彎曲引起，相同載荷下圓柱殼的彎曲變形和單個(gè)梁的彎曲變形大致相當(dāng)。因此，六角形晶格圓柱殼和六角形晶格板的彈性模量大致相等。寬高比越大，由得出圓柱殼的彎曲變形減小，導(dǎo)致圓柱殼的半徑和圓周變形減小。此外，由于泊松效應(yīng)軸向變形也減小。因此，圓柱殼的軸向有效模量隨著晶格寬高比的增加而增加。 我們通過數(shù)值分析六角形圓柱殼的彈性屈曲。用有限元計(jì)算法，首先注意的是寬高比，。,,,中的幾何參數(shù)和是不變的，可以確定網(wǎng)格的重量。圖4表明臨界屈曲載荷隨著寬高比的改變而在0和4之間改變。當(dāng)其值達(dá)到最大。類似這樣的事實(shí)，未變形時(shí)梁的最初曲率會(huì)顯著降低梁的臨界屈曲載荷，我們前面介紹的非理想狀態(tài)下的晶格圓柱殼的非均勻變形導(dǎo)致臨界屈曲載荷減少，應(yīng)用。 圖4 屈曲模式,具有一定幾何參數(shù)的六角形晶格圓柱殼的無量綱總體彈性屈曲載荷與材料的泊松比的關(guān)系, ,,,.厚度和是固定的,用來確定網(wǎng)殼的重量. 當(dāng)我們采用均勻化的方法,把晶格圓柱殼分成若干個(gè)尺寸相同的立體殼.對(duì)于均勻的固體圓柱殼,其臨界彎曲載荷可用下面公式表示: 其中和分別表示有效的固體物質(zhì)的楊氏模量和泊松比,表示殼的厚度.圓柱殼的整體彎曲是非理想的,主要是因?yàn)榈拇嬖?的值通過經(jīng)驗(yàn)確定.的功能是由美國航天局建議的, where 晶格圓柱殼的微觀模型導(dǎo)致彎曲模型的多樣性.晶格微觀結(jié)構(gòu)的幾何形狀決定了彎曲模型的不同特征值.因此,它導(dǎo)致了晶格圓柱殼的極不理想的敏感度.本文中,美國航天局的臨界載荷作為一個(gè)近似值被采納.分析有臨界載荷和沒有臨界載荷的結(jié)果,計(jì)算出進(jìn)行對(duì)比.六角形晶格圓柱殼的有效彈性模量和泊松比與其在非理想條件下的彈性模量和泊松比大致相同.假設(shè)總結(jié)構(gòu)的變形只是梁的彎曲變形,忽略軸向變形,則從以往的研究[23]得出 , 但是,上述方程不適用于評(píng)測臨界屈服載荷的,因?yàn)轭A(yù)測出的結(jié)果是無限值.在對(duì)平面六角形晶格的有效彈性模量的推導(dǎo)是應(yīng)該同時(shí)考慮梁的彎曲變形和軸向變形.詳細(xì)的推倒過程可以從吉布森和阿什比[1]的著作中找到,這里只給出結(jié)果公式 , 相比之下, Eq. (4)高估了有效彈性模量和泊松比.通過分析,把公式5代入公式1得: 圖5 晶格為方形的晶胞重量不同的六角形晶格圓柱殼對(duì)應(yīng)的非三維整體彈性彎曲載荷及其參數(shù), , 圖5說明了在不同重量水平無量綱臨界彎曲載荷與圓周方向晶胞個(gè)數(shù)的關(guān)系.晶格圓柱殼的無量綱臨界彎曲載荷和重量指數(shù)的關(guān)系,,其中表示物質(zhì)的密度,表示圓柱殼的高度, 表示圓柱殼的重量,即.圓柱殼的高度與直徑的比值是不變的.結(jié)果標(biāo)在圖上,結(jié)果表明,在同一重量級(jí)別,圓周方向晶胞數(shù)量的增加將使臨界載荷減小.不考慮的knockdown factor結(jié)果高于實(shí)際彎曲載荷的50%.在考慮時(shí)計(jì)算結(jié)果與預(yù)測值之間的差異大小由圓周方向晶胞數(shù)目多少?zèng)Q定, ,當(dāng)?shù)娜≈荡笥?時(shí),兩種方法得來的結(jié)果更一致.兩種方法結(jié)果的差異主要是由于裝載條件不同引起的,一種載荷作用于物的有限的離散點(diǎn),一種載荷是均勻的作用于物體.實(shí)踐應(yīng)用中,晶格圓柱殼的圓周方向的晶胞數(shù)量大于8, 圖6 用有限元和分析預(yù)測兩種方法得出的不同相對(duì)密度不同晶格截面的六角形晶格圓柱殼的無量綱總體彈性彎曲載荷值. 所以模型的臨界彈性彎曲載荷與晶格圓柱殼的實(shí)際臨界彈性彎曲載荷相當(dāng).基于有限元計(jì)算的結(jié)果中,當(dāng)在10到15之間變動(dòng)時(shí),三個(gè)不同重量級(jí)別的六角形晶格圓柱殼的無量綱總體彈性彎曲載荷都存在一個(gè)最大值.分別計(jì)算出取10和15時(shí)六角形晶格圓柱殼的無量綱總體彈性彎曲載荷.對(duì)于這兩種特定的情況,在圖6中比較通過分析預(yù)測和有限元計(jì)算兩種方法得出的臨界彎曲載荷的值.根據(jù)兩種結(jié)果取一個(gè)適當(dāng)值.由于目前的考慮knockdown factor分析方法可以準(zhǔn)確預(yù)測兩個(gè)集合幾何的影響,所以這個(gè)方法在實(shí)踐應(yīng)用中被采用.應(yīng)當(dāng)指出的是,晶格圓柱殼的有限元模型適用于理想狀態(tài).若網(wǎng)殼由離散的彎曲梁組成,導(dǎo)致殼的結(jié)構(gòu)高度離散,這種離散的圓柱殼是非理想的. 我們對(duì)網(wǎng)殼內(nèi)梁的局部歐拉彎曲作一個(gè)簡短的討論.當(dāng)網(wǎng)格圓柱殼承受軸向壓縮載荷時(shí),網(wǎng)殼的每一個(gè)梁承受的載荷為.假設(shè)受簡單的支撐約束,可用 求軸向歐拉彎曲載荷,其中指的是六角形晶格圓柱局部歐拉彎曲梁所承受載荷,是梁沿彎曲方向的慣性矩.若晶格為方形時(shí)把代入公式7得到 局部歐拉彎曲載荷與殼的彎曲載荷的比為: 應(yīng)當(dāng)注意到小于1而大于10,所以比率,公式,一般大于2.7. 2 承受拉伸載荷的圓柱殼的失效分析. 這里主要研究兩種類型的圓柱殼,參考Kagome和三角形,圖1(g)和(f).兩種類型的平面格的變形主要為拉伸變形.有限元計(jì)算結(jié)果表明,與六角形晶格圓柱殼不同的,這種類型的晶格圓柱殼的截面在受軸向載荷是始終保持圓形.有一分析模型,可通過此模型預(yù)測晶格殼的有效軸向彈性模量和屈服強(qiáng)度.我們通過Kagome晶格圓柱殼來推倒論證失效載荷和失效機(jī)制分析. 表1 通過模型擬合Kagome和三角形晶格圓柱殼參數(shù)的結(jié)果 2.1 軸向力學(xué)性能 Kagome和三角形晶格板的有效彈性模量和屈服強(qiáng)度和通過和算出.圖的垂直方向是屈服強(qiáng)度. 表示平面晶格的相對(duì)密度, 和分別為楊氏彈性模量和材料的屈服強(qiáng)度.對(duì)于這兩種圓柱殼,每一個(gè)彎曲梁存在矩形截面. 指的是圓周方向晶胞數(shù)量, 表示厚度.量綱分析是指軸向彈性模量分析和屈服強(qiáng)度分析 and 用有限元計(jì)算驗(yàn)證和.基于最優(yōu)原則, Kagom和三角形圓柱殼的非立體彈性模量和屈服強(qiáng)度可用 and 表示.參數(shù)的取值參考表1.圖7驗(yàn)證可過沒和三角形晶格圓柱殼的有效彈性模量和屈服強(qiáng)度可通過公式(10)算出.用有限元計(jì)算出的其他幾何參數(shù)可在圖中找到.當(dāng)厚度和圓周方向晶胞數(shù)量相當(dāng)大時(shí)圖中曲線趨近扁平.該漸近值和平面板的相應(yīng)值吻合.這表明,當(dāng)相對(duì)厚度與晶胞數(shù)量在模型中被考慮時(shí)梁的彎曲對(duì)圓柱殼軸向相應(yīng)的影響是不能忽視的.通過在相同情況下兩種晶格圓柱殼性能的比較發(fā)現(xiàn), Kagom的彈性模量和屈服強(qiáng)度比三角形的彈性模量和屈服強(qiáng)度略高.此結(jié)論相對(duì)于王和麥克道爾[8,12]提出的Kagom和三角形晶格板的彈性模量和屈服強(qiáng)度相同結(jié)論進(jìn)步不少. 2.2 失效機(jī)理圖 Kagom晶格圓柱殼的半徑和高度,圓柱殼兩端受均勻分布的軸向壓縮載荷.彎梁的截面為矩形.例如,彎曲張力,彈性模量,材料泊松比分別為: 和.晶格圓柱殼受軸向壓縮載荷的四種可能的失效模式:(1)塑性彎曲變形;(2)圓柱殼總體彈性彎曲變形;(3)圓柱殼面以外梁的局部彈性彎曲變形;(4)圓柱殼面的梁的局部彈性彎曲變形.彎曲模式在非理想狀態(tài)下是無法建立的,因?yàn)闀?huì)受到非線性模式交互作用影響.由于這種模式的交互作用,實(shí)際強(qiáng)度可能會(huì)有一定退化.由于文章的長度和問題分析的復(fù)雜性,模式的交互作用在本文中沒考慮. 通過公式(10),可求出彎曲載荷,即 (11) 是指Kagom晶格圓柱殼的彎曲載荷,上標(biāo)指Kagom. 類似于第2節(jié)中關(guān)于六角形晶格圓柱殼的屈曲分析,本節(jié)中對(duì)于Kagome晶格圓柱殼的臨界軸向載荷的分析,可假設(shè)圓柱殼所受載荷是均勻的. Kagome晶格圓柱殼的有效泊松比與Kagome晶格板的有效泊松比大致相當(dāng), ,表示殼的整體臨界屈服載荷. (12) 為了分析Kagome晶格圓柱殼梁的局部彈性彎曲載荷,我們首先要分析梁所受力和彎矩.但對(duì)于這種高階超靜定結(jié)構(gòu)這樣的分析是無法完成的.我們可以對(duì)彎曲梁的受力認(rèn)為的付值,讓彎曲梁所受的力與未卷擾的晶格板的直梁所受的力大致相當(dāng).因此,曲梁的臨界載荷近似與直梁的歐拉載荷,即 (13) 其中表示曲梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 表示約束力.彎曲載荷采取,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.對(duì)于殼表面的局部彎曲,因?yàn)槟┒耸芸捅砻婕s束,所以兩個(gè)梁只構(gòu)成一個(gè)半正弦波長的模式,如圖8所描述.所以,末端約束可以粗略估算出來,殼 圖 7 基于Kagome和三角形圓柱殼的彈性模量和屈服強(qiáng)度的模型得出的有限元結(jié)果和預(yù)測結(jié)果,(a)圓周方向晶胞數(shù)量, ;(b)相對(duì)厚度, ;(c)相對(duì)密度, . 圖8 Kagome晶格圓柱殼殼表面以外的局部失效模式 圖9 Kagome晶格圓柱殼的失效機(jī)理圖, 表示相對(duì)密度. 表面以外的局部彎曲載荷為,其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.此外,不管是圓柱殼表面還是圓柱殼表面以外的局部彎曲載荷, 和,都可以用無量綱幾何參數(shù)表示,即 (14) 建立失效機(jī)制圖是為了說明前面提到的失效模式.積極失效模式對(duì)應(yīng)的是最低失效載荷. Kagome晶格圓柱殼的失效機(jī)理圖中的兩個(gè)無量綱參數(shù)和分別表示圓柱殼的相對(duì)密度和材料的屈服應(yīng)變.我們分別定義和為標(biāo)準(zhǔn)載荷指數(shù)和重量指數(shù).圖9中亦標(biāo)出載荷指數(shù)曲線.值得注意的是,當(dāng)殼表面未發(fā)生局部變形時(shí),塑性變形是主要的失效形式. 可用有限元計(jì)算法檢驗(yàn)三種幾何形狀晶格圓柱殼的失效圖.算出圓柱殼的屈服載荷和彈性彎曲載荷,取小值作為圓柱殼的失效載荷.結(jié)果如圖所示. 類似的分析方法可用于三角形晶格圓柱殼. 是用來計(jì)算圓柱殼內(nèi)部屈服載荷的.非圓柱殼表面發(fā)生局部彎曲變形時(shí),三角形晶格圓柱殼的梁是正弦半波狀.因此,非殼表面的梁的局部彎曲載荷為,上標(biāo)表示三角形晶格.三角形晶格圓柱殼的殼表面和非殼表面梁彎曲引起的圓柱殼的局部彎曲載荷, 和.通過簡化表示為 (15) Kagome晶格圓柱殼的值和三角形晶格圓柱殼的值相等,而可國沒晶格圓柱殼的值是三角形晶格圓柱殼值的四倍. 3 晶格圓柱殼的最小重量 本節(jié)中,將設(shè)計(jì)出受軸向壓縮的晶格圓柱殼的最佳配置.在這里,我們將對(duì)三角形, Kagome和三角形三種晶格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行比較.首先介紹的是具體的剛度指數(shù).可通過前面幾節(jié)的分析得出.畫出三種晶格圓柱殼的載荷指數(shù)與重量指數(shù)的關(guān)系,并可通過圖評(píng)估出三種晶格圓柱殼的受載能力. 3.1 有效剛度指數(shù) 晶格圓柱殼有效剛度指數(shù)為,其中為重量指數(shù).第二節(jié)中,晶格為方形的六角形晶格圓柱殼的軸向模量為.所以,它的有效剛度指數(shù)為 (16) 其中上標(biāo)表示六角形晶格.對(duì)于晶格為矩形的可過沒和三角形晶格圓柱殼的有效剛度指數(shù)為Eq.(10),即 和 兩種晶格圓柱殼的相對(duì)密度是不相關(guān)的,但它們圓周方向的晶胞數(shù)量是單調(diào)增加的.通過求對(duì)的導(dǎo)數(shù),若其值趨于0, Kagome和三角形晶格圓柱殼的有效剛度指數(shù)趨于極值, 和 (18) 相應(yīng)的極值為 和 (19) 圖10表示最大剛度指數(shù)與圓周方向晶胞數(shù)目的關(guān)系,同時(shí)也表示六角形晶格圓柱殼的相對(duì)密度等于0.1,相對(duì)厚度的范圍為.Kagome和三角形晶格圓柱殼的最大有效剛度分別與和成線性關(guān)系.很明顯, Kagome和三角形晶格圓柱殼的有效剛度高于六角形晶格圓柱殼的有效剛度。 3.2 最小設(shè)計(jì)重量 求受軸向壓縮晶格圓柱殼的載荷指數(shù)的規(guī)定值的最好方法是減少重量指數(shù).在這里,我們對(duì)六角形, Kagome和三角形三種晶格圓柱殼的承載性能進(jìn)行對(duì)比.六角形晶格梁橫截面為正方形, Kagome和三角形晶格梁的截面為矩形.這種材料為理想的彈性材料. 四種失效機(jī)制:(1)塑性變形;(2)殼的整體彈性變形;(3)殼表面外其他部分局部變形;(4)殼表面的局部變形.通過對(duì)四種失效機(jī)制的研究,實(shí)現(xiàn)可過沒和三角形晶格圓柱殼的優(yōu)化.第3節(jié)中已經(jīng)給出了四種失效載荷公式.對(duì)于六角形晶格圓柱殼來說,因?yàn)槠鋷缀醪粫?huì)發(fā)生梁的局部變形,所以只考慮它的兩種失效機(jī)制,屈服極限和殼的整體彈性變形.六角形晶格圓柱殼的屈服載荷和六角形晶格板的屈服載荷大致相等[1,8],即,可當(dāng)作屈服載荷的上限. 圖10 圖示為六角形,可過沒和三角形晶格圓柱殼的最大有效剛度指數(shù). 六角形, Kagome和三角形晶格圓柱殼重量的最小預(yù)測值,載荷指數(shù)和圓柱殼材料的屈服應(yīng)變均可從圖11得出.無量綱幾何參數(shù)的范圍為.可得出Kagome和三角形晶格圓柱殼具有相同的承載能力,且兩者的負(fù)載指數(shù)高于六角形晶格圓柱的負(fù)載指數(shù). 圖11 具有一定幾何參數(shù)的六角形, Kagome和三角形晶格圓柱殼的負(fù)載能力. 結(jié)束語 本文系統(tǒng)的研究了晶格圓柱殼的變形機(jī)制和失效機(jī)制.結(jié)果表明,晶格圓柱殼的失效形式不同于晶格板和晶格梁.這項(xiàng)調(diào)查揭示了晶格圓柱殼的一些顯著特點(diǎn),如下: (a) 對(duì)于由主要承受壓縮載荷的平面格制成的圓柱殼,若梁截面的慣性方向不是任意的,那么圓柱殼的截面將不能保持圓形.如果圓柱殼梁的橫截面為方形或圓形,那么它的軸向模量等于平板格的軸向模量,否則圓柱殼的軸向模量將隨著梁截面寬高比的增加而單調(diào)增加.研究表明,如果梁截面為方形的晶格圓柱殼受軸向擠壓時(shí),圓柱殼是不容易彎曲的.此外,求理想方形截面梁的總體彈性彎曲載荷可用均勻化方法. (b) 對(duì)于由主要承受拉伸載荷的平面格制成的圓柱殼,我們建立了一個(gè)預(yù)測總體有效彈性模量和強(qiáng)度的模型.該模型的有效力學(xué)性能是通過擬合得出的近似值.由于圓柱殼的梁是彎曲的,所以圓柱殼的有效彈性模量和屈服強(qiáng)度相對(duì)于平面格板較低.文中給出了由理想彈性塑性材料制成的Kagome晶格圓柱殼的失效圖.從失效圖可得出多種失效機(jī)制,包括屈服極限,整體彎曲變形,局部彎曲變形,所以,通過失效圖可以確定承受軸向壓縮結(jié)構(gòu)的失效模式. (c) 本文給出了三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的圓柱殼,其必須符合一定要求,即剛度或承載能力一定時(shí),應(yīng)使圓柱殼的重量最小.通過比較三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的圓柱殼得出,可過沒晶格圓柱殼的最大有效剛度略高于三角形晶格圓柱殼的最大有效剛度,受軸向壓縮的Kagome和三角形晶格圓柱殼的承載能力相等,且都比六角形晶格圓柱殼的承載能力高很多. 感謝 作者感謝國家自然科學(xué)基金和國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究項(xiàng)目專項(xiàng)基金的支持. 參考資料: [1] Gibson LJ, Ashby MF.多孔固體:結(jié)構(gòu)與性能.第二版.劍橋大學(xué)出版社,1997. [2] Smith HB, et al.多孔夾層結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)性能的測量和分析.國際機(jī)械科學(xué)雜志2001;43:1945-63. [3] Hutchinson JW.夾層板受毀壞性載荷的初步評(píng)估.國際機(jī)械科學(xué)雜志2003;45:687-705. [4] Hutchinson JW, Xue Z.金屬夾層板的優(yōu)化.國際機(jī)械科學(xué)雜志2005;47:545-69. [5] Hutchinson RG, et al.可果美板結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng).國際期刊固體和結(jié)構(gòu)2003年; 40:6969-80 . 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