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前一章通過將連續(xù)時(shí)間信號分解為單位沖激信號 然后求解單位沖激信號激勵下的響應(yīng) 再利用疊加原理求解總響應(yīng) 卷積 分析過程中 信號始終在時(shí)間域 稱為時(shí)域分析法 第三章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析 信號分析就是要研究信號如何表示為各分量的疊加 并從信號的組成情況去考察信號的特性 數(shù)學(xué)上 任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)完備正交函數(shù)集中無限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無窮級數(shù) 第三章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉 Fourier 級數(shù)是大家熟悉的正交函數(shù)集 只要符合一定的條件 任意一信號都可通過傅里葉級數(shù)展開為一系列不同頻率的正弦分量即頻率函數(shù) 也就是說信號分析可以從時(shí)域變換到頻域分析即頻域分析法 第三章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析 頻域分析 傅里葉變換 自變量為j 變換域分析 復(fù)頻域分析 拉氏變換 自變量為S j Z域分析 Z變換 自變量為z 第三章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 一 正交向量 矢量 向量 A1和A2參加如下運(yùn)算 是它們的差 如下式 表示和互相接近的程度 當(dāng) 完全重合 則隨夾角增大 減小 互相垂直的兩個(gè)向量組成一個(gè)正交向量集 當(dāng) 和相互垂直 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 一 正交向量 矢量 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 一 正交向量 二維平面上 向量A1與A2正交 A1 A2 0 A1 A2 為平面上的完備正交集 于是任一向量A C1A1 C2A2 三維空間上 A1 A2 A3兩兩正交 A1 A2 A3 為三維空間上的完備正交集 于是任一向量A C1A1 C2A2 C3A3 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 一 正交向量 n維空間上 n維正交向量集 A1 A2 An 有 A C1A1 C2A2 Cn n 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 一 正交向量 令則誤差能量最小 誤差能量 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 若 則不包含的分量 則稱正交 正交的條件 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 1 正交函數(shù)定義 任意兩個(gè)實(shí)函數(shù)f1 t 與f2 t 在 t1 t2 內(nèi)正交 f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 內(nèi)為正交函數(shù)集 特別地 當(dāng)ki 1時(shí)稱為歸一化正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 復(fù)變函數(shù)f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 內(nèi)為正交復(fù)變函數(shù)集 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 定義 正交函數(shù)集 f1 t f2 t fn t 是完備的 找不到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交 完備的正交函數(shù)集 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 信號的正交展開 稱為傅里葉級數(shù)系數(shù) 定理3 1設(shè) f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 內(nèi)是某一類信號的完備正交函數(shù)集 則這一類信號中的任一個(gè)信號f t 均可表示為 式中加權(quán)系數(shù)Ci 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 定理3 2在式 3 9 條件下 有 即 f t 的能量等于各個(gè)分量的能量之和 能量守恒 亦稱之為帕塞瓦爾 Parseval 定理 二 信號的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 1 三角函數(shù)集 1 cosn t sinm t n 1 2 m 1 2 在區(qū)間 t0 t0 T 內(nèi)是一個(gè)完備正交函數(shù)集 其正交性的證明 三 常見的完備的正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 2 虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t n 0 1 2 在 t0 t0 T 內(nèi)一個(gè)完備正交函數(shù)集 其正交性的證明 三角函數(shù)集與虛指數(shù)函數(shù)集是兩個(gè)最重要的完備正交函數(shù)集 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 三 常見的完備的正交函數(shù)集 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 傅里葉分析方法是信號與系統(tǒng)分析中最基本 最重要的分析方法 它不僅求解簡單而且與實(shí)際信號的物理特性有本質(zhì)的對應(yīng)關(guān)系 如聲音的強(qiáng)弱 色彩的明暗都直接與其頻率分量有關(guān) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 一 三角形式的傅里葉級數(shù) 設(shè)任意周期信號f t f t kT k為整數(shù) 滿足下列條件 荻里赫利條件 1 在一個(gè)周期內(nèi) 函數(shù)是絕對可積的 2 在一個(gè)周期內(nèi) 函數(shù)的極值數(shù)目有限 3 在一個(gè)周期內(nèi) 函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)一類間斷點(diǎn) 左右極限存在但不等 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 進(jìn)行分解可得 傅里葉系數(shù) 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 同頻率的兩項(xiàng)可以合并 n次諧波分量 其角頻率為基波頻率的n倍 直流分量 零次諧波 即f t 在一個(gè)周期內(nèi)的平均值 基波分量 一次諧波 其角頻率與f t 的相同 為 其中 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 將周期信號f t 在虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t n 0 1 2 3 上展開就得到指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 信號分析時(shí)往往用此形式 二 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 級數(shù)正 系數(shù)負(fù) 注意此系數(shù)為復(fù)數(shù) 其中 傅里葉系數(shù) 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 三角形式傅里葉級數(shù)通過歐拉公式展開 三角形式與指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的關(guān)系 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 與三角形式傅里葉級數(shù)的關(guān)系 與指數(shù)形式對照 四 周期信號展開成傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 1 偶函數(shù) f t f t 五 周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 例如 周期三角函數(shù)是偶函數(shù) 2 奇函數(shù) f t f t 五 周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) Fn為虛數(shù) 例如周期鋸齒波是奇函數(shù) E 2 E 2 T1 2 T1 2 f t t 0 3 奇諧 波 半波對稱 函數(shù) 3 奇諧 波 半波對稱 函數(shù) 五 周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 4 偶諧 波 半周期 函數(shù) 五 周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 以指數(shù)形式討論 推導(dǎo)過程不作要求 只要記住結(jié)論 設(shè) 六 傅里葉系數(shù)的性質(zhì) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 例 利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量 周期偶函數(shù) 奇諧函數(shù) 只含基波和奇次諧波的余弦分量 周期奇函數(shù) 奇諧函數(shù) 只含基波和奇次諧波的正弦分量 含有直流分量和正弦分量 只含有正弦分量 含有直流分量和余弦分量 例 利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量 例 求周期信號的三角型傅里葉級數(shù)與指數(shù)型傅里葉級數(shù) 去掉該直流分量后為奇 奇諧函數(shù)f1 t 故只含奇次諧波的sinn t分量 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 解 可利用傅里葉性質(zhì)3求解 例 求圖示周期鋸齒波信號的傅里葉級數(shù) 3 1信號的正交分解與傅里葉級數(shù) 如果要確定某一諧波分量 或 只需確定和某一頻率對應(yīng)的諧波幅值和相位 3 2周期信號的頻譜 一 周期信號的頻譜 頻譜 幅度譜 以頻率 角頻率 為橫坐標(biāo) 以各諧波的振幅An或 Fn 為縱坐標(biāo)畫出的線圖 離散 為幅度頻譜 簡稱幅度譜 相位譜 以頻率 角頻率 為橫坐標(biāo) 以各諧波的初相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖 離散 為相位頻譜 簡稱相位譜 3 2周期信號的頻譜 一 周期信號的頻譜 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 T 4時(shí) T 4 A 1時(shí) 3 2周期信號的頻譜 一 周期矩形脈沖的頻譜 由雙邊頻譜 單邊頻譜 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 矩形脈沖的頻譜特點(diǎn) 1 各譜線高度與脈沖高度A及寬度 成正比 與周期T成反比 且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制 由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn) 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 2 周期矩形脈沖的零分量頻率為n 2 m 即 n 2m m 1 2 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 3 信號能量主要集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi) 矩形信號的有效頻譜寬度B 2 Bf 1 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 4 若 而T不變 譜線間隔 2 T不變 譜線高度 B 2m m 1 2 占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)T 增多 即譜線分量增多 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 5 若T 而 不變 譜線間隔 2 T 譜線變密 且譜線高度 B 2m m 1 2 不變 占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)T 增多 即譜線分量增多 若T 則間隔 0 連續(xù)頻譜 3 2周期信號的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 三 任意周期信號頻譜的特點(diǎn) 1 離散性 頻譜是譜線 稱為離散頻譜或線譜 2 諧波性 各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍 譜線間隔均勻 3 收斂性 譜線幅度隨n 而衰減到零 3 2周期信號的頻譜 四 周期信號的功率譜 功率 頻 譜 Fn 2 n 的關(guān)系 也是一離散譜 周期信號在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和 3 2周期信號的頻譜