2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3.1.1 數(shù)學歸納法原理導學案 新人教B版選修4-5.docx
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3.1.1 數(shù)學歸納法原理 1.理解歸納法和數(shù)學歸納法原理. 2.會用數(shù)學歸納法證明有關問題. 自學導引 1.由有限多個個別的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常稱為歸納法. 2.一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： (1)證明當n取初始值n0時命題成立； (2)假設當n＝k時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都正確.這種證明方法稱為數(shù)學歸納法. 基礎自測 1.設f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( ) A. B. C.＋ D.－ 解析 f(n)＝＋＋＋…＋ f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋ ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，選D. 答案 D 2.用數(shù)學歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)時，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是( ) A.2k＋1 B. C.2(2k＋1) D. 解析 n＝k時，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2n－1). n＝k＋1時，(k＋2)…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1). ∴增乘的代數(shù)式是＝2(2k＋1)，選C. 答案 C 3.數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是________. 解析 a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2. 答案 an＝n2 知識點1 利用數(shù)學歸納法證明等式 【例1】 通過計算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的結果，并加以證明. －1＋3＝________；－1＋3－5＝________； －1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________. 解 上面四個式子的結果分別是2，－3，4，－5， 由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn 下面用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝1時，式子左右兩邊都等于－1，即這時等式成立. (2)假設當n＝k(k≥1)時等式成立，即 －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk 當n＝k＋1時， －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1) ＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1) ＝(－1)k＋1(k＋1). 即n＝k＋1時，命題成立. 由(1)(2)知，命題對于n∈N*都成立. ●反思感悟：用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的一些等式命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關.由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項. 1.用數(shù)學歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 證明 (1)當n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，命題成立. (2)假設當n＝k (k≥1)時命題成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 那么當n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋. 上式表明當n＝k＋1時命題也成立.由(1)和(2)知，命題對一切自然數(shù)均成立. 【例2】 證明＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N*)成立的過程如下，請判斷證明是否正確？為什么？ 證明：(1)當n＝1時，左邊＝，右邊＝1－＝. ∴當n＝1時，等式成立. (2)假設當n＝k (k≥1)時，等式成立，即 ＋＋＋…＋＋＝1－， 那么當n＝k＋1時， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋ ＝＝1－＝右邊. 這就是說，當n＝k＋1時，等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N*都成立. 解 不正確，錯誤的原因在第(2)步，它是直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當n＝k＋1時，式子＋＋＋…＋＋＋的和，而沒有利用“歸納假設”. 正確的證明如下： (1)當n＝1時，左邊＝，右邊＝1－＝，等式成立. (2)假設當n＝k (k∈N*，k≥2)時，等式成立，就是 ＋＋＋…＋＋＝1－， 那么當n＝k＋1時， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋ ＝1－＋＝1－＝1－＝右邊. 這就是說，當n＝k＋1時，等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立. ●反思感悟：在推證“n＝k＋1”命題也成立時，必須把“歸納假設”n＝k時的命題，作為必備條件使用上，否則不是數(shù)學歸納法.對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯是常見錯誤. 2.用數(shù)學歸納法證明： …＝ (n≥2). 證明 (1)當n＝2時，左邊＝1－＝， 右邊＝＝，等式成立. (2)假設當n＝k (k∈N*，k≥2)時，等式成立， 即…＝ 則當n＝k＋1時， … ＝＝＝， 即n＝k＋1時，等式成立. 由(1)(2)知，對于任意正整數(shù)n(n≥2)，原等式成立. 知識點2 用數(shù)學歸納法證明不等式 【例3】 用數(shù)學歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－ (n≥2). 證明 (1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立. (2)假設n＝k (k∈N*，k≥2)時命題成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋ <2－＋ <2－＋＝2－＋－ ＝2－，命題成立. 由(1)、(2)知原不等式在n≥2時均成立. ●反思感悟：(1)由n＝k到n＝k＋1時的推證過程中應用了“放縮”的技巧，使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一. (2)數(shù)學歸納法的應用通常與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等. 3.求證：1＋＋＋…＋≥ (n∈N*). 證明 (1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1， ∴左邊≥右邊，即命題成立. (2)假設當n＝k時，命題成立， 即1＋＋＋…＋≥. 那么當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋≥＋ ＝＋≥＋ ＝＝＝＝. 由(1)(2)知原不等式在n∈N*時均成立. 課堂小結 1.數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就可能得出不正確的結論，因為單靠(1)無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確無法判斷.同樣只有步驟(2)而沒有步驟(1)也可能得出不正確的結論.因為缺少(1)，假設就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了. 2.數(shù)學歸納法證明的關鍵是第二步，此處要搞清兩點： (1)當n＝k＋1時，證明什么，即待證式子的兩端發(fā)生了哪些變化. (2)由n＝k推證n＝k＋1時，可以綜合應用以前學過的定義、定理、公式、方法等來進行證明，只不過必須得把n＝k時的結論作為條件應用上. 隨堂演練 1.在用數(shù)學歸納法證明多邊形內角和定理時，第一步應驗證( ) A.n＝1成立 B.n＝2成立 C.n＝3成立 D.n＝4成立 解析 因為多邊形邊數(shù)最少的是三角形，故應選C. 答案 C 2.設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于( ) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析 f(n)＝1＋＋＋…＋. f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋. ∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋，應選D. 答案 D 3.已知a1＝，an＋1＝，n∈N*，求證：an<2. 證明 (1)n＝1時，∵a1＝，∴a1<2. (2)設n＝k (k≥1)時，ak<2， 當n＝k＋1時，ak＋1＝<＝2. 故n＝k＋1時，命題成立. 由(1)(2)知，n∈N*時，an<2都成立. 基礎達標 1.滿足12＋23＋34＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然數(shù)n＝( ) A.1 B.1或2 C.1，2，3 D.1，2，3，4 解析 經(jīng)驗證當n＝1，2，3時均正確，但當n＝4時，左邊＝12＋23＋34＋45＝40，而右邊＝342－34＋2＝38，故選C. 答案 C 2.一個與自然數(shù)n有關的命題，當n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立推得n＝k＋2時命題也成立則( ) A.該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C.該命題何時成立與k取什么值無關 D.以上答案都不對 解析 由題意n＝2時成立可推得n＝4，6，8…都成立，因此所有正偶數(shù)都成立，故選B. 答案 B 3.某個與正整數(shù)n有關的命題，如果當n＝k (k∈N*且k≥1)時該命題成立，則一定可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時該命題不成立，那么應有( ) A.當n＝4時該命題成立 B.當n＝6時該命題成立 C.當n＝4時該命題不成立 D.當n＝6時該命題不成立 答案 C 4.在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通過求a2，a3，a4猜想an的表達式是________. 解析 ＋a2＝2(22－1)a2，a2＝， ＋＋a3＝3(23－1)a3，a3＝， ＋＋＋a4＝4(24－1)a4，a4＝， 猜想an＝. 答案 an＝ 5.觀察下列等式 1＝1， 3＋5＝8， 7＋9＋11＝27， 13＋15＋17＋19＝64， …， 請猜想第n個等式是________________________. 答案 (n2－n＋1)＋(n2－n＋3)＋…＋[n2－n＋(2n－1)]＝n3 6.求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*). 證明 (1)當n＝2時，左邊＝＋＋＋>，不等式成立. (2)假設n＝k (k≥2，k∈N*)時命題成立， 即＋＋…＋>， 則當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋ >＋ >＋＝， 所以當n＝k＋1時不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立. 綜合提高 7.用數(shù)學歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在驗證n＝1時，左端計算所得的項為( ) A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3 解析 當n＝1時，an＋1＝a2， ∴左邊應為1＋a＋a2，故選C. 答案 C 8.已知f(x)是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)，對于定義域內任意的k，若f(k)≥k2成立，則f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命題成立的是( ) A.若f(3)≥9成立，則對于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立 B.若f(4)≥16成立，則對于任意的k≥4，均有f(k)
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