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培優(yōu)點(diǎn)八 平面向量 1．代數(shù)法 例1：已知向量，滿足，，且，則在方向上的投影為（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】考慮在上的投影為，所以只需求出，即可． 由可得：， 所以．進(jìn)而，故選C． 2．幾何法 例2：設(shè)，是兩個(gè)非零向量，且，則_______． 【答案】 【解析】可知，，為平行四邊形的一組鄰邊和一條對(duì)角線， 由可知滿足條件的只能是底角為，邊長(zhǎng)的菱形， 從而可求出另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為． 3．建立直角坐標(biāo)系 例3：在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，，則__________． 【答案】 【解析】上周是用合適的基底表示所求向量，從而解決問(wèn)題，本周仍以此題為例，從另一個(gè)角度解題，觀察 到本題圖形為等邊三角形，所以考慮利用建系解決數(shù)量積問(wèn)題， 如圖建系：，，， 下面求坐標(biāo)：令，∴，， 由可得：，∴， ∴，，∴． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．已知向量，滿足，，且向量，的夾角為，若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)?，所以，故選D． 2．已知向量，滿足，，，則（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由題意可得：，則．故選A． 3．如圖，平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，且， 則（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以，? 則 ．故選B． 4．如圖，在中，是邊的中線，是邊的中點(diǎn)，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，在中，是邊的中線，所以， 又因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以， 所以，故選B． 5．在梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)?，，，? 所以是直角梯形，且，， 以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系： 因?yàn)?，，?dòng)點(diǎn)和分別在線段和上， 則，，，， 所以， 令且， 由基本不等式可知，當(dāng)時(shí)可取得最大值， 則．故選D． 6．已知中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，則的范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，中，，，， 則根據(jù)余弦定理可得，即．∴為直角三角形 以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，則，， 則線段的方程為，． 設(shè)，則． ∵，∴．故選C． 7．已知非零向量，，滿足且，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】非零向量，，滿足且，則， ∴，∴， ∴， ∴，，∴與的夾角為，故選A． 8．在中斜邊，以為中點(diǎn)的線段，則的最大值為（ ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【解析】∵在中斜邊，∴， ∵為線段中點(diǎn)，且， ∴原式， 當(dāng)時(shí)，有最大值，．故選B． 9．設(shè)向量，，，滿足，，，則的最大值等于（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】設(shè)，，，因?yàn)?，? 所以，，所以，，，四點(diǎn)共圓， 因?yàn)?，，所以? 由正弦定理知，即過(guò)，，，四點(diǎn)的圓的直徑為2， 所以的最大值等于直徑2，故選D． 10．已知與為單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，是單位向量，，可設(shè)，，， 由向量滿足，∴， ∴，即，其圓心，半徑， ∴，∴．故選B． 11．平行四邊形中，，在上投影的數(shù)量分別為，，則在上的投影的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)， 則，，則，解得． 所以，．在上的攝影， 當(dāng)時(shí)，，得到：，當(dāng)時(shí)，，，故選A． 12．如圖，在等腰直角三角形中，，，是線段上的點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖所示，以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則，，，設(shè)，則，． 據(jù)此有，， 則． 據(jù)此可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值； 當(dāng)或時(shí)，取得最大值； 的取值范圍是．故選A． 二、填空題 13．已知向量，，，若，則________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋?，所以? 又，且，則，即． 14．若向量，滿足，，且，則與的夾角為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】由得，，即， 據(jù)此可得，∴， 又與的夾角的取值范圍為，故與的夾角為． 15．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求的最大值為_(kāi)_______． 【答案】4 【解析】設(shè)，則， 又， ∴， ∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值4，故答案為4． 16．在中，，，，為線段上一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)___． 【答案】 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線為，軸建立直角坐標(biāo)系， 可得，，，則直線的方程為， 設(shè)，則，，，， 則| ， 由，可得的最小值為3 ，x=0時(shí)，則的最大值為27， 即的取值范圍為．故答案為．