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專題02 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 知識(shí)必備 一、正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) 圖象 定義域 值域 最值 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 既無最大值，也無最小值 周期性 最小正周期為 最小正周期為 最小正周期為 奇偶性 ,奇函數(shù) ，偶函數(shù) ，奇函數(shù) 單調(diào)性 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)． 對(duì)稱性 對(duì)稱中心； 對(duì)稱軸， 既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形. 對(duì)稱中心； 對(duì)稱軸， 既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形. 對(duì)稱中心； 無對(duì)稱軸， 是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形. 二、函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．函數(shù)的圖象的畫法 （1）變換作圖法 由函數(shù)的圖象通過變換得到（A>0,ω>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.如下圖. （2）五點(diǎn)作圖法 找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為使y取得最小值、最大值的點(diǎn)和曲線與x軸的交點(diǎn).其步驟為： ①先確定最小正周期T=,在一個(gè)周期內(nèi)作出圖象； ②令,令X分別取0，,,,求出對(duì)應(yīng)的x值，列表如下： 由此可得五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)； ③描點(diǎn)畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡(jiǎn)圖向左右分別擴(kuò)展，從而得到的簡(jiǎn)圖. 2．函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì) （1）奇偶性：時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù). （2）周期性：存在周期性，其最小正周期為T= . （3）單調(diào)性：根據(jù)y=sint和t=的單調(diào)性來研究，由得單調(diào)增區(qū)間；由得單調(diào)減區(qū)間. （4）對(duì)稱性：利用y=sin x的對(duì)稱中心為求解，令，求得x. 利用y=sin x的對(duì)稱軸為求解，令，得其對(duì)稱軸. 3．函數(shù)（A>0,ω>0）的物理意義 當(dāng)函數(shù)（A>0,ω>0,）表示一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)量時(shí)，則A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做頻率,叫做相位，x=0時(shí)的相位叫做初相. 核心考點(diǎn) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1】（奇偶性與對(duì)稱性）已知函數(shù)在處取得最大值，則函數(shù)是 A．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 【答案】B 備考指南 1．對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx＋φ），其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x=x0或點(diǎn)（x0，0）是否為函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn) f（x0）的值進(jìn)行判斷． 2．若f（x）=Asin（ωx＋φ）為偶函數(shù)，則φ=kπ＋（kZ），同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）為奇函數(shù)，則φ=kπ（k∈Z），同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0. 【例2】（周期性）已知函數(shù)，且，，若的最小值為，則的值為 A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象可知，即，則由三角函數(shù)的周期公式可得.故選C． 備考指南 求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分別應(yīng)用公式T=，T=，T=求解． 【例3】（單調(diào)性）已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得 因此， 所以選C． 備考指南 1．已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間．①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)． 2．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解． 3．利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化為y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函數(shù)的值域（或最值）問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決. 【例4】（最值或值域問題）已知函數(shù)=（）的最大值為2，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為（0，），現(xiàn)將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則在上的值域?yàn)? . 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，由函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為（0，1）得，，解得，所以=，所以= =，由是偶函數(shù)得，即（），因?yàn)?，所以，所?，因?yàn)椋?，由正弦函?shù)圖象知在上的值域?yàn)? 備考指南 1．形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)． 2．形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． 3．形如y=asinxcosx＋b(sinxcosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinxcosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值). 【例5】（三角函數(shù)性質(zhì)的綜合）已知. （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）求函數(shù)的最大值，并寫出取最大值時(shí)自變量的集合； （3）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間. 【解析】（1）函數(shù)的最小正周期. （3）令，，得：，， ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，． ∵， ∴是的單調(diào)遞增區(qū)間， 令，，得：，， ∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，． ∵， ∴是的單調(diào)遞減區(qū)間. 備考指南 高考中常將三角函數(shù)的性質(zhì)綜合起來考查，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性以及三角圖象變換等，即可順利解決此類問題. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象變換 【例6】（簡(jiǎn)單的三角函數(shù)圖象變換）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)（ ）的圖象． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，于是只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象．故選B． 備考指南 1．對(duì)函數(shù)y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個(gè)單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤|φ|，而不是ωx變?yōu)棣豿|φ|. 2．注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移. 【例7】（三角函數(shù)圖象變換與性質(zhì)的綜合）已知函數(shù)（）的最小正周期為，若將其圖象沿軸向右平移（）個(gè)單位，所得圖象關(guān)于對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為 A． B． C． D． 【答案】C 考點(diǎn)三 三角函數(shù)的解析式 【例8】（由圖象確定三角函數(shù)的解析式）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圖象得，，則函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得，，又，所以，故選C． 備考指南 1．求A，B，已知函數(shù)的最大值M和最小值m，則. 2．求ω，已知函數(shù)的周期T，則. 3．求φ，常用方法有： ①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)，A，ω，B已知)． ②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，具體如下： “第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)中距原點(diǎn)最近的交點(diǎn))為ωx＋φ=0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ=；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ=π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ=；“第五點(diǎn)”為ωx＋φ=2π. 【例9】（三角函數(shù)解析式與性質(zhì)的綜合）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若，，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依題意，，，故，故，故，將點(diǎn)代入可得，因?yàn)?，所以，故，則 ，令，解得，故選D． 能力突破 1．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】C 【解析】，所以向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，選C． 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換是高考常考點(diǎn)，必須熟練掌握. 2．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得函數(shù)的最小正周期滿足．又函數(shù)過點(diǎn)或，又函數(shù)過點(diǎn)，，故選D． 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)解析式的確定常以圖象為載體，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì). 3．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則當(dāng)取最小值時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意得，，故將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則，故，因?yàn)?，所以的最小值為，所? 令，即， 即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選B． 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，每年高考都會(huì)涉及，必須熟練掌握． 4．已知函數(shù)（）的一個(gè)零點(diǎn)是，其圖象上一條對(duì)稱軸方程為，則當(dāng)取最小值時(shí)，下列說法正確的是 ．（填寫所有正確說法的序號(hào)） ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； ②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； ③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱； ④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱． 【答案】①③ 【解析】由已知，或（），（），兩式相減得，又，故，此時(shí)，，所以，又，則，所以，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)先減后增，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，但不關(guān)于直線對(duì)稱，故填①③． 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題，只要逐條掌握每條性質(zhì)即可順利求解. 5．設(shè)函數(shù). （1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值. 【解析】（1）由題得. ∴函數(shù)的最小正周期. 由，，得，， ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. （2）， ， ， ∴， 的最大值是3. 【名師點(diǎn)睛】此類問題常與三角函數(shù)公式相結(jié)合，注意二倍角公式，兩角和與差的正、余弦公式等，一定要將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為（）的形式，再根據(jù)正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解即可. 高考通關(guān) 1．（2018天津理）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減 【答案】A 【解析】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后的解析式為.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：.故選A. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 2．（2017新課標(biāo)Ⅰ理）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是 A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問題，首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式，需要重點(diǎn)記住；另外，在進(jìn)行圖象變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中也經(jīng)常出現(xiàn)，無論哪種變換，記住每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言. 3．（2017新課標(biāo)Ⅲ理）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．的一個(gè)周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在(,)單調(diào)遞減 【答案】D 【解析】函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的周期為，取，可得函數(shù)的一個(gè)周期為，選項(xiàng)A正確； 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)B正確； ，函數(shù)的零點(diǎn)滿足，即，取，可得的一個(gè)零點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 故選D. 【名師點(diǎn)睛】（1）求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為或的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為或的形式. （2）求的對(duì)稱軸，只需令，求x；求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令即可. 4．（2017新課標(biāo)Ⅱ理）函數(shù)()的最大值是 . 【答案】1 【解析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式： ， 由自變量的范圍：可得：， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1. 【名師點(diǎn)睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析. 5．（2017浙江）已知函數(shù)． （1）求的值． （2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 【解析】（1）由，，． 得． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的常考知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點(diǎn)時(shí)，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解． 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！