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第二章 數(shù)列 章末檢測(cè)試卷(二) (時(shí)間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，則a5＝________. 考點(diǎn)　數(shù)列的遞推公式 題點(diǎn)　由遞推公式求項(xiàng) 答案　 解析　a3＝a2＋＝3＋1＝4，a4＝a3＋＝4＋＝，a5＝a4＋＝＋＝. 2．等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn)　等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題 答案　2 解析　∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5， ∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 3．公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則a5＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn)　利用項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題 答案　1 解析　∵a3a11＝a＝16，∴a7＝4，∴a5＝＝＝1. 4．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a2＋a8＋a11是一個(gè)定值，則{Sn}中也為定值的是________． 考點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　S13 解析　∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)為常數(shù)， ∴a1＋6d為常數(shù)． ∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也為常數(shù)． 5．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列的前11項(xiàng)和S11＝________. 考點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)運(yùn)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系 答案　88 解析　S11＝＝＝＝88. 6．等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項(xiàng)和為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　120 解析　由a5＝a2q3得q＝3. ∴a1＝＝3，S4＝＝＝120. 7．?dāng)?shù)列{(－1)nn}的前2017項(xiàng)和S2017＝________. 考點(diǎn)　數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn)　并項(xiàng)求和法 答案　－1009 解析　S2017＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2016－2017 ＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017) ＝(－1)＋(－1)1008＝－1009. 8．若{an}是等比數(shù)列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差數(shù)列，則q＝________. 考點(diǎn)　等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　等差等比基本量問(wèn)題綜合 答案　－1或2 解析　由題意得2a4＝a6－a5， 即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0， ∴q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0. ∴q＝－1或q＝2. 9．一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則它的公差是________． 考點(diǎn)　等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題 題點(diǎn)　等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題 答案　－4 解析　由題意，知a6≥0，a7<0. ∴ ∴－≤d<－. ∵d∈Z，∴d＝－4. 10．一個(gè)直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是________． 考點(diǎn)　等比中項(xiàng) 題點(diǎn)　利用等比中項(xiàng)解題 答案　 解析　設(shè)三邊為a，aq，aq2(q>1)， 則(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝. 較小銳角記為θ，則sinθ＝＝. 11．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合 答案　－1 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋k， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k) ＝3n－3n－1＝23n－1. 由題意知{an}為等比數(shù)列，所以a1＝3＋k＝2， 所以k＝－1. 12．某人為了觀看2018年世界杯足球賽，從2014年起，每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2018年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為_(kāi)_________． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 答案　[(1＋p)5－(1＋p)] 解析　設(shè)自2015年起每年到5月1日存款本息合計(jì)為a1，a2，a3，a4. 則a1＝a＋ap＝a(1＋p)， a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)， a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)， a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a ＝[(1＋p)5－(1＋p)]． 13．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5S8，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào)) ①d<0； ②a7＝0； ③S9>S5； ④S6與S7均為Sn的最大值． 考點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)運(yùn)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式問(wèn)題 答案　①②④ 解析　由S50. 又S6＝S7?a7＝0，所以d<0. 由S7>S8?a8<0， 因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9 ＝2(a7＋a8)<0， 即S915， 所以bn＝ (2)當(dāng)n＝4時(shí)，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝53.25. 當(dāng)5≤n≤21時(shí)，Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋…＋bn) ＝10n＋＋＋(n－4) ＝－n2＋17n－， 由Sn≥200得－n2＋17n－≥200， 即n2－68n＋843≤0，得34－≤n≤21. 所以結(jié)合實(shí)際情況，可知到2032年累積發(fā)放汽車牌照超過(guò)200萬(wàn)張． 19．(16分)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*. (1)設(shè)bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 考點(diǎn)　遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法 題點(diǎn)　an＋1＝pan＋f(n)型 (1)證明　由已知an＋1＝2an＋2n， 得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1. ∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1， ∴{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知，bn＝n，即＝bn＝n， ∴an＝n2n－1. ∴Sn＝1＋221＋322＋…＋n2n－1， 兩邊同時(shí)乘以2得 2Sn＝121＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n， 兩式相減得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n2n ＝2n－1－n2n＝(1－n)2n－1， ∴Sn＝(n－1)2n＋1. 20．(16分)已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)　數(shù)列綜合問(wèn)題 題點(diǎn)　數(shù)列與不等式的綜合 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由已知可得 解得或 故an＝3n－1或an＝－5(－1)n－1，n∈N*. (2)設(shè)Sm＝＋＋…＋， 若an＝3n－1，則＝n－1， 則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 從而Sm＝＝<<1. 若an＝－5(－1)n－1， 則＝－(－1)n－1， 故數(shù)列是首項(xiàng)為－，公比為－1的等比數(shù)列， 從而Sm＝故Sm<1. 綜上，對(duì)任何正整數(shù)m，總有Sm<1. 故不存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1成立．