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1 3 3事故樹的定性分析 2 教學(xué)目的與要求 1 掌握事故樹分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù) 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)2 熟悉事故樹的化簡3 掌握最小割集 最小徑集的幾種求法 3 一 布爾代數(shù)的基本知識 1 邏輯運算邏輯運算的對象是命題邏輯運算的基本運算有三種 即邏輯加 邏輯乘 邏輯非 4 a 邏輯加 給定兩個命題A B 對它們進行邏輯運算后構(gòu)成的新命題為S 若A B兩者有一個成立或同時成立 S就成立 否則S不成立 則這種A B間的邏輯運算叫做邏輯加 也叫 或 運算 構(gòu)成的新命題S 叫做A B的邏輯和 記作A B S或記作A B S 均讀作 A B 邏輯加相當(dāng)于集合運算中的 并集 根據(jù)邏輯加的定義可知 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 5 給定兩個命題A B 對它們進行邏輯運算后構(gòu)成新的命題P 若A B同時成立 P就成立 否則P不成立 則這種A B間的邏輯運算 叫做邏輯乘 也叫 與 運算 構(gòu)成的新命題P叫做A B的邏輯積 記作A B P 或記作A B P 也可記作AB P 均讀作A乘B 邏輯乘相當(dāng)于集合運算中的 交集 根據(jù)邏輯乘的定義可知 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 b 邏輯乘 6 給定一個命題A 對它進行邏輯運算后 構(gòu)成新的命題為F 若A成立 F就不成立 若A不成立 F就成立 這種對A所進行的邏輯運算 叫做命題A的邏輯非 構(gòu)成的新命題F叫做命題A的邏輯非 A的邏輯非記作 讀作 A非 邏輯非相當(dāng)于集合運算的求 補集 根據(jù)邏輯非的定義 可以知道 0 1 1 0 c 邏輯非 7 2 邏輯運算的常用法則 定理1 A 對合律 定理2 A B B A AB BA 交換律 定理3 A B C A B CA BC AB C 結(jié)合律 定理4 A BC A B A C A B C AB AC 分配律 定理5 A A A A A A 等冪律 推論 A A A A A A A A 8 定理6 A 1 A 0定理7 A 0 A A 1 A定理8 A 1 1 A 0 0定理9 A AB AA A B A 吸收律 在事故樹分析中 A AB A A A A 和 A A A 幾個法則用得較多 9 二 概率論的基本知識 1 相互獨立事件一個事件發(fā)生與否不受其他事件的發(fā)生與否的影響 假定有A1 A2 A3 An個事件 其中每一個事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響 則稱A1 A2 A3 An為獨立事件 10 不能同時發(fā)生的事件 一個事件發(fā)生 其他事件必然不發(fā)生 它們之間互相排斥 互不相容 假定有A1 A2 A3 An個事件 A1發(fā)生時 A2 A3 An必然不發(fā)生 A2發(fā)生時 A1 A3 An事件必須不發(fā)生 則A1 A2 A3 An事件稱為互斥事件 2 相互排斥事件 11 一個事件發(fā)生與否受其他事件的約束 即在其他事件發(fā)生的條件下才發(fā)生的事件 設(shè)A B兩事件 B事件只有在A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生 反之亦然 則A B事件稱為相容事件 在事故樹分析中 遇到的基本事件大多數(shù)是獨立事件 3 相容事件 12 4 n個獨立事件的概率和其計算公式是 P A1 A2 A3 An 1 1 P A1 1 P A2 1 P A3 1 P An 式中 P為獨立事件的概率 13 5 n個獨立事件的概率積其計算公式是 P A1 A2 A3 An P A1 P A2 P A3 P An 14 三 事故樹分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1 事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)是描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù) 它完全取決于元 部件的狀態(tài) 通常假定任何時間 元 部件和系統(tǒng)只能取正常或故障兩種狀態(tài) 并且任何時刻系統(tǒng)的狀態(tài)由元 部件狀態(tài)唯一決定 假設(shè)系統(tǒng)由n個單元 即元 部件 組成 且下列二值變量xi對應(yīng)于各單元的狀態(tài)為 結(jié)構(gòu)函數(shù) 描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù) 15 y X 或y x1 x2 xn X 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù) 16 與門結(jié)構(gòu) 與門的結(jié)構(gòu)函數(shù) 只有所有基本事件發(fā)生時 頂上事件才發(fā)生 根據(jù)布爾代數(shù)運算法則 它是邏輯 與 邏輯乘 的關(guān)系 其邏輯式為 這就是與門結(jié)構(gòu)函數(shù) 用代數(shù)算式表示為 式中 中取最小值 即只要有一個最小的 0 正常 則整個系統(tǒng)為 0 正常 17 或門的結(jié)構(gòu)函數(shù) 或門結(jié)構(gòu) 只要有一個或一個以上基本事件發(fā)生時 頂上事件就發(fā)生 根據(jù)布爾代數(shù)運算法則 它是邏輯 或 邏輯加 的關(guān)系 其邏輯式為 當(dāng)僅取0 1二值時 結(jié)構(gòu)函數(shù)可寫成 式中 從 中取最大值 即只要其中有一個最大的 1 故障 整個系統(tǒng)就為 1 故障 這就是或門結(jié)構(gòu)函數(shù) 用代數(shù)算式表示為 18 復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)由與門和或門組成的事故樹 根據(jù)邏輯乘與邏輯加的關(guān)系 可以寫出其結(jié)構(gòu)函數(shù) 則其結(jié)構(gòu)函數(shù)為 19 2 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是指系統(tǒng)中任一組成單元的狀態(tài)由正常 故障 變?yōu)楣收?正常 而不會使系統(tǒng)的狀態(tài)由故障 正常 變?yōu)檎?故障 的系統(tǒng) 也就是說 系統(tǒng)每個元 部件對系統(tǒng)的功能 可靠性 發(fā)生影響 如果系統(tǒng)中所有元 部件發(fā)生故障 則系統(tǒng)一定呈故障狀態(tài) 反之 所有元 部件正常 系統(tǒng)一定正常 20 而且 當(dāng)故障的元 部件經(jīng)過修復(fù)轉(zhuǎn)為正常時系統(tǒng)不會由正常轉(zhuǎn)為故障 反之 正常部件故障不會使系統(tǒng)由故障轉(zhuǎn)為正常 根據(jù)以上特點 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)具有下述性質(zhì) 不含有多余元 部件 第i個元 部件正常與否 與系統(tǒng)正常與否無關(guān) 這樣 第i個元 部件就是邏輯多余元 部件 含有邏輯多余元 部件的系統(tǒng)不是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng) 組成系統(tǒng)的所有元 部件都正常 系統(tǒng)一定正常 反之 所有元 部件發(fā)生故障 系統(tǒng)一定發(fā)生故障 21 系統(tǒng)中正常元 部件發(fā)生故障時 系統(tǒng)不可能出現(xiàn)由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)為正常狀態(tài) 這就體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性 或門結(jié)構(gòu) 串聯(lián)系統(tǒng) 是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)不可靠性的上限 而與門結(jié)構(gòu) 并聯(lián)系統(tǒng) 則是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的下限 由與門和或門結(jié)構(gòu)組成的事故樹都是單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng) 22 練習(xí)1 寫出如下事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù) 23 練習(xí)2 寫出如下事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù) 24 四 事故樹的化簡 1 事故樹化簡的必要性在同一事故中包含有2個或2個以上的相同基本事件時 若不進行化簡 則可能產(chǎn)生結(jié)果的錯誤 為說明這一問題 試看例題 25 且q1 q2 q3 0 1 x1 x2 x3相互獨立 例 26 解 不化簡時 所求出的T發(fā)生的概率為 T A1 A2 x1 x2 x1 x3 P x1 x2 P x1 P x2 q1 q2n又 P A1 A2 An 1 1 P Ai i 1 P x1 x3 1 1 q1 1 q3 則P T q1 q2 1 1 q1 1 q3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0019 27 化簡后 求出的T發(fā)生的概率為 T A1 A2 x1 x2 x1 x3 x1 x2 x1 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 P T P x1 x2 P x1 P x2 0 1 0 1 0 01 28 由上面計算 兩種算法得到的結(jié)果不同 哪一個結(jié)果是正確的 這又是為什么呢 這是因為在事故樹結(jié)構(gòu)中 存在著多余的事件x3 所謂多余事件 指的是它的發(fā)生與頂上事件的發(fā)生無關(guān) 由于x3是多余的 所以若在計算時 無事先進行簡化 則發(fā)生錯誤 所以P T 0 01 故說明化簡的必要性 29 化簡后的事故樹也可用其 等效圖 來表示 T x1 x2 它表明 只要x1和x2同時發(fā)生 T就發(fā)生 所以 計算頂上概率時 應(yīng)按其等效圖計算 30 2 事故樹化簡舉例 例 將下列事故樹化簡 31 解 T x1 A x1 x1 x2 x1 所以 其等效圖為 32 例2化簡事故樹 33 等效事故樹 34 練習(xí)1 化簡該事故樹 并做出等效圖 35 等效事故樹 36 練習(xí)2 化簡該事故樹 并做出等效圖 37 等效事故樹 38 五 最小割集與最小徑集在事故樹分析中 最小割集與最小徑集的概念起著非常重要的作用 事故樹定性分析的主要任務(wù)是求出導(dǎo)致系統(tǒng)故障 事故 的全部故障模式 通過對最小割集或最小徑集的分析 可以找出系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié) 提高系統(tǒng)的安全性和可靠性 39 1 割集和最小割集割集是圖論中的一個重要的概念 事故樹分析中的割集指的是導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的基本事件組合 也稱作截集或截止集 系統(tǒng)的割集也就是系統(tǒng)的故障模式 40 如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集了 這樣的割集就稱為最小割集 換句話說 也就是導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合 因此 研究最小割集 實際上是研究系統(tǒng)發(fā)生事故的規(guī)律和表現(xiàn)形式 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)最薄弱環(huán)節(jié) 由此可見 最小割集表示了系統(tǒng)的危險性 41 2 最小割集的求法最小割集的求法有多種 常用的方法有布爾代數(shù)化簡法 行列法 結(jié)構(gòu)法 質(zhì)數(shù)代入法和矩陣法等 這是僅就常用的布爾代數(shù)化簡法和行列法做一簡介 a 布爾代數(shù)化簡法事故樹經(jīng)過布爾代數(shù)化簡 得到若干交集的并集 每個交集實際就是一個最小割集 下面以圖示的事故樹為例 利用布爾代數(shù)化簡法求其最小割集 42 圖1某事故樹示意圖 46 58 43 結(jié)果得7個交集的并集 這7個交集就是7個最小割集 即 44 圖2圖1事故樹的等效圖 45 b 行列法行列法又稱下行法 這種方法是1972年由 富塞爾 Fussel 提出 所以又稱為富塞爾法 該算法的基本原理是從頂上事件開始 由上往下進行 與門僅增加割集的容量 即割集內(nèi)包含的基本事件的個數(shù) 而不增加割集的數(shù)量 或門則增加割集的數(shù)量 而不增加割集的容量 46 每一步按上述的原則 由上而下排列 把與門連接的輸入事件橫向排列 把或門連接的輸入事件縱向排列 這樣逐層向下 直到全部邏輯門都置換成基本事件為止 得到的全部事件積之和 即是布爾割集 BICS 再經(jīng)布爾代數(shù)化簡 就可得到若干最小割集 下面仍以圖1所示的事故樹為例 求最小割集 47 頂上事件與下一層的中間事件是用或門連接的 故T被代替時 縱向排列 與下一層事件之間也是或門連接的 故被代替時 仍然是縱向排列 48 與下一層事件之間是與門連接的 故被代替時 要橫向排列 而與下層事件是或門連接的 故被代替時 要縱向排列 49 50 51 這與第一種算法的結(jié)果是一致的 上述兩種算法相比 布爾代數(shù)化簡法較為簡單 但行列法便于用計算機輔助計算最小割集 故國際上仍普遍使用行列法 52 六 徑集和最小徑集徑集是割集的對偶 當(dāng)事故樹中某些基本事件的集合都不發(fā)生時 頂上事件就不發(fā)生 這種基本事件的集合稱為徑集 也叫路集或通集 所以系統(tǒng)的徑集也就代表了系統(tǒng)的正常模式 即系統(tǒng)成功的一種可能性 最小徑集 如果在某個徑集中任意除去一個基本事件就不再是徑集了 或者說 使事故樹頂上事件不發(fā)生的最低限度的基本事件組合 這樣的徑集就稱為最小徑集 53 研究最小徑集 實際上是研究保證正常運行需要哪些基本環(huán)節(jié)正常發(fā)揮作用的問題 它表示系統(tǒng)不發(fā)生事故的幾種可能方案 即表示系統(tǒng)的可靠性 a 對偶 對偶系統(tǒng)及對偶樹設(shè)系統(tǒng)S有一個結(jié)構(gòu)函數(shù) 現(xiàn)定義一個新的結(jié)構(gòu)函數(shù)使式中 稱為為的對偶結(jié)構(gòu)函數(shù) 以為結(jié)構(gòu)函數(shù)的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)S的對偶系統(tǒng) 54 由于有 所以的對偶系統(tǒng)是S 對偶是相互的 故稱為相互對偶系統(tǒng) 相互對偶系統(tǒng)有如下基本性質(zhì) S的割集是的徑集 反之亦然 S的最小割集是的最小徑集 反之亦然 55 利用相互對偶系統(tǒng)的定義 可根據(jù)某系統(tǒng)的事故樹建造其對偶樹 具體做法是 只要把原事故樹中的與門改為或門 或門改為與門 其他的如基本事件 頂上事件不變 即可建造對偶樹 根據(jù)相互對偶系統(tǒng)的基本性質(zhì) 則事故樹的最小割集就是對偶樹的最小徑集 因此 求事故樹最小割集的方法 同樣可用于對偶樹 56 b 成功樹在對偶樹的基礎(chǔ)上 再把其基本事件及頂上事件T改成它們的補事件 即各事件發(fā)生改為不發(fā)生 就可得到成功樹 如圖3所示 57 圖3事故樹 成功樹的變換示例 例1 以圖1為例 畫出其成功樹 求原樹的最小徑集 解 首先畫成功樹 見圖4 58 圖4圖1事故樹的成功樹 59 用布爾代數(shù)化簡法求成功樹的最小割集如下 由此得到成功樹的兩個最小割集 根據(jù)相互對偶關(guān)系 也就是原事故樹的兩個最小徑集 即 60 例2 圖5是某系統(tǒng)的事故樹 求其最小割集 畫出成功樹 求最小徑集 解 用布爾代數(shù)化簡法求最小割集 圖5某系統(tǒng)的事故樹的示意圖 61 得到9個最小割集 分別為 62 畫出的成功樹見圖圖6 最后用布爾代數(shù)化簡法求最小徑集 圖6圖5事故樹的成功樹 63 得到成功樹的三個最小割集 根據(jù)相互對偶的關(guān)系 也就是事故樹的三個最小徑集 分別為 如果將成功樹最后經(jīng)布爾代數(shù)化簡的結(jié)果再換為事故樹 則 64 這樣 就形成了三個并集的交集 根據(jù)最小徑 割 集的定義 可做出其等效圖如圖7所示 a 用最小割集表示 圖7圖5事故樹的等效圖 65 b 用最小徑集表示 66 七 判別割 徑 集數(shù)目的方法從上例可看出 同一事故樹中最小割集和最小徑集數(shù)目是不相等的 如果在事故樹中與門多 或門少 則最小割集的數(shù)目較少 反之 若或門多與門少 則最小徑集數(shù)目較少 在求最小割 徑 集時 為了減少計算工作量 應(yīng)從割 徑 集數(shù)目較少的入手 67 遇到很復(fù)雜的系統(tǒng) 往往很難根據(jù)邏輯門的數(shù)目來判定割 徑 集的數(shù)目 在求最小割集的行列法中曾指出 與門僅增加割集的容量 即基本事件的個數(shù) 而不增加割集的數(shù)量 或門則增加割集的數(shù)量 而不增加割集的容量 根據(jù)這一原理 下面介紹一種用 加乘法 求割 徑 集數(shù)目的方法 該法給每個基本事件賦值為1 直接利用 加乘法 求割 徑 集數(shù)目 但要注意 求割集數(shù)目和徑集數(shù)目 要分別在事故樹和成功樹上進行 68 如圖8所示 首先根據(jù)事故樹畫出成功樹 再給各基本事件賦與 1 然后根據(jù)輸入事件與輸出事件之間的邏輯門確定 加 或 乘 若遇到或門就用 加 遇到與門則用 乘 割集數(shù)目徑集數(shù)目 69 a 事故樹 b 成功樹圖8用 加乘法 求割 徑集數(shù)目 70 從上例可看出 割集數(shù)目比徑集數(shù)目多 此時用徑集分析要比用割集分析簡單 如果估算出某事故樹的割 徑集數(shù)目相差不多 一般從分析割集入手較好 這是因為最小割集的意義是導(dǎo)致事故發(fā)生的各種途徑 得出的結(jié)果簡明 直觀 另外 在做定量分析時 用最小割集分析 還可采用較多的近似公式 而最小徑集則不能 必須注意 用上述方法得到的割 徑集數(shù)目 不是最小割 徑集的數(shù)目 而是最小割 徑集的上限 只有當(dāng)事故樹中沒有重復(fù)事件時 得到的割 徑集的數(shù)目才是最小割 徑集數(shù) 71 八 最小割集與最小徑集在事故樹分析中的意義1 最小割集表示系統(tǒng)的危險性 求解出最小割集可以掌握事故發(fā)生的各種可能 了解系統(tǒng)危險性的大小 為事故調(diào)查和事故預(yù)防提供依據(jù) 2 最小徑集表示系統(tǒng)的安全性 求出最小徑集 可知道要使事故不發(fā)生 需控制住哪幾個基本事件能使頂上事件不發(fā)生 并可知道有幾種可能的預(yù)防方案 72 3 從最小割集能直觀地 概略地看出哪種事故發(fā)生后 對系統(tǒng)危險性影響最大 哪種稍次 哪種可以忽略 以及如何采取措施使事故發(fā)生概率迅速下降 4 利用最小割集和最小徑集可以直接排出結(jié)構(gòu)重要度的順序 5 根據(jù)最小徑集 選擇控制事故的最佳方案 6 利用最小割集和最小徑集計算頂上事件的發(fā)生概率和定量分析