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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)22 勾股定理　 一．選擇題（共7小題） 1．（xx?濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾為3，股為4， ∴弦為=5． 故選：A． 　 2．（xx?棗莊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則CE的長(zhǎng)為（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90，∠FAD+∠AED=90，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案． 【解答】解：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G， ∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠CDA=90， ∴∠CAF+∠CFA=90，∠FAD+∠AED=90， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90， ∴△BFG∽△BAC， ∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC=， 即CE的長(zhǎng)為． 故選：A． 　 3．（xx?瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長(zhǎng)為（　?。? A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng)． 【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b， ∵每一個(gè)直角三角形的面積為： ab=8=4， ∴4ab+（a﹣b）2=25， ∴（a﹣b）2=25﹣16=9， ∴a﹣b=3， 故選：D． 　 4．（xx?溫州）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（　?。? A．20 B．24 C． D． 【分析】欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長(zhǎng)即可，由此可設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而可求出該矩形的面積． 【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（3+x）2+（x+4）2=72， 整理得，x2+7x﹣12=0， 解得x=或x=（舍去）， ∴該矩形的面積=（+3）（+4）=24， 故選：B． 　 5．（xx?婁底）如圖，由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則sinα﹣cosα=（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義即可求sinα和cosα的值，進(jìn)而可求出sinα﹣cosα的值． 【解答】解：∵小正方形面積為49，大正方形面積為169， ∴小正方形的邊長(zhǎng)是7，大正方形的邊長(zhǎng)是13， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即AC2+（7+AC）2=132， 整理得，AC2+7AC﹣60=0， 解得AC=5，AC=﹣12（舍去）， ∴BC==12， ∴sinα==，cosα==， ∴sinα﹣cosα=﹣=﹣， 故選：D． 　 6．（xx?長(zhǎng)沙）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（　　） A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案． 【解答】解：∵52+122=132， ∴三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形， ∴這塊沙田面積為：550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故選：A． 　 7．（xx?東營(yíng)）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（　?。? A． B． C． D． 【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長(zhǎng)． 在Rt△ADC中，∠ADC=90，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=1.5π， 所以AC=， 故選：C． 　 二．填空題（共8小題） 8．（xx?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為?。ī?，0）　． 【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長(zhǎng)即可． 【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5， ∴AC=AB=5， ∴OC=5﹣4=1， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0）， 故答案為：（﹣1，0）， 　 9．（xx?玉林）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，則AD的取值范圍是　2＜AD＜8　． 【分析】如圖，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判斷； 【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于E，作BF⊥AD于F． 在Rt△ABE中，∵∠E=30，AB=4， ∴AE=2AB=8， 在Rt△ABF中，AF=AB=2， ∴AD的取值范圍為2＜AD＜8， 故答案為2＜AD＜8． 　 10．（xx?襄陽(yáng)）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，則BC的長(zhǎng)為　2或2?。? 【分析】分兩種情況： ①當(dāng)△ABC是銳角三角形，如圖1， ②當(dāng)△ABC是鈍角三角形，如圖2， 分別根據(jù)勾股定理計(jì)算AC和BC即可． 【解答】解：分兩種情況： ①當(dāng)△ABC是銳角三角形，如圖1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90， ∵CD=，AD=1， ∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4﹣1=3， ∴BC===2； ②當(dāng)△ABC是鈍角三角形，如圖2， 同理得：AC=2，AB=4， ∴BC===2； 綜上所述，BC的長(zhǎng)為2或2． 故答案為：2或2． 　 11．（xx?鹽城）如圖，在直角△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ=　或?。? 【分析】分兩種情形分別求解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ，∠QPB=90時(shí)，②當(dāng)AQ=PQ，∠PQB=90時(shí)； 【解答】解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ，∠QPB=90時(shí)，設(shè)AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴=， ∴=， ∴x=， ∴AQ=． ②當(dāng)AQ=PQ，∠PQB=90時(shí)，設(shè)AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴=， ∴=， ∴y=． 綜上所述，滿足條件的AQ的值為或． 　 12．（xx?黔南州）如圖，已知在△ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點(diǎn)F，且∠BAC=45，BD=6，CD=4，則△ABC的面積為　60?。? 【分析】首先證明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，設(shè)DF=x．由△ADC∽△BDF，推出=，構(gòu)建方程求出x即可解決問題； 【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90， ∵∠BAC=45， ∴AE=EB， ∵∠EAF+∠C=90，∠CBE+∠C=90， ∴∠EAF=∠CBE， ∴△AEF≌△BEC， ∴AF=BC=10，設(shè)DF=x． ∵△ADC∽△BDF， ∴=， ∴=， 整理得x2+10x﹣24=0， 解得x=2或﹣12（舍棄）， ∴AD=AF+DF=12， ∴S△ABC=?BC?AD=1012=60． 故答案為60． 　 13．（xx?濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45，則AF的長(zhǎng)為　?。? 【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng)． 【解答】解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAD=∠B=90，AD=BC=4， ∴NF=x，AN=4﹣x， ∵AB=2， ∴AM=BM=1， ∵AE=，AB=2， ∴BE=1， ∴ME==， ∵∠EAF=45， ∴∠MAE+∠NAF=45， ∵∠MAE+∠AEM=45， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴， ∴， 解得：x=， ∴AF==． 故答案為：． 　 14．（xx?湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB=90，AC+AB=10，BC=3，求AC的長(zhǎng)，如果設(shè)AC=x，則可列方程為　x2+32=（10﹣x）2?。? 【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10﹣x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)AC=x， ∵AC+AB=10， ∴AB=10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 故答案為：x2+32=（10﹣x）2． 　 15．（xx?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為　20　cm（杯壁厚度不計(jì)）． 【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求． 【解答】解：如圖： 將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B===20（cm）． 故答案為20． 　 三．解答題（共2小題） 16．（xx?杭州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD． （1）若∠A=28，求∠ACD的度數(shù)． （2）設(shè)BC=a，AC=b． ①線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax﹣b2=0的一個(gè)根嗎？說明理由． ②若AD=EC，求的值． 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD，計(jì)算即可； （2）①根據(jù)勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比較即可； ②根據(jù)勾股定理列出算式，計(jì)算即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90，∠A=28， ∴∠B=62， ∵BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=59， ∴∠ACD=90﹣∠BCD=31； （2）①由勾股定理得，AB==， ∴AD=﹣a， 解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a， ∴線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax﹣b2=0的一個(gè)根； ②∵AD=AE， ∴AE=EC=， 由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2， 整理得， =． 　 17．（xx?臺(tái)灣）嘉嘉參加機(jī)器人設(shè)計(jì)活動(dòng)，需操控機(jī)器人在55的方格棋盤上從A點(diǎn)行走至B點(diǎn)，且每個(gè)小方格皆為正方形，主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1，R2，R3，其行經(jīng)位置如圖與表所示： 路徑 編號(hào) 圖例 行徑位置 第一條路徑 R1 _ A→C→D→B 第二條路徑 R2 … A→E→D→F→B 第三條路徑 R3 ▂ A→G→B 已知A、B、C、D、E、F、G七點(diǎn)皆落在格線的交點(diǎn)上，且兩點(diǎn)之間的路徑皆為直線，在無法使用任何工具測(cè)量的條件下，請(qǐng)判斷R1、R2、R3這三條路徑中，最長(zhǎng)與最短的路徑分別為何？請(qǐng)寫出你的答案，并完整說明理由． 【分析】利用勾股定理分別計(jì)算出三條路徑的長(zhǎng)，比較大小即可得． 【解答】解：第一條路徑的長(zhǎng)度為++=2+， 第二條路徑的長(zhǎng)度為++1+=+++1， 第三條路徑的長(zhǎng)度為+=2+， ∵2+＜2+＜+++1， ∴最長(zhǎng)路徑為A→E→D→F→B；最短路徑為A→G→B．