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線段的垂直平分線,1,,問題:如圖,A、B、C三個村莊合建一所學(xué)校,要求校址P點距離三個村莊都相等.請你幫助確定校址.,?,?,?,A,B,C,2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,3,,,A,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4,,,A,B,C,?,5,,線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.,定理,(線段垂直平分線的性質(zhì)定理),6,,線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,定理,7,,線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,定理,8,,線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,定理,9,,線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,定理,10,,直線MN?AB，垂足是C，且AC=CB.點P在MN上.,已知：,PA=PB,求證：,11,,證明:,∵MN?AB（已知）,∴?PCA=?PCB(垂直的定義),在?PCA和?PCB中,,∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS),∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等),12,,當(dāng)點P與點C重合時,上述證明有什么缺陷?,?PCA與?PCB將不存在.,PA與PB還相等嗎?,相等!,此時,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB,13,,已知線段AB,有一點P,并且PA=PB.那么,點P是否一定在AB的垂直平分線上?,,P,A,B,?,這樣的點P /不存在,14,,,,,A,B,P,已知:,線段AB,且PA=PB,求證:,點P在線段AB的垂直 平分線MN上.,過點P作PC?AB垂足為C.,∵ PA=PB(已知) ∴ ?PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定義),∴AC=BC(等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線),∴PC是線段AB的垂直平分線. 即點P在線段AB的垂直 平分線MN上.,證明:,15,,和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.,逆定理,16,,小結(jié):,1.線段的垂直平分線上的點,和這條線段兩個端點的距離相等.,2.和一條線段兩個端點距離相等的 點,在這條線段的垂直平分線上.,17,,18,,,19,,和線段兩個端點距離相等的所有點的集合.,線段的垂直平分線可以看作是,20,,例 已知:如圖?ABC中,邊AB、BC的垂直平分線相交于點P. 求證:PA=PB=PC.,∴ PA=PB(線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點距離相等),,證明: ∵ 點A在線段AB的垂直平分線上(已知),同理 PB=PC,∴ PA=PB=PC.,21,,問題:如圖,A、B、C三個村莊合建一所學(xué)校,要求校址P點距離三個村莊都相等.請你幫助確定校址.,?,?,?,A,B,C,,,,,,點P為校址,22,,作圖題:如圖,在直線 l 上求一點P,使PA=PB,,l,?,?,B,A,,,P,點P為所求作的點,23,,填空： 1.已知:如圖,AD是?ABC的高,E為AD上一點, 且BE=CE,則?ABC為 三角形.,1題圖,,等腰,24,,填空： 1.已知:如圖,AD是?ABC的高,E為AD上一點, 且BE=CE,則?ABC為 三角形. 2.已知: 等腰?ABC,AB=AC,AD為BC邊上的高, E為AD上一點,則BE EC.(填、或=號),1題圖,,2題圖,,等腰,=,25,,3.已知:如圖,AB=AC,?A=30o,AB的垂直平分線MN交AC于D,則? 1= , ? 2= .,30o,,,1,2,75o,30o,60o,45o,26,,填空： 4.已知:如圖,在?ABC中,DE是AC的垂直平分線, AE=3cm, ?ABD的周長為13cm,則?ABC 的周長 為 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,,27,,5.如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請你指出圖中相等的線段有哪些?,AD =BD,CF = BF,AC = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:BF=CF=DF,,28,,證明題:1.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD 平分?ABC交AC于D. 求證:D點在AB的垂直平分線上.,證明:,30o,,∵ ? C=90o, ? A=30o(已知) ∴ ?ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理),∴ ? A= ?ABD (等量代換),∴ D點在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.),,∴ AD=BD(等角對等邊),29,,證明題: 2.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分?CAD. 求證:AD∥BC.,證明:,∵線段CD垂直平分AB(已知),∴ CA=CB(線段垂直平分線的 性質(zhì)定理),∴ ? 1= ? 3(等邊對等角),又∵ AB平分?CAD(已知) ∴ ? 1= ? 2(角平分線的定義),∴ ? 2= ? 3(等量代換),∴ AD ∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),30,,證明題:3.已知:如圖,在?ABC中, AB=AC,?A=120o, AB的垂直平分線交AB于E,交BC于F. 求證:CF=2BF.,,300,CF=2AF,AF=BF,?CF=2BF,,31,,,線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.,,和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.,線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合.,小結(jié)：,32,,證明題:4.已知:如圖,AD平分?BAC,EF垂直平分AD交BC的延長線于F,連結(jié)AF. 求證: ? CAF= ? B.,33,,∴ ?1+ ? 2= ?4(等邊對等角),又∵ ? 4=? B+? 3(三角形的一個外角等于與它 不相鄰的兩個內(nèi)角的和),∴ ?1+ ? 2= ? B+? 3,∵ AD平分?BAC(已知) ∴ ? 2=? 3(角平分線的定義),∴ ?1=? B 即? CAF= ? B.,證明:∵ EF垂直平分AD(已知),∴ AF=DF(線段垂直平分線的性質(zhì)定理),,34,,如圖,已知:?AOB,點M、N. 求作:一點P,使點P到?AOB兩邊的距離相等,并且滿足PM=PN.,,,,,點P為所求 作的點,,35,,