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專題06 機械能及其守恒定律 核心考點 考綱要求 功和功率 動能和動能定理 重力做功與重力勢能 功能關系、機械能守恒定律及其應用 Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ  考點1 動能定理及其應用 一、動能 1．定義：物體由于運動而具有的能。 2．表達式：Ek=mv2，v是瞬時速度，動能的單位是焦耳（J）。 3．特點：動能是標量，是狀態(tài)量。 4．對動能的理解： （1）相對性：選取不同的參考系，物體的速度不同，動能也不同，一般以地面為參考系。 （2）狀態(tài)量：動能是表征物體運動狀態(tài)的物理量，與物體的運動狀態(tài)（或某一時刻的速度）相對應。 （3）標量性：只有大小，沒有方向；只有正值，沒有負值。 （4）動能變化量：物體動能的變化是末動能與初動能之差，即，若ΔEk>0，表示物體的動能增加；若ΔEk<0，表示物體的動能減少。 （2）動能定理的表達式為標量式，不能在同一個方向上列多個動能定理方程。 二、動能定理 1．推導過程：設某物體的質量為m，在與運動方向相同的恒力F作用下，發(fā)生一段位移l，速度由v1增大到v2，如圖所示。 2．內容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化，這個結論叫做動能定理。 3．表達式：W=Ek2－Ek1=mv22－mv12。 說明： ①式中W為合外力的功，它等于各力做功的代數(shù)和。 ②如果合外力做正功，物體的動能增大；如果合外力做負功，物體的動能減少。 4．適用范圍。 動能定理的研究對象一般為單一物體，或者可以看成單一物體的物體系。動能定理即適用于直線運動，也適用于曲線運動；即適用于恒力做功，也適用于變力做功。力可以是各種性質的力，既可以是同時作用，也可以分段作用。 5．物理意義 （1）動能定理實際上是一個質點的功能關系，即合外力對物體所做的功是物體動能變化的量度，動能變化的大小由合外力對物體所做的功的多少來決定。 （2）動能定理實質上說明了功和能之間的密切關系，即做功的過程也就是能量轉化的過程。 6．應用動能定理解題的方法技巧 （1）對物體進行正確的受力分析，要考慮物體所受的所有外力，包括重力。 （2）有些力在物體運動的全過程中不是始終存在的，若物體運動的全過程包含幾個不同的物理過程，物體的運動狀態(tài)、受力等情況均可能發(fā)生變化，則在考慮外力做功時，必須根據(jù)不同情況分別對待。 （3）若物體運動的全過程包含幾個不同的物理過程，解題時可以分段考慮，也可以全過程為一整體，利用動能定理解題，用后者往往更為簡捷。 三、動能定理的應用 1．應用動能定理的流程 2．應用動能定理的注意事項 （1）動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面靜止的物體為參考系。 （2）應用動能定理的關鍵在于分析研究對象的受力情況及運動情況，可以畫出運動過程的草圖，借助草圖理解物理過程之間的關系。 （3）當物體的運動包含多個不同過程時，可分段應用動能定理求解；當所求解的問題不涉及中間的速度時，也可以全過程應用動能定理，這樣更簡捷。 （4）列動能定理方程時，必須明確各力做功的正、負，確實難以判斷的先假定為正功，最后根據(jù)結果加以檢驗。 3．應用動能定理求解物體運動的總路程 對于物體往復運動的情況，物體所受的滑動摩擦力、空氣阻力等大小不變，方向發(fā)生變化，但在每一段上這類力均做負功，而且這類力所做的功等于力和路程的乘積，與位移無關。如果已知物體運動過程初、末狀態(tài)的動能，則可利用動能定理求解物體運動的總路程。 4．應用動能定理解決相關聯(lián)物體的運動問題 對于用繩子連接的物體，在處理時要注意物體的速度與繩子的速度的關系，需要弄清合運動和分運動的關系，能夠合理利用運動的合成與分解的知識確定物體運動的速度。 5．動能定理的圖象問題 （1）解決物理圖象問題的基本步驟 ①觀察題目給出的圖象，弄清縱坐標、橫坐標所對應的物理量及圖線所代表的物理意義。 ②根據(jù)物理規(guī)律推導出縱坐標與橫坐標所對應的物理量間的函數(shù)關系式。 ③將推導出的物理規(guī)律與數(shù)學上與之對應的標準函數(shù)關系式相比，找出圖線的斜率、截距、圖線的交點、圖線下的面積所對應的物理意義，分析解答問題。 （2）四類圖線與坐標軸所圍面積的含義 ①v-t圖線：由公式x=vt可知，v-t圖線與橫坐標軸圍成的面積表示物體的位移。 ②a-t圖線：由公式Δv=at可知，a-t圖線與橫坐標軸圍成的面積表示物體速度的變化量。 ③F-s圖線：由公式W=Fs可知，F(xiàn)-s圖線與橫坐標軸圍成的面積表示力所做的功。 ④P-t圖線：由公式W=Pt可知，P-t圖線與橫坐標軸圍成的面積表示力所做的功。 6．應用動能定理解決平拋運動、圓周運動問題 （1）平拋運動和圓周運動都屬于曲線運動，若只涉及位移和速度而不涉及時間，應優(yōu)先考慮用動能定理列式求解。 （2018河南省焦作市）如圖所示，粗糙水平桌面左側固定一個光滑的圓弧軌道，圓弧底端與水平桌面平滑連接，右側固定著光滑的半圓弧軌道，直徑處于豎直方向，最高點位于水平桌面末端點上方位置且高度差可忽略不計，底端與地面平滑連接。已知兩個圓弧軌道的半徑與水平桌面的長度均為，重力加速度為，現(xiàn)有一個質量為的小球（可視為質點）從左側圓弧軌道的點由靜止釋放。 （1）為使小球可以沿半圓弧軌道內側做圓周運動，小球與水平桌面間的動摩擦因數(shù)應滿足什么條件； （2）在小球與水平桌面間的動摩擦因數(shù)滿足（1）的條件下，小球經過半圓弧軌道最低點和最右側點時對軌道的壓力之差為多大。 【參考答案】（1） （2） 【試題解析】（1）為使小球能夠沿半圓弧軌道內側運動，設小球通過點時的速度最小值為，此時重力提供向心力，由向心力公式得： 小球從點運動到的過程中，由動能定理得： 聯(lián)立解得 故小球與水平桌而問的動摩擦因數(shù)應滿足： （2）在滿足的條件下，小球沿半圓弧軌道內側做圓周運動，設經過點時的速度為，軌道支持力為，經過最低點時的速度為，軌道支持力為，則在、兩點由向心力公式可得 1．（2018黑龍江省雙鴨山市第一中學）一小物體沖上一個固定的粗糙斜面，經過斜面上A、B兩點到達斜面的最高點后返回時，又通過了A、B兩點，如圖所示，對于物體上滑時由A到B和下滑時由B到A的過程中，其動能的增量的大小分別為ΔEk1和ΔEk2，機械能的增量的大小分別是ΔE1和ΔE2，則以下大小關系正確的是 A．ΔEk1>ΔEk2　ΔE1>ΔE2 B．ΔEk1>ΔEk2　ΔE1<ΔE2 C．ΔEk1>ΔEk2　ΔE1=ΔE2 D．ΔEk1<ΔEk2　ΔE1=ΔE2 【答案】C 2．如圖甲所示，在傾角為30的足夠長的光滑斜面AB的A處連接一粗糙水平面OA，OA長為4 m。有一質量為m的滑塊，從O處由靜止開始受一水平向右的力F作用。F只在水平面上按圖乙所示的規(guī)律變化?；瑝K與OA間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，g取10 m/s2，試求： （1）滑塊運動到A處時的速度大小； （2）不計滑塊在A處的速率變化，滑塊沖上斜面AB的長度是多少？ 【答案】（1）5 m/s （2）5 m 【解析】（1）由題圖乙知，在前2 m內，F(xiàn)1=2mg，做正功，在第3 m內，F(xiàn)2=–0.5mg，做負功，在第4 m內，F(xiàn)3=0，滑動摩擦力Ff=–μmg=–0.25mg，始終做負功，對于滑塊在OA上運動的全過程，由動能定理得：F1x1+F2x2+Ffx=mv–0 即2mg2–0.5mg1–0.25mg4=mvA2 解得vA=5 m/s （2）對于滑塊沖上斜面的過程，由動能定理得 –mgLsin 30=0–mvA2， 解得：L=5 m 所以滑塊沖上AB的長度為L=5 m 考點2 機械能及其守恒定律的應用 1．推導 物體沿光滑斜面從A滑到B。 （1）由動能定理：WG=Ek2–Ek1。 （2）由重力做功與重力勢能的關系：WG=Ep1–Ep2。 結論：初機械能等于末機械能Ep1+Ek1=Ep2+Ek2。 2．內容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變。 3．表達式：Ep1+Ek1=Ep2+Ek2，即E1=E2。 4．守衡條件：只有重力或彈力做功。 5．守恒條件的幾層含義的理解 （1）物體只受重力，只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉化，如自由落體運動、拋體運動等。 （2）只有彈力做功，只發(fā)生動能和彈性勢能的相互轉化。如在光滑水平面上運動的物體碰到一個彈簧，和彈簧相互作用的過程中，對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機械能守恒。 （3）物體既受重力，又受彈力，重力和彈力都做功，發(fā)生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉化。如自由下落的物體落到豎直的彈簧上和彈簧相互作用的過程中，對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機械能守恒。 注意： 從能量觀點看：只有動能和勢能的相互轉化，無其他形式能量（如內能）之間的轉化，則系統(tǒng)機械能守恒。 從做功觀點看：只有重力和系統(tǒng)內的彈力做功。 6．機械能守恒的判斷 （1）利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體的動能、勢能均不變，則機械能不變。若一個物體的動能不變、重力勢能變化，或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時增加（減?。?，其機械能一定變化。 （2）用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒。 （3）用能量轉化來判斷：若物體或系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體或系統(tǒng)的機械能守恒。 （4）對多個物體組成的系統(tǒng)，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統(tǒng)內力做功，如有滑動摩擦力做功時，因摩擦生熱，系統(tǒng)的機械能將有損失。 7．機械能守恒定律的三種表達形式及應用 （1）守恒觀點 ①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。 ②意義：系統(tǒng)初狀態(tài)的機械能等于末狀態(tài)的機械能。 ③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面。 （2）轉化觀點 ①表達式：ΔEk=–ΔEp。 ②意義：系統(tǒng)的機械能守恒時，系統(tǒng)增加（或減少）的動能等于系統(tǒng)減少（或增加）的勢能。 （3）轉移觀點 ①表達式：ΔEA增=ΔEB減。 ②意義：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，當系統(tǒng)的機械能守恒時，則A部分機械能的增加量等于B部分機械能的減少量。 8．機械能守恒定律的應用技巧 （1）機械能守恒是有條件的，應用時首先判斷研究對象在所研究的過程中是否滿足機械能守恒的條件，然后再確定是否可以用機械能守恒定律。 （2）如果系統(tǒng)（除地球外）只有一個物體，用守恒觀點列方程較方便；對于由兩個或兩個以上的物體組成的系統(tǒng)，用轉化或轉移的觀點列方程較為簡便。 9．多個物體應用機械能守恒定律解題應注意的問題 （1）對多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動的過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒。 （2）注意尋找連接各物體間的速度關系的連接物，如繩子、桿或者其他物體，然后在尋找?guī)讉€物體間的速度關系和位移關系。 （3）列機械能守恒方程時，一般選用ΔEA增=ΔEB減的形式。 10．用機械能守恒定律解決非質點問題 在應用機械能守恒定律解決實際問題時，經常會遇到“鐵鏈”、“水柱”等類的物體，其在運動過程中，重心位置往往發(fā)生變化，形狀也會發(fā)生變化，因此此類物體不再看作質點，物體雖然不看作質點來處理，但是因為只有重力做功，物體整體的機械能還是守恒的。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規(guī)則物體各部分重心的位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化來列式求解。 （2018浙江省溫州市十五校聯(lián)合體）如圖所示是某公園中的一項游樂設施，它由彎曲軌道AB、豎直圓軌道BC以及水平軌道BD組成，各軌道平滑連接．其中圓軌道BC半徑R=1.0 m，水平軌道BD長L=5.0 m，BD段對小 車產生的摩擦阻力為車重的0.3倍，其余部分摩擦不計，質量為2.0 kg的小車(可視為質點)從P點以初速度v0=2 m/s 沿著彎曲軌道AB向下滑動，恰好滑過圓軌道最高點，然后從D點飛入水池中，空氣阻力不計，取g=10 m/s2，求： （1）P點離水平軌道的高度H； （2）小車運動到圓軌道最低點時對軌道的壓力； （3）在水池中放入安全氣墊MN(氣墊厚度不計)，氣墊上表面到水平軌道BD的豎直高度h=1.25 m，氣墊的左右兩端M、N到D點的水平距離分別為2.0 m，3.0 m，要使小車能安全落到氣墊上，則小車靜 止釋放點距水平軌道的高度H′應滿足什么條件？ 【參考答案】（1）2.3 m （2）112 N （3） （3）對小車從靜止釋放點到D點的過程由動能定理： 從D點到氣墊上的運動過程只受重力作用，做平拋運動， 而 解得： 1．（2018河南省駐馬店市）如圖所示，半徑為R的四分之一光滑圓弧槽固定在小車上，槽兩端等高。有一質量為m的小球在圈弧槽中最低點相對圓弧槽靜止，小球和小車起以大小為的速度沿水平面向右勻速運動，當小車遇到障礙物時突然停止不動。小球可視為質點。不計空氣阻力，重加速度為g，求： （1）小車停止瞬間，小球對圓弧槽最低點的壓力大?。? （2）小車停止后，小球相對圓弧槽最低點上升的最大高度可能值。 【答案】（1） （2）， 求出 2．下圖為某小型企業(yè)的一道工序示意圖，圖中一樓為原料車間，二樓為生產車間。為了節(jié)約能源，技術人員設計了一個滑輪裝置用來運送原料和成品，在二樓生產的成品裝入A箱，在一樓將原料裝入B箱，而后由靜止釋放A箱，若A箱與成品的總質量為M=20 kg，B箱與原料的總質量為m=10 kg，這樣在A箱下落的同時會將B箱拉到二樓生產車間，當B箱到達二樓平臺時可被工人接住，若B箱到達二樓平臺時沒有被工人接住的話，它可以繼續(xù)上升h=1 m速度才能減小到零。不計繩與滑輪間的摩擦及空氣阻力，重力加速度g=10 m/s2，求： （1）一樓與二樓的高度差H； （2）在A、B箱同時運動的過程中繩對B箱的拉力大小。 【答案】（1） （2） 考點3 功能關系、能量守恒定律 一、功能關系 1．能的概念：一個物體能夠對外做功，我們就說這個物體具有能量。 2．規(guī)律：各種不同形式的能之間可以相互轉化，而且在轉化的過程中能量守恒。 3．功能關系 （1）功是能量轉化的量度，即做了多少功就有多少能量發(fā)生了轉化。 （2）做功的過程一定伴隨著能量的轉化，而且能量的轉化必須通過做功來實現(xiàn)。 （3）W其他=ΔE，該式的物理含義是除重力、系統(tǒng)內彈力以外，其他所有外力對物體所做的功等于物體機械能的變化，即功能原理。要注意的是物體的內能（所有分子熱運動的動能和分子勢能的總和）、電視能不屬于機械能。 4．幾種常見的功能關系及其表達式 功 能量改變 關系式 W合：合外力的功（所有外力的功） 動能的改變量（ΔEk） W合=ΔEk WG：重力的功 重力勢能的改變量（ΔEp） WG=–ΔEp W彈：彈簧彈力做的功 彈性勢能的改變量（ΔEp） W彈=–ΔEp W其他：除重力或系統(tǒng)內彈力以外的其他外力做的功 機械能的改變量（ΔE） W其他=ΔE fΔs：一對滑動摩擦力做功的代數(shù)和 因摩擦而產生的內能（Q） fΔs=Q（Δs為物體間的相對位移） 二、能量守恒定律 1．內容：能量既不會消滅，也不會創(chuàng)生，它只會從一種形式轉化為其他形式，或者從一個物體轉移到另一個物體，而在轉化和轉移的過程中，能量的總量保持不變。 2．表達式：ΔE減=ΔE增。 3．意義：能量守恒定律是最基本、最普通、最重要的自然規(guī)律之一，它揭示了自然界中各種運動形式不僅具有多樣性，而且具有統(tǒng)一性。它指出了能量既不會無中生有，也不會憑空消失，只能在一定條件下轉化或轉移。 4．對能量守恒定律的理解 （1）某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且增加量和減少量一定相等。 （2）某個物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且增加量和減少量一定相等。 5．應用能量守恒定律的解題步驟 （1）選取研究對象和研究過程，了解對應的受力情況和運動情況。 （2）分析有哪些力做功，相應的有多少形式的能參與了轉化，如動能、勢能（包括重力勢能、彈性勢能、電勢能）、內能等。 （3）明確哪種形式的能量增加，哪種形式的能量減少，并且列出減少的能量ΔE減和增加的能量ΔE增的表達式。 三、摩擦力做功的特點及應用 1．靜摩擦力做功的特點 （1）靜摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。 （2）相互作用的一對靜摩擦力做功的代數(shù)和總等于零。 （3）靜摩擦力做功時，只有機械能的相互轉移，不會轉化為內能。 2．滑動摩擦力做功的特點 （1）滑動摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。 （2）相互間存在滑動摩擦力的系統(tǒng)內，一對滑動摩擦力做功將產生兩種可能的效果： ①機械能全部轉化為內能； ②有一部分機械能在相互摩擦的物體間轉移，另外一部分轉化為內能。 （3）摩擦生熱的計算：Q=fs相對。其中s相對為相互摩擦的兩個物體間的相對位移。 3．傳送帶模型問題的分析流程 （2018江蘇省揚州市）如圖所示，水平轉臺上有一個質量為m的物塊，用長為2L的輕質細繩將物塊連接在轉軸上，細繩與豎直轉軸的夾角θ=30，此時細繩伸直但無張力，物塊與轉臺間動摩擦因數(shù)為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。物塊隨轉臺由靜止開始緩慢加速轉動，重力加速度為g，求： （1）當轉臺角速度ω1為多大時，細繩開始有張力出現(xiàn)； （2）當轉臺角速度ω2為多大時，轉臺對物塊支持力為零； （3）轉臺從靜止開始加速到角速度的過程中，轉臺對物塊做的功。 【參考答案】（1） （2） （3） 代入數(shù)據(jù)得： 轉臺對物塊做的功等于物塊動能增加量與重力勢能增加量的總和即： 代入數(shù)據(jù)得： 1．（2018重慶市第一中學）如圖所示，豎直平面內軌道ABCD的質量M=0.4 kg，放在光滑水平面上，其中AB段是半徑R=0.4 m的光滑1/4圓弧，在B點與水平軌道BD相切，水平軌道的BC段粗糙，動摩擦因數(shù)μ=0.4，長L=3.5 m，C點右側軌道光滑，軌道的右端連一輕彈簧。現(xiàn)有一質量m=0.1 kg的小物體(可視為質點)在距A點高為H=3.6 m處由靜止自由落下，恰沿A點滑入圓弧軌道(g=10 m/s)。下列說法正確的是 A．最終m一定靜止在M的BC某一位置上 B．小物體第一次沿軌道返回到A點時將做斜拋運動 C．M在水平面上運動的最大速率2.0 m/s D．小物體第一次沿軌道返回到A點時的速度大小4 m/s 【答案】ACD 水平方向動量守恒，以初速度的方向為正方向；由動量守恒定律可得：，由機械能守恒得：，解得：，故選項C正確。 2．如圖所示，質量為M、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上。質量為m的小物塊放在小車的最左端。現(xiàn)在一水平恒力F作用在小物塊上，使小物塊從靜止開始做勻加速直線運動，小物塊和小車之間的摩擦力為f。經過時間t，小車運動的位移為s，小物塊剛好滑到小車的最右端 3．（2018新課標全國III卷）地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機通過豎井運送至地面。某豎井中礦車提升的速度大小v隨時間t的變化關系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質量相等。不考慮摩擦阻力和空氣阻力。對于第①次和第②次提升過程 A．礦車上升所用的時間之比為4:5 B．電機的最大牽引力之比為2:1 C．電機輸出的最大功率之比為2:1 D．電機所做的功之比為4:5 【答案】AC 4．（2017江蘇卷）一小物塊沿斜面向上滑動，然后滑回到原處。物塊初動能為，與斜面間的動摩擦因數(shù)不變，則該過程中，物塊的動能與位移的關系圖線是 A B C D 【答案】C 【解析】向上滑動的過程中，根據(jù)動能定理有，當Ek=0時，同理，下滑過程中，由動能定理有，當x=0時，故選C。 5．（2016浙江卷）如圖所示為一滑草場。某條滑道由上下兩段高均為h，與水平面傾角分別為45和37的滑道組成，滑草車與草地之間的動摩擦因數(shù)為。質量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑，經過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端（不計滑草車在兩段滑道交接處的能量損失，，）。則 A．動摩擦因數(shù) B．載人滑草車最大速度為 C．載人滑草車克服摩擦力做功為mgh D．載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為 【答案】AB 6．（2018江蘇卷）如圖所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細線的一端系有質量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B。質量為m的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為3l。用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53。松手后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動。忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin 53=0.8，cos 53=0.6。求： （1）小球受到手的拉力大小F； （2）物塊和小球的質量之比M:m； （3）小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T。 【答案】（1） （2） （3）（） 7．（2017江蘇卷）如圖所示，兩個半圓柱A、B緊靠著靜置于水平地面上，其上有一光滑圓柱C，三者半徑均為R。C的質量為m，A、B的質量都為，與地面的動摩擦因數(shù)均為μ。現(xiàn)用水平向右的力拉A，使A緩慢移動，直至C恰好降到地面。整個過程中B保持靜止。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。求： （1）未拉A時，C受到B作用力的大小F； （2）動摩擦因數(shù)的最小值μmin； （3）A移動的整個過程中，拉力做的功W。 【答案】（1） （2） （3）