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考點規(guī)范練4　簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞 一、基礎鞏固 1.下列命題中的假命題是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.?x∈R,ex>0 B.?x∈N,x2>0 C.?x∈R,ln x<1 D.?x∈N*,sinπx2=1 答案B 解析對于B,當x=0時,x2=0,因此B中命題是假命題. 2.若定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),則下列命題中一定為真命題的是(　　) A.?x∈R,f(-x)≠f(x) B.?x∈R,f(-x)=-f(x) C.?x0∈R,f(-x0)≠f(x0) D.?x0∈R,f(-x0)=-f(x0) 答案C 解析不是偶函數(shù)是對偶函數(shù)的否定,定義域為R的偶函數(shù)的定義:?x∈R,f(-x)=f(x),這是一個全稱命題,故它的否定為特稱命題:?x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故選C. 3.“對x∈R,關于x的不等式f(x)>0有解”等價于(　　) A.?x0∈R,使得f(x0)>0成立 B.?x0∈R,使得f(x0)≤0成立 C.?x∈R,f(x)>0成立 D.?x∈R,f(x)≤0成立 答案A 解析對x∈R,關于x的不等式f(x)>0有解,即不等式f(x)>0在實數(shù)范圍內(nèi)有解,故與命題“?x0∈R,使得f(x0)>0成立”等價. 4.若命題p:函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數(shù)y=x-1x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),則(　　) A.p∧q是真命題 B.p∨q是假命題 C.??p是真命題 D.??q是真命題 答案D 解析因為函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),所以p是真命題;因為函數(shù)y=x-1x的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命題.所以p∧q為假命題,p∨q為真命題,??p為假命題,??q為真命題. 5.下列命題中,正確的是(　　) A.命題“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x0∈R,x02-x0≥0” B.命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件 C.“若am2≤bm2,則a≤b”的否命題為真 D.若實數(shù)x,y∈[-1,1],則滿足x2+y2≥1的概率為π4 答案C 解析A項中的否定是“?x0∈R,x02-x0>0”,故A錯誤; B項中命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件,故B錯誤; D項中概率為4-π4,故D錯誤;故選C. 6.已知命題p:對任意x∈R,總有2x>x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要條件,則下列命題為真命題的是(　　) A.p∧q B.(??p)∧q C.p∧(??q) D.(??p)∧(??q) 答案D 解析命題p:對任意x∈R,總有2x>x2,它是假命題,例如取x=2時,2x與x2相等. q:由a>1,b>1?ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=12. ∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分條件,即q是假命題. ∴真命題是(??p)∧(??q),故選D. 7.已知p:x2+2x-3>0;q:x>a,且??q的一個充分不必要條件是??p,則a的取值范圍是(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-3] 答案A 解析由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1.由??q的一個充分不必要條件是??p,可知??p是??q的充分不必要條件,等價于q是p的充分不必要條件.故a≥1. 8.下列命題的否定為假命題的是(　　) A.?x0∈R,x02+2x0+2≤0 B.任意一個四邊形的四個頂點共圓 C.所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù) D.?x∈R,sin2x+cos2x=1 答案D 解析選項A中,命題的否定是“?x∈R,x2+2x+2>0”. 由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0對?x∈R恒成立,故為真命題; 選項B,C中的命題都是假命題,故其否定都為真命題; 而選項D中的命題是真命題,故其否定為假命題,故選D. 9.已知命題p:?x∈R,x31,故命題p為假命題; 若sinx-cosx=2sinx-π4=-2, 則x-π4=3π2+2kπ(k∈Z),即x=7π4+2kπ(k∈Z), 故命題q為真命題.因此(??p)∧q為真命題. 10.若“?x∈0,π4,tan x≤m”是真命題,則實數(shù)m的最小值為　　　　　. 答案1 解析∵?x∈0,π4,tanx∈[0,1], ∴m≥1.∴m的最小值為1. 11.下列結論: ①若命題p:?x0∈R,tan x0=2;命題q:?x∈R,x2-x+12>0.則命題“p∧(??q)”是假命題; ②已知直線l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,則l1⊥l2的充要條件是ab=-3; ③“設a,b∈R,若ab≥2,則a2+b2>4”的否命題為“設a,b∈R,若ab<2,則a2+b2≤4”. 其中正確結論的序號為　　　　　.(把你認為正確結論的序號都填上) 答案①③ 解析在①中,命題p是真命題,命題q也是真命題,故“p∧(??q)”為假命題是正確的.在②中,l1⊥l2?a+3b=0,而ab=-3 能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出ab=-3,故②不正確.在③中,“設a,b∈R,若ab≥2,則a2+b2>4”的否命題為“設a,b∈R,若ab<2,則a2+b2≤4”,正確. 二、能力提升 12.下列命題中的真命題是(　　) A.存在x0∈R,sin2x02+cos2x02=12 B.任意x∈(0,π),sin x>cos x C.任意x∈(0,+∞),x2+1>x D.存在x0∈R,x02+x0=-1 答案C 解析對于選項A,?x∈R,sin2x2+cos2x2=1,所以命題為假命題;對于選項B,存在x=π6,sinx=12,cosx=32,sinx0恒成立,所以命題為真命題;對于選項D,x2+x+1=x+122+34>0恒成立,所以不存在x0∈R,使x02+x0=-1,所以命題為假命題.故選C. 13.不等式組x+y≥1,x-2y≤4的解集記為D,有下面四個命題: p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1, 其中的真命題是(　　) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 答案B 解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示. 作直線l0:y=-12x,平移l0,當直線經(jīng)過A(2,-1)時,x+2y取最小值,此時(x+2y)min=0.故p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2為真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2為真.故選B. 14.已知命題p1:設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a,則f(x)在[0,2]上必有零點;p2:設a,b∈R,則“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要條件.則在命題q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(??p1)∨p2,q4:p1∧(??p2)中,真命題是(　　) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 答案C 解析p1:因為f(1)=-a,所以a+b+c=-a,即c=-b-2a. 又因為f(0)=c=-b-2a,f(2)=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b, 所以f(0)f(2)=(-b-2a)(2a+b)=-(b+2a)2≤0. 所以f(x)在[0,2]上必有零點,故命題p1為真命題. p2:設f(x)=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0, 畫出f(x)的圖象(圖象略)可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù). 所以當a>b時,有f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.反之也成立. 故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要條件,故命題p2為假命題.則q1:p1∨p2為真命題.q2:p1∧p2為假命題.q3:(??p1)∨p2為假命題.q4:p1∧(??p2)為真命題.故選C. 15.(2018云南昆明期中)由命題“存在x0∈R,使x02+2x0+m≤0”是假命題,求得m的取值范圍是(a,+∞),則實數(shù)a的值是　　　　　. 答案1 解析∵命題“存在x0∈R,使x02+2x0+m≤0”是假命題, ∴命題“?x∈R,x2+2x+m>0是真命題”, 故Δ=22-4m<0,即m>1,故a=1. 16.已知命題p:方程x2-mx+1=0有實數(shù)解,命題q:x2-2x+m>0對任意x恒成立.若命題q∨(p∧q)為真,??p為真,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　　. 答案(1,2) 解析因為??p為真,所以p為假.所以p∧q為假. 又q∨(p∧q)為真,所以q為真,即命題p為假、q為真. 命題p為假,即方程x2-mx+1=0無實數(shù)解,此時m2-4<0,解得-21. 故所求的m的取值范圍是10,則??p:?x∈R,x2-x-1<0 C.若p∧q為假命題,則p,q均為假命題 D.“若α=π6,則sin α=12”的否命題是“若α≠π6,則sin α≠12” 答案D 解析對于A,函數(shù)f(x)=1x是定義域上的奇函數(shù),但f(0)不存在,故A不正確; 對于B,若p:?x0∈R,x02-x0-1>0,則??p:?x∈R,x2-x-1≤0,故B不正確; 對于C,若p∧q為假命題,則p,q至少有一個假命題,故C不正確; 對于D,“若α=π6,則sinα=12”的否命題是“若α≠π6,則sinα≠12”,故D正確.