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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第三十講 從創(chuàng)新構(gòu)造入手 有些數(shù)學(xué)問(wèn)題直接求解比較困難，可通過(guò)創(chuàng)造性構(gòu)造轉(zhuǎn)化問(wèn)題而使問(wèn)題獲解． 所謂構(gòu)造法，就是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法，依據(jù)問(wèn)題的條件和結(jié)論給出的信息，把問(wèn)題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚畼?gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法．構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是建立在對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的深刻認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上的． 構(gòu)造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結(jié)論為“方向”，構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)形式，初中階段常用的構(gòu)造解題的基本方法有： 1．構(gòu)造方程； 2．構(gòu)造函數(shù)； 3．構(gòu)造圖形； 4．對(duì)于存在性問(wèn)題，構(gòu)造實(shí)例； 5．對(duì)于錯(cuò)誤的命題，構(gòu)造反例； 6．構(gòu)造等價(jià)命題等． 【例題求解】 【例1】 設(shè)、、、都為實(shí)數(shù)，，滿足，求證：． 思路點(diǎn)撥 可以從展開(kāi)已知等式、按比例性質(zhì)變形已知等式等角度嘗試．仔細(xì)觀察已知等式特點(diǎn)，、可看作方程的兩根，則，通過(guò)構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻． 注：一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；利用具體問(wèn)題的特殊性，給所解決的問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)框架，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等． 【例2】 求代數(shù)式的最小值． 思路點(diǎn)撥 用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值． ，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在 軸上求一點(diǎn)C(1，0)，使它到兩點(diǎn)A(一1，1)和B(2，3)的距離和(CA+CB)最小，利用對(duì)稱(chēng)性可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．這樣，通過(guò)構(gòu)造圖形而使問(wèn)題獲解． 【例3】 已知、為整數(shù)，方程的兩根都大于且小于0，求和的值． 思路點(diǎn)撥 利用求根公式，解不等式組求出、的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難．由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，令，從討論拋物線與軸交點(diǎn)在與0之間所滿足的約束條件入手． 【例4】 如圖，在矩形ABCD中，AD=，AB=，問(wèn)：能否在Ab邊上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成三個(gè)彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點(diǎn)有幾個(gè)?若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 假設(shè)在AB邊上存在點(diǎn)E，使Rt△ADE∽R(shí)t△BEC∽R(shí)t△ECD，又設(shè)AE=，則，即，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程是否有實(shí)根，在一定條件下有幾個(gè)實(shí)根的研究，通過(guò)構(gòu)造方程解決問(wèn)題． 【例5】 試證：世界上任何6個(gè)人，總有3人彼此認(rèn)識(shí)或者彼此不認(rèn)識(shí)． 思路點(diǎn)撥 構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點(diǎn)”，把2個(gè)人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段．比如2個(gè)人彼此認(rèn)識(shí)就把連接2個(gè)人的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段染成紅色；2個(gè)人彼此不認(rèn)識(shí)，就把相應(yīng)的線段染成藍(lán)色，這樣，有3個(gè)人彼此認(rèn)識(shí)就是存在一個(gè)3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個(gè)3邊都是藍(lán)色的三角形，這樣本題就化作： 已知有6個(gè)點(diǎn)，任何3點(diǎn)不共線，每2點(diǎn)之間用線段連結(jié)起來(lái)，并染上紅色或藍(lán)色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形． 注：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺少時(shí)難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在： (1)幾何問(wèn)題代數(shù)化； (2)利用圖形圖表解代數(shù)問(wèn)題； (3)構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解． 利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進(jìn)行計(jì)算或證明． 特別地，證明幾何存在性的問(wèn)題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達(dá)定理，討論幾何圖形位置的可能性． 有些問(wèn)題可通過(guò)改變形式或換個(gè)說(shuō)法，構(gòu)造等價(jià)命題或輔助命題，使問(wèn)題清晰且易于把握． 對(duì)于存在性問(wèn)題，可根據(jù)問(wèn)題要求構(gòu)造出一個(gè)滿足條件的結(jié)論對(duì)象，即所謂的存在性問(wèn)題的“構(gòu)造性證明”． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．若關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 2．已知、、、是四個(gè)不同的有理數(shù)，且，，那么的值是 ． 3．代數(shù)式的最小值為 ． 4．A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個(gè)隊(duì)已經(jīng)分別比賽 了5、4、3、2、1場(chǎng)，則還未與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是 ． 5．若實(shí)數(shù)、滿足，且，則的取值范圍是 ． 6．設(shè)實(shí)數(shù)分別、分別滿足，，并且，求的值． 7．已知實(shí)數(shù)、、滿足，求證：． 8．寫(xiě)出10個(gè)不同的自然數(shù)，使得它們中的每個(gè)是這10個(gè)數(shù)和的一個(gè)約數(shù)，并說(shuō)明寫(xiě)出的10個(gè)自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由． 9．求所有的實(shí)數(shù)，使得 ． 10．若是不全為零且絕對(duì)值都小于106的整數(shù)．求證：． 11．已知關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍． 12．設(shè)0，求證． 13．從自然數(shù)l，2，3，…354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差為177． 14．已知、、、、是滿足，的實(shí)數(shù)，試確定的最大值． 15．如圖，已知一等腰梯形，其底為和，高為． (1)在梯形的對(duì)稱(chēng)軸上求作點(diǎn)P，使從點(diǎn)P看兩腰的視角為直角； (2)求點(diǎn)P到兩底邊的距離； (3)在什么條件下可作出P點(diǎn)? 參考答案