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第8課時 正態(tài)分布
基礎達標(水平一)
1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是( ).
A.f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,μ,σ(σ>0)都是實數(shù)
B.f(x)=2π2πe-x22
C.f(x)=122πe-(x-1)24
D.f(x)=12πex22
【解析】通過觀察解析式的結構特征可知只有B選項符合正態(tài)分布密度函數(shù)解析式的特點.
【答案】B
2.如果隨機變量X~N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,那么P(0
3)=0.012,則P(-1≤ξ≤1)=( ).
A.0.976 B.0.024 C.0.488 D.0.048
【解析】因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),所以其正態(tài)曲線關于直線x=1對稱.又因為P(ξ>3)=0.012,所以P(ξ<-1)=P(ξ>3)=0.012,所以P(-1≤ξ≤1)=0.5-P(ξ<-1)=0.5-0.012=0.488.
【答案】C
5.若X~N(μ,σ2),且f(x)=Ae-x2-6x+92為X的正態(tài)分布密度函數(shù),則A= .
【解析】將給定的函數(shù)變形為f(x)=Ae-(x-3)22,對比正態(tài)分布密度函數(shù)的標準形式f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2(x∈R),可知μ=3,σ=1,故A=12π.
【答案】12π
6.據(jù)抽樣統(tǒng)計,在某市的公務員考試中,考生的綜合評分X服從正態(tài)分布N(60,102),考生共10000人.若一考生的綜合評分為80分,則該考生的綜合成績在所有考生中的名次是第 名.
【解析】依題意,P(60-2080)=12(1-0.9544)=0.0228,
所以成績高于80分的考生人數(shù)為100000.0228=228.
所以該考生的綜合成績在所有考生中的名次是第229名.
【答案】229
7.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(X2-3X+2<0)=0.432.求:
(1)P(X>0);
(2)P(X2≥X).
【解析】P(X2-3X+2<0)=P(10)=P(00)=0.568.
拓展提升(水平二)
8.設X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示,下列結論中正確的是( ).
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
【解析】由圖象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P(Y≥μ2)=12,P(Y≥μ1)>12,所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1),故B錯誤;
對任意正數(shù)t,P(X≥t)≤P(Y≥t),故C錯誤;
對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t),故選D.
【答案】D
9.一批電阻的阻值X(單位:Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52).若從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機抽取一個電阻,測得阻值分別為1011 Ω、982 Ω,則可以認為( ).
A.甲、乙兩箱電阻均可出廠
B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠
C.甲箱電阻可出廠,乙箱電阻不可出廠
D.甲箱電阻不可出廠,乙箱電阻可出廠
【解析】∵X~N(1000,52),∴μ=1000,σ=5,
∴μ-3σ=1000-35=985,
μ+3σ=1000+35=1015.
又1011∈(985,1015),982?(985,1015).
∴甲箱電阻可出廠,乙箱電阻不可出廠.
【答案】C
10.某燈管廠生產(chǎn)的新型節(jié)能燈管的使用壽命(單位:小時)為隨機變量Y,已知Y~N(1000,302),若要使燈管的平均壽命在1000小時的概率為99.74%,則燈管的最低壽命應控制在 小時.
【解析】因為P(μ-3σ1500,P(X≥x0)=0.15%,
因為P(X-1500≥x0-1500)
=1-P(|X-1500|
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隨機變量及其分布
第8課時
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