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2019 年春新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章平行四邊形章末提升練習(xí)平行四邊形章末小結(jié)與提升四邊形 平行四邊形 正方形類型 1 平行四邊形的性質(zhì)和判定典例 1 如圖,已知 AB∥DE,AB=DE,AF=DC,求證:四邊形 BCEF 是平行四邊形.【解析】如圖,連接 AE,DB,BE,設(shè) BE 交 AD 于點(diǎn) O.∵AB∥DE,AB=DE,∴四邊形 ABDE 是平行四邊形,∴OB=OE,OA=OD.∵AF=DC,∴OF=OC,∴四邊形 BCEF 是平行四邊形.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AD=7,CE 平分∠BCD 交 AD 邊于點(diǎn) E,且 AE=3,則 AB 的長為 (A)A.4 B.3 C.5/2 D.22.如圖,P 為?ABCD 的邊 AD 上一點(diǎn),E,F 分別是 PB,PC 的中點(diǎn),△PEF,△PDC,△PAB 的面積分別為 S,S1,S2,若 S=3,則 S1+S2 的值是 12 .3.在?ABCD 中,點(diǎn) E 在 CD 邊上,點(diǎn) F 在 AB 邊上,連接AE,CF,DF,BE,∠DAE=∠BCF.(1)如圖 1,求證:四邊形 DFBE 是平行四邊形;(2)如圖 2,設(shè) AE 交 DF 于點(diǎn) G,BE 交 CF 于點(diǎn) H,連接 GH,若 E 是 CD 邊的中點(diǎn),在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中以 GH 為邊或?qū)蔷€的所有平行四邊形.解:(1)∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,∴AB∥CD,∠ADE=∠CBF,AD=BC,在△ADE 和△CBF 中,{■(∠ADE=∠CBF“,“ @AD=BC“,“ @∠DAE=∠BCF“,“ )┤∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,又∵DE∥BF,∴四邊形 DFBE 是平行四邊形.(2)以 GH 為邊的平行四邊形有?GHFA、?GHBF、?GHED、?GHCE;以 GH為對(duì)角線的平行四邊形是?GFHE.類型 2 三角形的中位線典例 2 如圖,等邊△ABC 的邊長是 4,D,E 分別為 AB,AC 的中點(diǎn),延長BC 至點(diǎn) F,使 CF=1/2BC,連接 CD 和 EF.(1)求證:DE=CF;(2)求 EF 的長;(3)求四邊形 DEFC 的面積.【解析】(1)在△ABC 中,∵D,E 分別為 AB,AC 的中點(diǎn),∴DE 為△ABC 的中位線,∴DE=1/2BC,∵CF=1/2BC,∴DE=CF.(2)∵AC=BC,AD=BD,∴CD⊥AB.∵BC=4,BD=2,∴CD=√(4^2 “-“ 2^2 )=2√3.∵DE∥CF,DE=CF,∴四邊形 DEFC 是平行四邊形,∴EF=CD=2√3.(3)過點(diǎn) D 作 DH⊥BC 于點(diǎn) H.∵∠DHC=90°,∠DCB=30°,∴DH=1/2DC=√3,∵DE=CF=2,∴S 四邊形 DEFC=CF?DH=2×√3=2√3.【針對(duì)訓(xùn)練】1.以一個(gè)面積為 1 的三角形的三條中位線為三邊的三角形的面積為 (C)A.4 B.2 C.1/4 D.1/22.如圖,D,E 分別是 AB,AC 的中點(diǎn),BE 是∠ABC 的平分線,對(duì)于下列結(jié)論:①BC=2DE;②DE∥BC;③BD=DE;④BE⊥AC.其中正確的是 (D)A.①② B.①②③C.①②④ D.①②③④3.(曲靖中考)如圖,在△ABC 中,AB=13,BC=12,D,E 分別是 AB,BC 的中點(diǎn),連接 DE,CD,如果 DE=2.5,那么△ACD 的周長是 18 .4.如圖,在四邊形 ABCD 中,AB=CD,M,N,P 分別是 AD,BC,BD 的中點(diǎn),∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN 的度數(shù).解:∵在四邊形 ABCD 中,M,N,P 分別是 AD,BC,BD 的中點(diǎn),∴PN,PM 分別是△CDB 與△DAB 的中位線,∴PM=1/2AB,PN=1/2DC,PM∥AB,PN∥DC,∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°,∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+(180-70)°=130°,∵AB=CD,∴PM=PN,∴∠PMN=(180“°-“ 130“°“ )/2=25°.類型 3 直角三角形斜邊上的中線典例 3 如圖,△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 上一點(diǎn),DE⊥AB 于點(diǎn)E,FD⊥BC 于點(diǎn) D,G 是 FC 的中點(diǎn),連接 GD.求證:GD⊥DE.【解析】∵FD⊥BC,G 是 FC 的中點(diǎn),∴GD 是 Rt△FCD 斜邊上的中線,∴GD=GC,∴∠GDC=∠C.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠GDC,∴GD∥AB,∴∠BED=∠GDE.∴∠GDE=90°,∴GD⊥DE.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中點(diǎn) M 與點(diǎn) C 被湖隔開,若測(cè)得 AB 的長為 2.4 km,則 M,C 兩點(diǎn)間的距離為 (B)A.0.6 km B.1.2 km C.0.9 km D.4.8 km2.如圖,在三角形 ABC 中,AB=AC,BC=6,△DEF 的周長是 7,AF⊥BC 于點(diǎn) F,BE⊥AC 于點(diǎn) E,且 D 是 AB 的中點(diǎn),則 AF 的長為 (A)A.√7 B.√5 C.√3 D.73.如圖,在△ABC 中,D 是 BC 上一點(diǎn),AB=AD,E,F 分別是 AC,BD 的中點(diǎn),EF=2,則 AC 的長是(B)A.3 B.4 C.5 D.6類型 4 特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定典例 4 如圖,在四邊形 ABCD 中,BD 為一條對(duì)角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E 為 AD 的中點(diǎn),連接 BE.(1)求證:四邊形 BCDE 為菱形;(2)連接 AC,若∠ADB=30°,BC=1,求 AC 的長.【解析】(1)∵AD=2BC,E 為 AD 的中點(diǎn),∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四邊形 BCDE 是平行四邊形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴平行四邊形 BCDE 是菱形.(2)連接 AC.∵∠ADB=30°,∠ABD=90°,∴AD=2AB,∵AD=2BC,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∴∠CAB=∠CAD=30°,∴AB=BC=DC=1,AD=2BC=2.∵∠DAC=30°,∠ADC=60°,∴在 Rt△ACD 中,AC=√(AD^2 “-“ CD^2 )=√3.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖,在邊長為 2 的正方形 ABCD 中,M 為邊 AD 的中點(diǎn),延長 MD 至點(diǎn) E,使 ME=MC,以 DE 為邊作正方形 DEFG,點(diǎn) G 在邊 CD 上,則 DG 的長為 (D)A.√3-1 B.3-√5 C.√5+1 D.√5-12.如圖,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 為邊 BC 上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB 于點(diǎn) E,PF⊥AC 于點(diǎn) F,M 為 EF 的中點(diǎn),則 AM 的最小值為 6/5 .3.如圖,四邊形 ABCD 是菱形,CE⊥AB 交 AB 延長線于點(diǎn) E,CF⊥AD 交AD 延長線于點(diǎn) F,請(qǐng)猜想 CE 和 CF 的大小有什么關(guān)系?并證明你的猜想.解:CE=CF.∵四邊形 ABCD 是菱形,∴AD∥BC,AB∥CD,CD=BC,∴∠A=∠CBE,∠A=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC.∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠CEB=∠CFD=90°,在△CDF 和△CBE 中,{■(∠CDF=∠CBE“,“ @∠CFD=∠CEB“,“ @CD=CB“,“ )┤∴△CDF≌△CBE(AAS),∴CE=CF.4.定義:若 P 為四邊形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn),且滿足∠APB+∠CPD=180°,則稱點(diǎn) P 為四邊形 ABCD 的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”.(1)如圖 1,點(diǎn) P 為四邊形 ABCD 的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”,∠APD=63°,求∠BPC 的度數(shù).(2)如圖 2,點(diǎn) P 是菱形 ABCD 對(duì)角線上的任意一點(diǎn).求證:點(diǎn) P 為菱形ABCD 的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”.解:(1)由題可知∠BPC=180°-∠APD=180°-63°=117°.(2)連接 AP,CP.∵四邊形 ABCD 是菱形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.在△ADP 與△CDP 中,{■(AD=CD“,“ @∠ADP=∠CDP“,“ @PD=PD“,“ )┤∴△ADP≌△CDP(SAS),∴∠APD=∠CPD.又∵∠APB+∠APD=180°,∴∠APB+∠CPD=180°,∴點(diǎn) P 為菱形 ABCD 的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”.