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培優(yōu)點十七 離心率 1．離心率的值 例1：設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本題存在焦點三角形，由線段的中點在軸上，為中點可得軸， 從而，又因為，則直角三角形中，， 且，，所以，故選A． 2．離心率的取值范圍 例2：已知是雙曲線的左焦點，是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角．由對稱性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通徑的一半，得：，， 所以，即， 故選B． 對點增分集訓(xùn) 一、單選題 1．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】雙曲線的漸近線過點，代入，可得：， 即，，故選D． 2．傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點，與橢圓交于、兩點，且，則該橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)直線的參數(shù)方程為，代入橢圓方程并化簡得， 所以，，由于，即，代入上述韋達定理，化簡得，即，．故選A． 3．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，還提出了一元二次方程的解法問題．直角三角形的三條邊長分別稱“勾”“股”“弦”．設(shè)、分別是雙曲線 ，的左、右焦點，是該雙曲線右支上的一點，若，分別是的“勾”“股”，且，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由雙曲線的定義得，所以， 即，由題意得，所以， 又，所以，解得，從而離心率，故選D． 4．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點相同，它們交于，兩點，且直線過點，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】設(shè)雙曲線的左焦點坐標為，由題意可得：，， 則，，即，， 又：，， 據(jù)此有：，即， 則雙曲線的離心率：．本題選擇C選項． 5．已知點在橢圓上，若點為橢圓的右頂點，且（為坐標原點），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意，所以點在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，所以圓的方程 為：， 與橢圓方程聯(lián)立得：，此方程在區(qū)間上有解， 由于為此方程的一個根，且另一根在此區(qū)間內(nèi)，所以對稱軸要介于與之間， 所以，結(jié)合，解得， 根據(jù)離心率公式可得．故選C． 6．已知橢圓，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)為橢圓短軸一端點，則由題意得，即， 因為，所以，，，，，，故選C． 7．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且， 則此雙曲線的離心率的最大值為（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由雙曲線的定義知 ①；又， ② 聯(lián)立①②解得，， 在中，由余弦定理，得， 要求的最大值，即求的最小值， 當(dāng)時，解得，即的最大值為，故選B． 解法二：由雙曲線的定義知 ①，又， ②，聯(lián)立①②解得，，因為點在右支所以，即故，即的最大值為，故選B． 8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，為坐標原點，若，且，則該橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由橢圓的定義可得，， 又，可得，即為橢圓的短軸的端點， ，且，即有，即為，．故選D． 9．若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】雙曲線的漸近線方程為， 由雙曲線與直線有交點，則有，即有， 則雙曲線的離心率的取值范圍為，故選D． 10．我們把焦點相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知，是一對相關(guān)曲線的焦點，，分別是橢圓和雙曲線的離心率，若P為它們在第一象限的交點，，則雙曲線的離心率（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】設(shè)，，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為， 可得，，可得，， 由余弦定理可得， 即有， 由離心率公式可得，，即有，解得，故選C． 11．又到了大家最喜（tao）愛（yan）的圓錐曲線了．已知直線與橢圓交于、兩點，與圓交于、兩點．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直線，即， 直線恒過定點，直線過圓的圓心， ，，的圓心為、兩點中點， 設(shè)，，， 上下相減可得：， 化簡可得，， ，，故選C． 12．已知點為雙曲線右支上一點，點，分別為雙曲線的左右焦點，點是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義得，， ，，， 由題意得，故， 故，又，所以，雙曲線的離心率取值范圍是，故選D． 二、填空題 13．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______． 【答案】 【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的另外一個焦點為， 由于的斜率為，所以，且，所以是等邊三角形， 所以，所以，， 所以， 所以，由雙曲線的定義可知，所以雙曲線的離心率為． 14．已知雙曲線，其左右焦點分別為，，若是該雙曲線右支上一點，滿足，則離心率的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】設(shè)點的橫坐標為，∵，在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線的第二定義， 可得，， ，，，，，，故答案為． 15．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，的兩點，且軸，若為橢圓上異于，的動點且，則該橢圓的離心率為_______． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，因為軸且，假設(shè)在第一象限，則， 過作軸于，則易知， 由得，所以，， 所以，代入橢圓方程得，即， 又，所以，所以橢圓離心率為． 故答案為． 16．在平面直角坐標系中，記橢圓的左右焦點分別為，，若該橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是____________． 【答案】 【解析】橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，6個不同的點有兩個為橢圓短軸的兩個端點，另外四個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱， 設(shè)在第一象限，，當(dāng)時，， 即，解得， 又因為，所以， 當(dāng)時，， 即且，解得：， 綜上或． 三、解答題 17．已知雙曲線的的離心率為，則 （1）求雙曲線的漸進線方程． （2）當(dāng)時，已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的中點在圓上，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意，得，， ∴，即， ∴所求雙曲線的漸進線方程． （2）由（1）得當(dāng)時，雙曲線的方程為． 設(shè)，兩點的坐標分別為，，線段的中點為， 由，得（判別式）， ∴，， ∵點在圓上，∴，∴． 18．已知橢圓的左焦點為，離心率． （1）求橢圓的標準方程； （2）已知直線交橢圓于，兩點． ①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交軸于點，且滿足，．求證：為定值； ②若，求面積的取值范圍． 【答案】（1）；（2）①見解析，②． 【解析】（1）由題設(shè)知，，，所以，，， 所以橢圓的標準方程為． （2）①由題設(shè)知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，則． 設(shè)，，直線代入橢圓得， 所以，，由，知 ，， ． ②當(dāng)直線，分別與坐標軸重合時，易知． 當(dāng)直線，斜率存在且不為0時，設(shè)，， 設(shè)，，直線代入橢圓得到， 所以，，同理， ， 令，則， 因為，所以，故，綜上．