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工程光學(xué)習(xí)題解答 第九章 光的電磁理論基礎(chǔ) 1. 一個平面電磁波可以表示為,求(1)該電磁波的頻率、波長、振幅和原點的初相位？（２）撥的傳播方向和電矢量的振動方向？（３）相應(yīng)的磁場Ｂ的表達式？ 解：（1）平面電磁波 對應(yīng)有。 （2）波傳播方向沿軸，電矢量振動方向為軸。 （3）垂直，傳播方向相同，∴ ２. 在玻璃中傳播的一個線偏振光可以表示，試求（1）光的頻率和波長；（2）玻璃的折射率。 解：（1） ∴ （2） 3.在與一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度,折射率n=1.5,若光波的波長為,試計算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的變化。 解：光程變化為 相位變化為 4. 地球表面每平方米接收到來自太陽光的功率為1.33kw,試計算投射到地球表面的太陽光的電場強度的大小。假設(shè)太陽光發(fā)出波長為的單色光。 解：∵ ∴ 5. 寫出平面波的傳播方向上的單位矢量。 解：∵ 6. 一束線偏振光以45度角從空氣入射到玻璃的界面，線偏振光的電矢量垂直于入射面，試求反射系數(shù)和透射系數(shù)。設(shè)玻璃折射率為1.5。 解：由折射定律 7. 太陽光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，試求太陽光的透射比。 解： 8. 光波以入射角從折射率為介質(zhì)入射到折射率為的介質(zhì)，在兩介質(zhì)的表面上發(fā)生反射和折射（折射角為，見圖10-39），s波和p波的振幅反射系數(shù)和投射系數(shù)分別為、和、。若光波從介質(zhì)入射到介質(zhì)（見圖10-39b）中，入射角為，折射角為，s波和p波的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為、和、。試利用菲涅耳公式證明（1）；（2）；（3）；（4）（為p波的透射比，為s波的透射比）。 圖10-39 習(xí)題8圖 解： 9. 電矢量方向與入射面成45度角的一束線偏振光入射到兩介質(zhì)的界面上，兩介質(zhì)的折射率分別為，問：入射角度時，反射光電矢量的方位角（與入射面所成的角）？若度，反射光的方位角又為多少？ 解： 10. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射時發(fā)生全偏振，試證明折射光在下表面反射時亦發(fā)生全偏振。 證明：當入射角為布儒斯特角時，發(fā)生全偏振，反射光中只有波 第一次反射時， 第二次反射時， 得證。亦可由 11. 光束垂直入射到45度直角棱鏡的一個側(cè)面，并經(jīng)斜面反射后由底二個側(cè)面射出（見圖10-40），若入射光強為，求從棱鏡透過的出射光強I？設(shè)棱鏡的折射率為1.52，且不考慮棱鏡的吸收。 圖10-40 習(xí)題11圖 解： 12. 一個光學(xué)系統(tǒng)由兩片分離透鏡組成，兩透鏡的折射率分別為1.5和1.7，求此系統(tǒng)的反射光能損失。如透鏡表面鍍上曾透膜，使表面反射比降為0.01，問此系統(tǒng)的光能損失又為多少？設(shè)光束以接近正入射通過各反射面。 解 13. 一半導(dǎo)體砷化鎵發(fā)光管（見圖10-41），管芯AB為發(fā)光區(qū)，其直徑。為了避免全反射，發(fā)光管上部磨成半球形，以使內(nèi)部發(fā)的光能夠以最大投射比向外輸送。要使發(fā)光區(qū)邊緣兩點A和B的光不發(fā)生全反射，半球的半徑至少應(yīng)取多少？(已知對發(fā)射的的光，砷化鎵的折射率為3.4) 。 A B 圖10-41 習(xí)題13圖 解： 14. 線偏振光在玻璃-空氣界面上發(fā)生全反射，線偏振光的方位角度，問線偏振光以多大角度入射才能使反射光的s波和p波的相位差等于45度，設(shè)玻璃折射率。 解： 15. 線偏振光在和介質(zhì)的界面發(fā)生全反射,線偏振光的方位角度,證明當 時(是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。式中。 證明： 16. 圓柱形光纖（圖10-42）其纖芯和包層的折射率分別為和，且>。（1）證明入 射光的最大孔徑角滿足關(guān)系式（2）若求孔徑角？ u 圖10-42 習(xí)題16圖 解： 17. 已知硅試樣的相對介電常數(shù)，電導(dǎo)率，證明當電磁波的頻率時，硅試樣具有良導(dǎo)體作用。計算時電磁波對這種試樣的穿透深度。 解： 18. 鋁在時，有，，試求正入射時的反射比和相位變化。 解： 19. 兩束振動方向相同的單色光波在空間某一點產(chǎn)生的光振動分別表示為和，若，，，，，求合振動的表示式。 解： 20. 利用波的復(fù)數(shù)表達式求兩個波和的合成波。 解： 21. 一束沿方向傳播的橢圓偏振光表，試求偏振橢圓的方位角和橢圓長半軸及短半軸大小。 解： 22. 有一菲涅耳棱體（見圖10-21），其折射率為1.5，入射線偏振光的電矢量與入射面（即圖面）成45度角，求（1）棱體的頂角取多大時，能使從棱體射出圓偏振光？（2）若棱體的折射率為1.49，能否產(chǎn)生圓偏振光？ 解： 23. 又旋圓偏振光以50度角入射到空氣-玻璃界面（玻璃折射率為1.5），試決定放射波和透射波的偏振狀態(tài)。 解：入射為右旋圓偏振光，如圖，可寫為 若設(shè)，則布儒斯特角，所以反射光中S波與P波均存在。有 ∴比落后相位，且有 ∴反射光為左旋橢圓偏振光 對于透射光 ∵ ∴投射光為右旋橢圓偏振光。 24. 確定其正交分量由下面兩式表示的光波的偏振態(tài)： 解：對于合成波有 ∴方位角 又∵ ∵ ∴為右旋 又設(shè)長短軸為 ∴ （1） 且有 （2） ∴ 25. 真空中沿方向傳播的兩個單色光波為，若試求合成波在和各處的強度隨時間的變化關(guān)系。若兩波頻率差，試求合成波振幅變化和強度變化的空間周期。 解：令 則 則合成波強度 其中 ∴∝ 時 I∝ 時 I∝ 時 I∝ 若 ∴ 空間周期為 空間周期為 26. 試計算下列各情況的群速度：（1）（深水波，為重力加速度）；（2）（淺水波，T為表面張力，為質(zhì)量密度）。 解：群速度 （1） （2） 27. 試求圖10-43所示的周期性矩形波的傅里葉級數(shù)表達式，并繪出其頻譜圖。 Z E(z) 圖10-43 習(xí)題27圖 解：周期性矩形波為偶函數(shù)，所以 即………………… 圖略 28. 求圖10-44所示周期性三角波的傅里葉分析表達式，并繪出其頻譜圖。 E(Z) Z 圖10-44 習(xí)題28圖 解：偶函數(shù) 即…………………… 29. 試求圖10-45所示的矩形脈沖的傅里葉變換，并繪出其頻譜圖。 -L L Z E(z) 1 圖10-45 習(xí)題29圖 解： 30. 試求圖10-46所示的三角形脈沖的傅里葉變換。 Z E(z) -L L 0 L 圖10-46習(xí)題30圖 解： 31. 氪同位素放電管發(fā)出的波長的紅光是單色性很好的光波，其波列長度約為，試求該波的波長寬度和頻率寬度。 解： 32. M1、M2是兩塊平行放置的玻璃片(n=1.50)，背面涂黑。一束自然光以 角入射到M1上的A點，反射至M2上的B點，再出射。試確定M2以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周時，出射光強的變化規(guī)律。 解 由題設(shè)條件知，兩鏡的入射角 均為 ，且有 對于M1，有 由于是自然光入射，p、s分量無固定相位關(guān)系，光強相等，故 式中，I0是入射自然光強；I1是沿AB的反射光強，反射光是垂直于圖面振動的線偏振光。 對于M2，假設(shè)在繞AB軸旋轉(zhuǎn)的任一位置上，入射面與圖面的夾角為 ，則沿AB的入射光可以分解為p分量和s分量，它們之間有一定位相差，其振幅為 由于此時的入射角也為 ，所以： 因此，自M2出射光的振幅為 即自M2出射光的強度為： 結(jié)論：出射光強依M2相對于M1的方位變化，符合馬呂斯（Malus）定律。