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解答題標準練(二) 1．(2018濟南模擬)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，＝. (1)求BM的長； (2)設D是平面ABC內(nèi)一動點，且滿足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范圍． 解　(1)在△ABC中， AB2＝AC2＋BC2 －2ACBCcos C. 代入數(shù)據(jù)得cos C＝－. ∵＝， ∴CM＝MA＝AC＝1. 在△CBM中，由余弦定理知， BM2＝CM2＋CB2 －2CMCBcos C， 代入數(shù)據(jù)得BM＝. (2)設∠DBM＝θ，則∠DMB＝－θ，θ∈. 在△BDM中，由正弦定理知， ＝＝＝， ∴BD＝sin，MD＝sin θ， ∴BD＋MD＝sin＋sin θ ＝＝cos θ. 又θ∈，∴cos θ∈， ∴BD＋MD的取值范圍為. 2．(2018合肥模擬)某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項質量指標存在問題．該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測出它們的這一項質量指標值．若該項質量指標值落在[195,210)內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表 1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖． 表1：甲流水線樣本的頻數(shù)分布表： 質量指標值 頻數(shù) [190,195) 2 [195,200) 13 [200,205) 23 [205,210) 8 [210,215] 4 (1)若將頻率視為概率，某個月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了6萬件產(chǎn)品，則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？ (2)在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機抽取兩件，求兩件不合格品的質量指標值均偏大的概率； (3)根據(jù)已知條件完成下面22列聯(lián)表，并判斷在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下能否認為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩條流水線的選擇有關”？ 甲流水線 乙流水線 總計 合格品 不合格品 總計 附：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d). P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)由甲、乙兩條流水線各抽取50件產(chǎn)品可知， 甲流水線生產(chǎn)的不合格品有6件， 則甲流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率 P甲＝＝. 乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率 P乙＝(0.016＋0.032)5＝. 于是，若某個月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了6萬件產(chǎn)品， 則甲、乙兩條流水線生產(chǎn)的不合格品分別為 60 000＝7 200(件)，60 000＝14 400(件)． (2)在甲流水線抽取的樣本中，不合格品共有6件， 其中質量指標值偏小的有2件，記為A，B； 質量指標值偏大的有4件，記為C，D，E，F(xiàn)， 則從中任選2件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種結果， 其中質量指標值都偏大有6種結果， 故所求概率P＝＝. (3)22列聯(lián)表如下： 甲流水線 乙流水線 總計 合格品 44 38 82 不合格品 6 12 18 總計 50 50 100 則K2＝≈2.439<2.706， 所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下不能認為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩條流水線的選擇有關”． 3．(2018濰坊模擬)如圖所示五面體ABCDEF，四邊形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，點G為AC的中點． (1)在AD上是否存在一點H，使GH∥平面BCD？若存在，指出點H的位置并給出證明；若不存在，請說明理由； (2)求三棱錐G－ECD的體積． 解　(1)存在點H，H為AD的中點． 證明如下： 連接GH，在△ACD中， 由三角形中位線定理可知GH∥CD， 又GH?平面BCD，CD?平面BCD， ∴GH∥平面BCD. (2)由題意知AD∥CF，AD?平面ADEB，CF?平面ADEB， ∴CF∥平面ADEB， 又CF?平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE， ∴CF∥BE， ∴VG－ECD＝VE－GCD＝VB－GCD， ∵四邊形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝， ∴∠ACD＝. 又∵CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF， ∴CD＝，CG＝. 又BC⊥平面ACFD， ∴VB－GCD＝CGCDBC ＝1＝， ∴三棱錐G－ECD的體積為. 4．(2018廈門質檢)過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點，直線l2與E交于C，D兩點．當直線l1的斜率為0時，|AB|＝4，|CD|＝2. (1)求橢圓E的方程； (2)求四邊形ABCD面積的取值范圍． 解　(1)由已知得a＝＝2， 將x＝c代入＋＝1，得y＝， 所以|CD|＝＝＝2，所以b2＝4， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)①當直線l1，l2其中一條的斜率為0， 另一條的斜率不存在時， S四邊形ACBD＝|AB||CD|＝42＝8. ②當兩條直線的斜率均存在時，設直線AB的方程為x＝my＋2， 則直線CD的方程為x＝－y＋2. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(m2＋2)y2＋4my－4＝0， Δ＝16m2＋16(m2＋2)＝32(m2＋1)， |y1－y2|＝＝， |AB|＝|y1－y2|＝， (或y1＋y2＝，y1y2＝，|AB|＝＝) 用－取代m，得|CD|＝＝， ∴S四邊形ACBD＝|AB||CD|＝ ＝16＝8 ＝8－， 又2m2＋≥4，當且僅當m＝1時取等號， 所以2m2＋∈， 所以S四邊形ACBD＝8－∈. 綜上，四邊形ACBD面積的取值范圍是. 5．(2018葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a，b∈R，且a≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)若曲線f(x)在點(e，f(e))處的切線斜率為0，且f(x)有極小值，求實數(shù)a的取值范圍； (2)當a＝b＝1時，證明：xf(x)＋2<0. (1)解　因為f(x)＝(x>0)， 所以f′(x)＝， 因為f′(e)＝0，所以b＝0，則f′(x)＝， 當a>0時， f′(x)在(0，e)內(nèi)大于0，在(e，＋∞)內(nèi)小于0， f(x)在(0，e)內(nèi)為增函數(shù)，在(e，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)， 即f(x)有極大值而無極小值； 當a<0時，f(x)在(0，e)內(nèi)為減函數(shù)， 在(e，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，即f(x)有極小值而無極大值． 所以a的取值范圍為(－∞，0)． (2)證明　當a＝b＝1時， 設g(x)＝xf(x)＋2＝ln x－ex＋2(x>0)， g′(x)＝－ex在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)， 因為g′(1)＝1－e<0，g′＝2－>0， 所以存在實數(shù)x0∈， 使得g′(x0)＝－＝0， 此時g(x)在區(qū)間(0，x0)上為增函數(shù)， 在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數(shù)， 因為g′(x0)＝－＝0， 所以＝，x0＝－ln x0. 由單調性知， g(x)max＝g(x0)＝ln x0－＋2＝－＋2， 因為x0∈，所以－<－2. 所以g(x)max<0，即xf(x)＋2<0. 6．(2018廈門模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：＋y2＝1，曲線C2：(φ為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)射線l的極坐標方程為θ＝α(ρ≥0)，若l分別與C1，C2交于異于極點的A，B兩點，求的最大值． 解　(1)C1：x2＋4y2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 故C1的極坐標方程為ρ2(3sin2θ＋1)＝4. C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 故C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (2)直線l分別與曲線C1，C2聯(lián)立， 得到 則|OA|2＝， 則|OB|2＝16cos2α， ∴＝4cos2α(3sin2α＋1) ＝(4－4sin2α)(3sin2α＋1)． 令t＝sin2α(t∈[0,1])， 則＝(4－4t)(3t＋1)＝－12t2＋8t＋4， ∴當t＝時，取得最大值， 即sin α＝時，有最大值. 7．(2018江西省重點中學協(xié)作體聯(lián)考)設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋2|x－a|. (1)若a＝2，試求f(x)≥6的解集； (2)若a>0，且關于x的不等式f(x)<有解，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由a＝2得，① 得x≤－； ②無解； ③得x≥， 綜上，不等式的解集為∪. (2)f(x)＝ 要使f(x)<有解， 則只需2a＋1<，即a<－.