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第九章 磁場 模型概述 帶電粒子在周期性變化的電、磁場中的運動是高中物理的一個難點．題目中的運動情景復雜、綜合性強，將場的性質、運動學規(guī)律、牛頓運動定律、功能關系以及交變電場等知識有機地結合，對空間想象能力、物理過程和運動規(guī)律的綜合分析能力，以及利用數(shù)學知識解決物理問題的能力要求較高． 例1　如圖1甲所示，間距為d、垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強磁場、取垂直于紙面向里為磁場的正方向，磁感應強度隨時間的變化規(guī)律如圖乙所示．t＝0時刻，一質量為m、帶電荷量為＋q的粒子(不計重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場且平行于板面的方向射入磁場區(qū)．當B0和TB取某些特定值時，可使t＝0時刻入射的粒子經(jīng)Δt時間恰能垂直打在P板上(不考慮粒子反彈)．上述m、q、d、v0為已知量． 圖1 (1)若Δt＝TB，求B0； (2)若Δt＝TB，求粒子在磁場中運動時加速度的大??； (3)若B0＝，為使粒子仍能垂直打在P板上，求TB. 答案　(1)　(2)　(3)見解析 解析　(1)設粒子做圓周運動的半徑為R1，由牛頓第二定律得qv0B0＝ ① 根據(jù)題意由幾何關系得R1＝d ② 聯(lián)立①②式得B0＝ ③ (2)設粒子做圓周運動的半徑為R2，加速度大小為a，由圓周運動公式得a＝④ 根據(jù)題意由幾何關系得3R2＝d ⑤ 聯(lián)立④⑤式得a＝ ⑥ (3)設粒子做圓周運動的半徑為R，周期為T，由圓周運動公式得T＝ ⑦ 由牛頓第二定律得qv0B0＝ ⑧ 由題意知B0＝，代入⑧式得 d＝4R ⑨ 粒子運動軌跡如圖所示(只畫出一個周期的運動情況)，O1、O2為圓心，O1O2連線與水平方向的夾角為θ，在每個TB內(nèi)，只有A、B兩個位置才有可能垂直擊中P板，且均要求0＜θ＜，由題意可知 T＝ ⑩ 設經(jīng)歷完整TB的個數(shù)為n(n＝0,1,2,3，…)， 若A位置擊中P板，根據(jù)題意由幾何關系得 R＋2(R＋Rsinθ)n＝d ? 當n＝0時，無解 ? 當n＝1時，聯(lián)立⑨?式得θ＝(或sinθ＝) ? 聯(lián)立⑦⑨⑩?式得 TB＝ ? 當n≥2時，不滿足0＜θ＜90的需求 ? 若B位置擊中P板，根據(jù)題意由幾何關系得 R＋2Rsinθ＋2(R＋Rsinθ)n＝d ? 當n＝0時，無解 ? 當n＝1時，聯(lián)立⑨?式得 θ＝arcsin(或sinθ＝) ? 聯(lián)立⑦⑨⑩?式得 TB＝(＋arcsin). 當n≥2時，不滿足0＜θ＜90的要求． 1．仔細分析并確定各場的變化特點及相應的時間，其變化周期一般與粒子在電場或磁場中的運動周期相關聯(lián)，應抓住變化周期與運動周期之間的聯(lián)系作為解題的突破口． 2．必要時，可把粒子的運動過程還原成一個直觀的運動軌跡草圖進行分析． 3．把粒子的運動分解成多個運動階段分別進行處理，根據(jù)每一階段上的受力情況確定粒子的運動規(guī)律． 帶電粒子在多磁場中的運動，一般是指帶電粒子在兩個相鄰勻強磁場中的運動．解決此類問題的一般思路： (1)根據(jù)題中所給的條件，畫出粒子在兩磁場中做勻速圓周運動的軌跡； (2)根據(jù)畫出的軌跡，找出粒子在兩磁場中做圓周運動的圓心和半徑； (3)適當添加輔助線，運用數(shù)學方法計算出粒子在兩磁場中的軌跡半徑(有時候還要找出圓心角)； (4)結合粒子運動的半徑公式r＝(或周期公式T＝)即可得出所求的物理量． 例2　如圖2所示，在一個圓形區(qū)域內(nèi)，兩個方向相反且都垂直于紙面的勻強磁場分布在以直徑A2A4為邊界的兩個半圓形區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中，直徑A2A4與直徑A1A3之間的夾角為α＝60.一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點A1處沿與A1A3成β＝30角的方向射入磁場，隨后該粒子以垂直于A2A4的方向經(jīng)過圓心進入Ⅱ區(qū)，最后再從A4處射出磁場．已知該粒子從射入到射出磁場所用的時間為t，求： 圖2 (1)粒子在磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中運動的軌道半徑R1與R2的比值； (2)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁場的磁感應強度B1和B2的大小． 答案　(1)2　(2)　 解析　(1)粒子在兩勻強磁場中的運動軌跡如圖所示設粒子射入磁場時的速度大小為v，圓形區(qū)域的半徑為r.連接A1A2，由幾何知識可知，△A1A2O為等邊三角形，A2為粒子在區(qū)域Ⅰ磁場中運動時軌跡圓的圓心，所以R1＝r.由于粒子垂直直徑A2A4進入Ⅱ區(qū)，從A4點離開磁場，所以粒子在區(qū)域Ⅱ磁場中運動的軌跡為半圓，圓形磁場區(qū)域的半徑OA4即粒子在Ⅱ區(qū)磁場中做圓周運動時軌跡圓的直徑，所以R2＝，由此可得：＝2. (2)帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場中做圓周運動的周期為T1＝，因為∠A1A2O＝60，所以粒子在Ⅰ區(qū)磁場中運動的時間為t1＝＝.帶電粒子在Ⅱ區(qū)磁場中做圓周運動的周期為T2＝，因粒子在Ⅱ區(qū)磁場中運動軌跡為半圓，所以其運動時間為t2＝＝，帶電粒子在磁場中運動的總時間為t＝t1＋t2，又因為＝2，所以B2＝2B1，由以上各式可得： B1＝ B2＝.