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1,二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 Binomial Distribution and It’s Applications,2,主要內(nèi)容,預(yù)備知識(shí) 二項(xiàng)分布的概率 二項(xiàng)分布的性質(zhì) 二項(xiàng)分布的圖形 二項(xiàng)分布的應(yīng)用 率的區(qū)間估計(jì) 兩個(gè)樣本率的比較 樣本率與總體率的比較 二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件,3,預(yù)備知識(shí),隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)事件 獨(dú)立事件 乘法法則 互不相容事件 加法法則 二項(xiàng)展開式,4,隨機(jī)試驗(yàn),任何一個(gè)試驗(yàn),滿足： 可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 每次試驗(yàn)得到多個(gè)結(jié)果； 每次試驗(yàn)前不能肯定這次試驗(yàn)將得到什么結(jié)果,隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果叫做隨機(jī)事件,5,互不相容事件,在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生稱互不相容事件。P（A+B）=P（A）+P（B） 加法法則A、B為互不相容事件 “A+B” 表示A發(fā)生/B發(fā)生P（A+B）表示A發(fā)生/B發(fā)生的概率,6,獨(dú)立事件,一個(gè)事件發(fā)生的概率不受另外一個(gè)事件發(fā)生與否的影響。P（A·B）=P（A）· P（B） 乘法法則P（A·B）A發(fā)生并且B發(fā)生,7,二項(xiàng)展開式,,,8,在醫(yī)學(xué)上一些事物，其結(jié)局只有兩種互相對(duì)立的結(jié)果。如:在毒理試驗(yàn)中，動(dòng)物的生存與死亡；在動(dòng)物誘癌試驗(yàn)中，動(dòng)物的發(fā)癌與不發(fā)癌；在流行病學(xué)觀察中，接觸某危險(xiǎn)因素的個(gè)體發(fā)病與不發(fā)病；在臨床治療中，病人的治愈與未愈；理化檢驗(yàn)結(jié)果的陰性與陽性等等，均表現(xiàn)為兩種互相對(duì)立的結(jié)果，每個(gè)個(gè)體的觀察結(jié)果只能取其中之一。對(duì)這類事物常用二項(xiàng)分布(binomial distribution)進(jìn)行描述。,9,,設(shè)小白鼠接受某種毒物一定劑量時(shí)，其死亡率為?=80％，則對(duì)于每只小白鼠而言，其死亡概率為?=0.8，生存概率為1-?=0.2。若每組各用三只小白鼠(分別計(jì)為甲、乙、丙)，對(duì)每只鼠獨(dú)立做實(shí)驗(yàn)，故各鼠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(生存或死亡)是互不影響的。觀察每組小白鼠存亡情況，如果計(jì)算生與死的順序，則共有8種排列方式；如果只計(jì)生存與死亡的數(shù)目，則只有4種組合方式。,10,三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計(jì)算,,,,11,,( 0.2 +0.8 )3 = (0.2)3+3×(0.2)2×(0.8)+3×(0.2)×(0.8)2+(0.8)3三生 二生一死 一生二死 三死,,,,,,,,12,1. 二項(xiàng)分布的概率,從陽性率為π的總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，恰有X例陽性的概率為：X=0,1,2,…,n 則稱X服從參數(shù)為n和?的二項(xiàng)分布（Binomial Distribution)，記為：X～B(n,?)。其中參數(shù) n由實(shí)驗(yàn)者確定，而?常常是未知的。,,13,2.1 二項(xiàng)分布的性質(zhì)：均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,若X～B(n,?)，則,14,,若均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對(duì)數(shù)而用率表示時(shí),15,2.2 二項(xiàng)分布的性質(zhì) ：累積概率,累計(jì)概率(cumulative probability) 從陽性率為?的總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體，則 最多有k例陽性的概率：最少有k例陽性的概率： Ｘ=0，1，2，…，k，…，n。,,,,16,遞推公式,17,例 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85％，今有5個(gè)患者用該藥治療，問：① 至少3人有效的概率為多少？② 最多1人有效的概率為多少？本例? =0.85，l-? =0.15，n =5，① 至少3人有效的概率 P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5) =0.138178125＋0.391504688＋0.443705313 =0.973388126,18,② 最多1人有效的概率為：,P(X≤1),19,2.3 二項(xiàng)分布性質(zhì),在n足夠大時(shí)，樣本率近似服從正態(tài)分布； 樣本率p的均數(shù)等于π； 樣本率p的標(biāo)準(zhǔn)差（率的標(biāo)準(zhǔn)誤）,20,3. 二項(xiàng)分布的圖形,正態(tài)分布或其它連續(xù)性分布中，常用分布曲線下的面積表示某區(qū)間的概率； 在二項(xiàng)分布中，則用線段的長(zhǎng)短表示取某變量值時(shí)的概率； 以X為橫坐標(biāo)，以P(X)為縱坐標(biāo)作圖，即可繪出二項(xiàng)分布的圖形； 由圖可見，給定n后，二項(xiàng)分布的形狀取決參數(shù)?的大小。,21,3. 二項(xiàng)分布的圖形,,22,二項(xiàng)分布的圖形,當(dāng)?=0.5時(shí)，分布對(duì)稱；當(dāng)? ?0.5，分布呈偏態(tài)；當(dāng)?0.5時(shí)分布呈負(fù)偏態(tài)；特別是當(dāng)n值不是很大時(shí)，?偏離0.5愈遠(yuǎn)，分布愈偏。 隨著n的增大，二項(xiàng)分布逐漸逼近正態(tài)分布。如? =0.30，n=5和n=10時(shí)，圖形呈偏態(tài)，當(dāng)n=30時(shí)，圖形已接近正態(tài)分布。一般地說，如果n?或n(1-?)大于5時(shí)，?？捎谜龖B(tài)近似原理處理二項(xiàng)分布問題。,23,4.1 二項(xiàng)分布的應(yīng)用：區(qū)間估計(jì),精確概率法，查表法，適用于n≤50時(shí)； 正態(tài)近似法，適用于n較大，p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5時(shí)。此時(shí)總體率的1-α可信區(qū)間如下,24,二項(xiàng)分布的應(yīng)用：區(qū)間估計(jì),總體率的可信區(qū)間是不對(duì)稱的，除非π＝0.5； 隨著樣本含量n的增加，不對(duì)稱性逐漸改善； 隨著樣本含量n的增加，可信區(qū)間的寬度逐漸變?。?對(duì)于相同的樣本含量， π越接近0.5，區(qū)間越寬， π越接近0或1，區(qū)間越窄。,25,4.2 二項(xiàng)分布的應(yīng)用：率的假設(shè)檢驗(yàn),樣本率與總體率的比較 直接計(jì)算概率法 樣本含量較小時(shí)，或樣本率較小時(shí)，如 np和n(1-p)均小于5 正態(tài)近似法,26,二項(xiàng)分布的應(yīng)用：率的假設(shè)檢驗(yàn),新生兒染色體異常率0.01，隨機(jī)抽取某地400名新生兒中有1名異常，問該地異常率是否低于一般？ H0： ?＝0.01; H1： ?α,不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該地異常率低于一般。,27,二項(xiàng)分布的應(yīng)用：率的假設(shè)檢驗(yàn),兩樣本率的比較 正態(tài)近似法 當(dāng)n1,n2均較大，p1,p2,(1-p1),(1-p2)均不太小，如n1p1,n2p2,n1(1-p1),n2(1-p2)均大于5時(shí)，可用u檢驗(yàn)。,28,二項(xiàng)分布的應(yīng)用：率的假設(shè)檢驗(yàn),肺吸蟲感染率：男生23（80），女生13（85），二者是否有差別？ H0:π1 = π2; H1: π1 ≠ π2; α=0.05 n1=80,n1p1=23,n2=85,n2p2=13,pc=(23+13)/(80+85)=0.2182查u界值表，p0.05，不拒絕H0，尚不能認(rèn)為男女肺吸蟲感染率不同,29,5. 二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件,每一次試驗(yàn)必然出現(xiàn)兩種互相對(duì)立的結(jié)果之一； 每種結(jié)果都有相同的可能性出現(xiàn)，即某事件出現(xiàn)的概率不變； n次試驗(yàn)的條件完全相同，n個(gè)觀察對(duì)象同質(zhì)且必須互相獨(dú)立。,