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第5章 數(shù)列 第2講
A組 基礎(chǔ)關(guān)
1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 ∵an＝1＋(n－1)2＝2n－1，∴Sn＋2－Sn＝36?an＋2＋an＋1＝36?2n＋3＋2n＋1＝36?n＝8，故選D.
2．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝49，則a2，a6的等差中項是( )
A. B．7 C．7 D.
答案 B
解析 由已知得S7＝＝7a4＝49，所以a4＝7.所以a2，a6的等差中項為＝a4＝7.
3．(2018西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若akak＋1<0，則正整數(shù)k＝( )
A．21 B．22 C．23 D．24
答案 C
解析 因為3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1＝15，公差為－.所以an＝15－(n－1)＝.
因為akak＋1<0，所以<0.
可化為(2k－45)(2k－47)<0，
解得
9)，若Sn＝336，則n的值為( )
A．18 B．19 C．20 D．21
答案 D
解析 由題意得S9＝9a5＝18，解得a5＝2，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得Sn＝＝＝(2＋30)＝336，解得n＝21.
7．等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由題意得，＝＝＝＝＝＝.
8．若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大．
答案 8
解析 根據(jù)題意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴當n＝8時，{an}的前n項和最大．
9．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.
答案 10
解析 因為S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，
則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝＝10.
10．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2014，－＝6，則S2018＝________.
答案 6054
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列．
設(shè)其公差為d，
則－＝6d＝6，
∴d＝1.
故＝＋2017d＝－2014＋2017＝3，
∴S2018＝32018＝6054.
B組 能力關(guān)
1．設(shè){an}是等差數(shù)列，則以下三個命題：
①若a2016＋a2017<0，則a2017＋a2018<0；
②若a2016＋a2018>0，則a2016＋a2017>0；
③若0.
其中正確的個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由①②不能判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，所以命題①②錯誤；由00，由等差數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式可知a2017＝>＝.故選B.
2．(2018銀川模擬)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝7，a6＝16，依次將等差數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣，則此數(shù)陣中，第10行從左到右的第5個數(shù)是________．
答案 148
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝＝＝3，an＝7＋(n－3)d＝3n－2.第10行從左到右第5個數(shù)是等差數(shù)列{an}中第1＋2＋…＋9＋5＝50項，即a50＝350－2＝148.
3．(2019合肥三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，若數(shù)列{}也是公差為d的等差數(shù)列，則an＝________.
答案?。?或n－
解析 由題意得，Sn＝na1＋n(n－1)
＝n2＋n.
Sn＋n＝n2＋n.
因為數(shù)列{}也是公差為d的等差數(shù)列．
所以設(shè) ＝dn＋B.
于是n2＋n＝(dn＋B)2(n∈N*)．
因此解得或
所以an＝－1或an＝n－.
4．(2018全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)設(shè){an}的公差為d，由題意，得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7，得d＝2.
所以{an}的通項公式為an＝2n－9.
(2)由(1)，得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以當n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16.
5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．
(1)證明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．
解 (1)證明：由題設(shè)，得anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
兩式相減，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
6．已知數(shù)列{an}滿足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；
(2)當a1＝2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解 (1)解法一：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，
解得d＝2，a1＝－.
解法二：在等差數(shù)列{an}中，
由an＋1＋an＝4n－3，得
an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，
∴d＝2.
又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－.
(2)由題意知，①當n為奇數(shù)時，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3
＝.
②當n為偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝.
綜上，Sn＝
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