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第Ⅰ篇 高考專題講練 方法篇
角度一 特值(例)排除法
特例法是根據(jù)題設(shè)和各選項的具體情況和特點,選取滿足條件的特殊的數(shù)值、特殊的點、特殊的例子、特殊的圖形、特殊的位置、特殊的函數(shù)、特殊的方程、特殊的數(shù)列等,針對各選項進(jìn)行代入對照,結(jié)合排除法,從而得到正確的答案.
(1)使用前提:滿足當(dāng)一般性結(jié)論成立時,對符合條件的特殊化情況也一定成立;
(2)使用技巧:找到滿足條件的合適的特殊化例子,或舉反例排除,有時甚至需要兩次或以上的特殊化例子才可以確定結(jié)論;
(3)常見問題:求范圍、比較大小、求值或取值范圍、恒成立問題、任意性問題等.而對于函數(shù)圖像的判別、不等式、空間線面位置關(guān)系等不宜直接求解的問題,常通過排除法解決.
示例
解法關(guān)鍵
[2018全國卷Ⅰ] 圖F1-1來自古希臘數(shù)學(xué)家希波
圖F1-1
克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則 ( )
A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3
不妨設(shè)三角形ABC為等腰直角三角形,過A作AO垂直BC于O,則區(qū)域Ⅰ,Ⅱ的面積相等.答案選A
[2017全國卷Ⅰ] 函數(shù)y=sin2x1-cosx的部分圖像大致為 ( )
圖F1-2
取特殊值x=1,x=π,結(jié)合函數(shù)的奇偶性進(jìn)行排除,答案選C
[2017全國卷Ⅰ] 已知α∈0,π2,tanα=2,則cosα-π4= .
取角α終邊上特殊點(1,2)利用定義代入計算,答案:31010
[2017全國卷Ⅰ] 函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是 ( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
當(dāng)x=4時,
f(x-2)=f(2)
b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是 ( )
A.a+1bb|b|,則下列不等式一定成立的是 ( )
A.a3>b3 B.a2>b2
C.1a<1b D.log12|a|1.若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使f(x1)=f(x2),則實數(shù)a的取值范圍為 ( )
A.a<2 B.3b>0)的離心率為32,過橢圓上一點M作直線MA,MB分別交橢圓于A,B兩點,且斜率分別為k1,k2,若點A,B關(guān)于原點對稱,則k1k2的值為 .
角度二 驗證法
驗證法是把選擇支代入題干中進(jìn)行檢驗,或反過來從題干中找合適的驗證條件,代入各選擇支中進(jìn)行檢驗,從而可否定錯誤選擇支而得到正確選擇支的一種方法.
(1)使用前提:選項中存在唯一正確的選擇支.
(2)使用技巧:可以結(jié)合特例法、排除法等先否定一些明顯錯誤的選項,再選擇直覺認(rèn)為最有可能的選項進(jìn)行驗證,這樣可以快速獲取答案.
(3)常見問題:題干信息不全,選項是數(shù)值或范圍,正面求解或計算繁瑣的問題等.
示例
解法關(guān)鍵
[2018全國卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2,則 ( )
A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3
B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4
C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3
D.f(x)的最小正周期為2π,最大值為4
當(dāng)sinx=0,cosx=1時,函數(shù)值為4,所以A,C錯;把x+π代入函數(shù)驗證可得f(x+π)=f(x),說明D錯,故選B
[2018全國卷Ⅲ] 下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對稱的是 ( )
A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
函數(shù)y=lnx的圖像過定點(1,0),而(1,0)關(guān)于直線x=1的對稱點還是(1,0),將(1,0)代入各選項,驗證可知只有B滿足,故選B
[2017全國卷Ⅰ] 設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
選取四個選項的差異值m=3,m=4代入驗證,答案選A
[2014全國卷Ⅰ] 若tanα>0,則 ( )
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin2α>0 D.cos2α>0
令α=240逐個驗證選項,答案選C
[2014全國卷Ⅰ] 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
取特殊函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2進(jìn)行驗證排除,答案選C
測題
1.函數(shù)f(x)=xex+lgx-10的零點所在的區(qū)間為 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6(其中ω>0)的圖像的一條對稱軸方程為x=π12,則ω的最小值為 ( )
A.2 B.4 C.10 D.16
3.已知定義域為I的偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且?x0∈I,f(x0)<0,則下列函數(shù)中符合上述條件的是 ( )
A.f(x)=x2-|x| B.f(x)=2x-2-x
C.f(x)=log2|x| D.f(x)=x-43
4.已知函數(shù)f(x)=-x3-7x+sinx,若f(a2)+f(a-2)>0,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,3)
C.(-1,2) D.(-2,1)
角度三 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的答案,解答又不需提供過程,因此可以通過猜測、合情推理、估算而獲得答案.這樣往往可以減少運算量,加強思維的層次.估算省去了很多推導(dǎo)過程和復(fù)雜的計算,節(jié)省了時間,從而顯得快捷.
(1)使用前提:針對一些復(fù)雜的、不易準(zhǔn)確求值的與計算有關(guān)的問題.常與特值法結(jié)合起來使用.
(2)使用技巧:對于數(shù)值計算常采用放縮估算、整體估算、近似估算、特值估算等,對于幾何體問題,常進(jìn)行分割、拼湊、位置估算.
(3)常見問題:求幾何體的表面積、體積,三角函數(shù)的求值,求雙曲線、橢圓的離心率,求參數(shù)的范圍等.
示例
解法關(guān)鍵
[2018全國卷Ⅲ] 設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為 ( )
A.123 B.183
C.243 D.543
等邊三角形ABC的面積為93,顯然球心不是此三角形的中心,所以三棱錐體積最大時,三棱錐的高h(yuǎn)∈(4,8),所以13934b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
a=log2e>1,b=ln2=1log2e∈(0,1),c=log1213=log23>log2e,據(jù)此可得c>a>b,故選D
[2017全國卷Ⅲ] 函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值為 ( )
A.65 B.1
C.35 D.15
當(dāng)x=π6時,f(x)=65大于1,故選A
[2017全國卷Ⅱ] 若a>1,則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是 ( )
A.(2,+∞) B.(2,2)
C.(1,2) D.(1,2)
用a表示離心率e的表達(dá)式,根據(jù)a>1,估算e的取值范圍,答案選C
測題
1.某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖F3-1),它由腰長為1,頂角為α的四個等腰三角形,及其底邊構(gòu)成的正方形所組成,該八邊形的面積為 ( )
圖F3-1
A.2sinα-2cosα+2
B.sinα-3cosα+3
C.3sinα-3cosα+1
D.2sinα-cosα+1
2.P為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上的一點,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為 ( )
A.a
B.b
C.a2+b2
D.a+b-a2+b2
3.sin1,sin2,sin3的大小關(guān)系為 ( )
A.sin1>sin2>sin3
B.sin2>sin1>sin3
C.sin3>sin2>sin1
D.sin2>sin3>sin1
4.若0<α<β<π4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,則 ( )
A.ab
C.ab<1
D.ab>2
角度四 構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的解題方法,它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的發(fā)散、類比、轉(zhuǎn)化思想.利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、方程或幾何圖形等,從而簡化推理與計算過程,使較復(fù)雜或不易求解的數(shù)學(xué)問題得到簡捷解答.
構(gòu)造法來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累,需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括,積極聯(lián)想,橫向類比,從曾經(jīng)類似的問題中找到構(gòu)造的靈感.
(1)使用前提:構(gòu)造的函數(shù)、方程、圖形等要合理,不能超越原題的條件限制.
(2)使用技巧:對于不等式、方程、函數(shù)問題常構(gòu)造新函數(shù),對于不規(guī)則的幾何體常構(gòu)造成規(guī)則的幾何體處理.
(3)常見問題:比較大小、函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題、不規(guī)則的幾何體問題等.
示例
解法關(guān)鍵
[2018全國卷Ⅱ] 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 ( )
A.15 B.56 C.55 D.22
在長方體ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1一側(cè)再補添一個完全一樣的長方體ABC2D2-A1B1B2A2,求△AB2D1中∠D1AB2的余弦值即可,答案選C
[2016全國卷Ⅱ]α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m?α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.
其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號)
構(gòu)造正方體,將正方體中的有關(guān)棱與面看作問題中的有關(guān)直線與平面,逐一判斷,答案:②③④
[2016全國卷Ⅰ] 若a>b>0,0cb
構(gòu)造函數(shù)y=logcx,y=cx和y=xc,利用函數(shù)的單調(diào)性可解決,答案選B
[2015全國卷Ⅱ] 設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時,xf(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)x,對g(x)求導(dǎo)再解,答案選A
[2015全國卷Ⅱ] 設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn= .
由an+1=Sn+1-Sn,將原等式變形,再構(gòu)造等差數(shù)列1Sn求解,答案:-1n
測題
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S5=7,S10=21,則S15= ( )
A.35 B.42
C.49 D.63
2.已知a>b>0,則下列不等式中成立的是 ( )
A.1a>1b B.log2ab-12
3.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖F4-1,在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為 ( )
圖F4-1
A.12 B.-12
C.32 D.-32
4.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x),且對任意x∈R都有f(x)>f(x)成立,則 ( )
A.3f(ln2)>2f(ln3)
B.3f(ln2)=2f(ln3)
C.3f(ln2)<2f(ln3)
D.3f(ln2)與2f(ln3)的大小關(guān)系不確定
5.在△ABC中,a2+c2-b2-3ac=0,則3cosA+cosC的最大值為 .
選填題的特殊解法
角度一
1.A [解析] 利用排除法:a=-1,b=-2時,a2>b2與log12|a|1,f(-1)=f(1)=-1,故a=0符合題意,排除B,D選項.當(dāng)a=4時,若x≤1,則f(x)≤3,若x>1,則f(x)>2,顯然存在x1≤1,x2>1,滿足f(x1)=f(x2),故a=4符合題意,排除A選項.故選C.
5.-14 [解析] 不妨設(shè)M為橢圓的上頂點(0,b),A(-a,0),B(a,0)分別為橢圓的左、右頂點,顯然滿足題意,所以k1k2=-baba=-a2-c2a2=-1+e2=-14.
角度二
1.B [解析]f(x)=xex+lg x-10在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)<0,f(2)>0,∴函數(shù)f(x)=xex+lg x-10的零點所在的區(qū)間為(1,2),故選B.
2.B [解析] 若ω=2,當(dāng)x=π12時,有fπ12=sin2π12+π6=32,不符合題意;若ω=4,當(dāng)x=π12時,有fπ12=sin4π12+π6=1,符合題意.所以ω的最小值為4.
3.C [解析] 函數(shù)f(x)=x2-|x|的圖像關(guān)于y軸對稱,但在0,12上單調(diào)遞減,在12,+∞上單調(diào)遞增,不滿足題意;函數(shù)f(x)=2x-2-x的圖像關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),不滿足題意;函數(shù)f(x)=x-43=13x4>0,即函數(shù)f(x)的值域為(0,+∞),不滿足題意.故選C.
4.D [解析] 若a=1,則f(a2)+f(a-2)=f(1)+f(-1)=0,不滿足f(a2)+f(a-2)>0,所以排除選項B,C;若a=-2,則f(a2)+f(a-2)=f(4)+f(-4)=0,也不滿足f(a2)+f(a-2)>0,所以排除A選項.故選D.
角度三
1.A [解析] 當(dāng)頂角α→π2或α→π時,八邊形的班徽趨近于邊長為2的正方形,面積趨近于4.四個選項中,只有A符合,故選A.
2.A [解析] 如圖,當(dāng)點P沿雙曲線無限接近右頂點時,△PF1F2的內(nèi)切圓越來越小,直至“點圓”,此“點圓”應(yīng)為雙曲線的右頂點,則內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為a,故選A.
3.B [解析] 因為sin 1=sin(π-1),π2<2<π-1,正弦函數(shù)在π2,π上單調(diào)遞減,所以sin 2>sin(π-1),即sin 2>sin 1;因為π2<2<3<π,正弦函數(shù)在π2,π上單調(diào)遞減,所以sin 2>sin 3;
因為sin 1=sin(π-1),π2<π-1<3<π,正弦函數(shù)在π2,π上單調(diào)遞減,所以sin(π-1)>sin 3,
即sin 1>sin 3.綜上所述,sin 2>sin 1>sin 3.
4.A [解析] 若α→0,則sin α+cos α=a→1;若β→π4,則sin β+cos β=b→2.結(jié)合選項分析選A.
角度四
1.B [解析] 構(gòu)造新數(shù)列.在等差數(shù)列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列,即7,14,S15-21成等差數(shù)列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.
2.C [解析] 構(gòu)造函數(shù).因為a>b>0,所以1a<1b;因為y=log2x為增函數(shù),所以log2a>log2b;因為y=x-12在(0,+∞)上為減函數(shù),所以a-12f(x)成立,所以g(x)>0,即g(x)在R上單調(diào)遞增.又ln 2
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