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2019屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理(重點(diǎn)班，含解析) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分. 1.已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：求的集合，根據(jù)集合的運(yùn)算，即可得到． 詳解：由集合，， 所以，故選D． 點(diǎn)睛：本題考查了集合的交集運(yùn)算，正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生推理與運(yùn)算能力． 2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)z1與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=3-4i，求出z2，代入計(jì)算即可 【詳解】∵復(fù)數(shù)z1與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=3-4i ∴z2=-3-4i z1?z2=3-4i-3-4i=-25 故選A 【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題 3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a1+a3=6，S4=16，則a4= A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 分析：根據(jù)已知條件列出方程組求出a1,d，再求a4得解. 詳解：由題得2a1+2d=64a1+6d=16,∴a1=1,d=2. 所以a4=1+32=7.故答案為：B 點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力. 4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為 A. 215 B. 25 C. 415 D. 15 【答案】A 【解析】 分析：利用面積公式以及梯形的面積公式，以及幾何概型能求出在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率. 詳解：∵邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步， 圭田廣為八步，正從為五步的，在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹， 所以利用面積公式，算出圭田的面積面積，1285 利用梯形的面積公式，算出邪田的面積，1210+2010 ∴根據(jù)幾何概型概率公式可得， 該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為：P=215，故選A. 點(diǎn)睛：本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本裏件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤. 5.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=?10，a2+a3+a4+a5+a6=?20，則“Sn取得最小值”的一個(gè)充分不必要條件是（ ） A. n=5或6 B. n=5或6或7 C. n=6 D. n=11 【答案】C 【解析】 【分析】 求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，令其小于或等于零 【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ∵a2+a3+a4+a5+a6=-20 ∴5a1+15d=-20 ∵a1=-10，∴d=2 ∴an=-10+2n-1=2n-12 令an=2n-12=0，解得n=6，故當(dāng)n=5或6時(shí)S5=S6都是最小值，則滿足題意“Sn取得最小值”的一個(gè)充分不必要條件是n=6，故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最小問題，有兩種解法：一是求出an≤0的情況，另一個(gè)是化簡Sn的表達(dá)式，得到一個(gè)關(guān)于n的一元二次函數(shù)問題。 6.我國古代《九章算術(shù)》里，記載了一個(gè)例子：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？”該問題中的羨除是如圖所示的五面體ABCDEF，其三個(gè)側(cè)面皆為等腰梯形，兩個(gè)底面為直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB,CD間的距離為3尺，CD,EF間的距離為7尺，則異面直線DF與AB所成角的正弦值為（ ） A. 9130130 B. 7130130 C. 97 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】 先找出異面直線所成的角，然后計(jì)算邊長求出正弦值 【詳解】如圖： 根據(jù)題意AB∥CD，所以∠FDC異面直線DF與AB所成角， 又因?yàn)镃D=10尺，EF=8尺 且側(cè)面為等腰梯形，過點(diǎn)F作FG⊥DC，則DG=9尺，CD,EF間的距離為7尺，故FG=7尺，由勾股定理得DF=81+49=130尺， 所以sin∠FDC=7130=7130130, 故選B 【點(diǎn)睛】為求異面直線所成角要先通過平行線找出或者作出異面直線所成的角，然后構(gòu)造出三角形，求出邊長，就可以求三角函數(shù)值。 7.設(shè)a=log23，b=ln3，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（ ） A. 9+ln3 B. 3-ln3 C. 11 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 將a=log23，b=ln3代入，然后執(zhí)行判定語句輸出結(jié)果 【詳解】將a=log23，b=ln3輸入，a=log23=ln3ln2>ln3，即a>b，故S=4log23+ln9ln3=9+2=11，故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了流程圖輸出結(jié)果，只有判定和b的大小即可計(jì)算出結(jié)果，較為基礎(chǔ) 8.近幾個(gè)月來，繼“共享單車”后，“共享汽車”也在我國幾座大城市中悄然興起，關(guān)系非常要好的A,B,C三個(gè)家庭（每個(gè)家庭2個(gè)大人，1個(gè)小孩，且大人都有駕照）共9人決定周末乘甲、乙兩輛共享汽車出去旅游，已知每車限坐5人（乘同一輛車的人不考慮位置），其中A戶家庭的3人需乘同一輛，則A戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有2名小孩的概率為（ ） A. 113 B. 1124 C. 1142 D. 521 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出總的基本事件，然后再求出滿足題意的至少兩名小孩的事件，運(yùn)用古典概率求出結(jié)果 【詳解】總的基本事件數(shù)：C61C21+C62C21=42 要求至少兩名小孩：C21+C41C21+C22=11 則A戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有2名小孩的概率P=1142 故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率，按照題目要求分別求出滿足題意的事件數(shù)，然后求出概率。 9.設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a＞0,b＞0的左、右焦點(diǎn)，過F1作一條漸近線的垂線，垂足為M，延長F1M與雙曲線的右支相交于點(diǎn)N，若MN=3F1M，此雙曲線的離心率為（ ） A. 53 B. 43 C. 132 D. 263 【答案】A 【解析】 分析：用雙曲線的一條漸近線與過焦點(diǎn)的直線聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用MN=3F1M，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，即可的雙曲線的離心率. 詳解：由雙曲線的方程，可得其漸近線的方程為y=?bax與直線y=ab(x?c)， 聯(lián)立方程組，可得M的坐標(biāo)為M(?ac,abc)， 又由MN=3F1M，且F1(?c,0)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(3c2?4a2c,4abc)， 將N點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得(3c2?4a2)2a2c2?16a2c2=1， 整理得9c2=25a2，所以離心率為e=ca=259=53，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的曲解，以及雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c ，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范圍)． 10.已知函數(shù)fx=sin2x+φ?π<φ<0．將fx的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則關(guān)于函數(shù)fx，下列命題正確的是（ ） A. 函數(shù)fx在區(qū)間?π6,π3上有最小值 B. 函數(shù)fx的一條對(duì)稱軸為x=π12 C. 函數(shù)fx在區(qū)間?π6,π3上單調(diào)遞增 D. 函數(shù)fx的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為π3,0 【答案】C 【解析】 【分析】 通過三角函數(shù)圖像的平移求出平移后的表達(dá)式，然后結(jié)合圖像關(guān)于y軸對(duì)稱求出φ的值，繼而判斷命題的真假 【詳解】由題意，函數(shù)fx=sin2x+φ-π<φ<0的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后得到： 函數(shù)gx=sin2x+2π3+φ ∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 ∴g0=1 即2π3+φ=kπ+π2，k∈Z，解得φ=kπ-π6，k∈Z， ∵-π<φ<0，∴φ=-π6，即fx=sin2x-π6 令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，k∈Z 即-π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z 當(dāng)k=1時(shí)，即x∈-π6，π3，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增 故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)正弦圖像的性質(zhì)，依據(jù)題意結(jié)合“左加右減”求出平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱軸來對(duì)命題進(jìn)行判斷。 11.如圖，在ΔOMN中，A、B分別是OM、ON的中點(diǎn)，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），則y+1x+y+2的取值范圍是（ ） A. 13,23 B. 13,34 C. 14,34 D. 14,23 【答案】C 【解析】 分析：利用平面向量的線性運(yùn)算，得出x,y滿足的不等關(guān)系，再利用線性規(guī)劃思想求解. 詳解：由題意，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，x+y=1，當(dāng)P點(diǎn)在線段MN上時(shí)，x+y=2，∴當(dāng)P在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界）時(shí)，x+y≥1x+y≤2x≥0y≥0（＊），又y+1x+y+2=1x+1y+1+1，作出不等式組（＊）表示的可行域，如圖， y+1x+1表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與P(?1,?1)連線的斜率，由圖形知kPB=0?(?1)2?(?1)=13，kPC=2?(?1)0?(?1)=3，即13≤y+1x+1≤3，∴13≤x+1y+1≤3，14≤1x+1y+1+1≤34， 故選C. 點(diǎn)睛：在平面向量的線性運(yùn)算中，如圖OP=xOA+yOB，x,y的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出，OA，OB類比于x,y軸，直角坐標(biāo)系中有四個(gè)象限，類比在（O,OA,OB）中也有四個(gè)象限，如第Ⅰ象限有x>0y>0，第Ⅱ象限有x<0y>0，第Ⅲ象限有x<0y<0，第Ⅳ象限有x>0y<0，也可類比得出其中的直線方程，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等等. 12.設(shè)實(shí)數(shù)m>0，若對(duì)任意的x≥e，不等式x2lnx-memx≥0恒成立，則m的最大值是（ ） A. 1e B. e3 C. 2e D. 【答案】D 【解析】 分析：將原問結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為m≤xlnx對(duì)任意的x≥e恒成立，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解實(shí)數(shù)m的最大值即可. 詳解：不等式x2lnx?memx≥0 ? x2lnx≥memx ? xlnx≥memxx ? lnxelnx≥mxemx. 設(shè)fx=x?exx>0，則fx=x+1ex>0,于是f(x)在0,+∞上是增函數(shù). 因?yàn)閙x>0，lnx>0，所以mx≤lnx， 即m≤xlnx對(duì)任意的x≥e恒成立，因此只需m≤xlnxmin. 設(shè)gx=xlnxx≥e，gx=lnx+1>0x≥e， 所以gx在e,+∞上為增函數(shù)， 所以gxmin=ge=e，所以m≤e，即m的最大值是e. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效. 二、填空題 13.設(shè)x、y滿足條件x+y-1≥0x+3y-4≤0y-x+3≥0 則z=4x-2y最小值是_______ 【答案】-5 【解析】 【分析】 畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小值即可 【詳解】如圖： z=4x-2y，則y=2x-12z， 當(dāng)x+y-1≥0x+3y-4≤0即x=-12y=32時(shí) z=4-12-232=-5 故答案為-5 【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=4x-2y的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。 14.已知00，所以-2r1=0，故得x1-x2hx0>0，又x1-x2<0，所以hx0<0． 詳解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)x=lnx-32x2-2x,x∈0,+∞， ∴hx=1x-3x-2=-3x2-2x+1x=-3x-1x+1x， 由hx=-3x-1x+1x=0得x=13， 且當(dāng)00，即hx在0,13上單調(diào)遞增， 當(dāng)x>13時(shí)，hx<0，即hx在13,+∞上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)x=13時(shí)，hx有極大值，且hx極大值=h13=-ln3-56，無極小值． （Ⅱ）∵函數(shù)y=hx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2x1≠x2，不妨設(shè)0r1=0， ∴2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2>0， 即x1-x2hx0>0， 又x1-x2<0， ∴hx0<0． 點(diǎn)睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲怠⒑瘮?shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)． （2）證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明． 22.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程是x=3cosαy=sinα（α是參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρsinθ+π4=42 （1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo). 【答案】（1）x23+y2=1，x+y?8=0；（2）d的最小值為32,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,12 【解析】 【分析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式，，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 求得橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為 ，可得的最小值，以及此時(shí)的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo) 【詳解】(1）由曲線:可得：，兩式兩邊平方相加可得： 曲線的普通方程為:. 由曲線得:, 即,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為:. (2)由(1)知橢圓與直線無公共點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為, 當(dāng)時(shí),d的最小值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力及三角恒等變換的掌握，屬于中檔題。