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第二講 質(zhì)點的運動 一 基本概念 1 質(zhì)點 當(dāng)物體的大小 形狀對所研究的問題的影響可以忽略時 物體可作為質(zhì)點 2 速度 描述運動快慢和方向的物理量 是位移對時間的變化率 v s t3 加速度 描述速度變化快慢和方向的物理量 是速度對時間的變化率 a v t4 運動圖象 s t圖 位置 時間圖 和v t圖 s t圖中過原點的斜線表示物體做勻速運動 斜率表示速度的大小 v t圖中過原點的斜線表示物體做勻變速運動 斜率表示加速度速度的大小 5 看清勻加速 勻減速 勻變速直線運動 勻變速曲線運動 1 基本公式有以下四個說明 a 5個物理量中 只有3個是獨立的 b 注意先確定正方向 和正方向同向的矢量取正值 反向取負(fù)值 二 勻變速直線運動公式 2 勻變速直線運動中幾個常用的推論 S aT2 即任意相鄰相等時間內(nèi)的位移差相等 可以推廣到Sm Sn m n aT2 某段時間的中間時刻的瞬時速度等于該段時間內(nèi)的平均速度 區(qū)別于位移中點的瞬時速度 無論是勻加速還是勻減速 都有 3 初速度為零 或末速度為零 的勻變速直線運動 前1秒 前2秒 前3秒 內(nèi)的位移之比為 1 4 9 第1秒 第2秒 第3秒 內(nèi)的位移之比為 1 3 5 前1米 前2米 前3米 所用的時間之比為 1 第1米 第2米 第3米 所用的時間之比為 1 4 一種特殊運動模型 初速度為零 先勻加速 后勻減速至速度為零的運變速直線運動 例1 兩木塊自左向右運動 現(xiàn)用高速攝影機在同一底片上多次曝光 記錄下木塊每次曝光時的位置 如圖所示 連續(xù)兩次曝光的時間間隔相等 由圖可知 A t2時刻和t5時刻兩木塊速度相同B t1時刻兩木塊速度相同C t3與t4時刻之間的某瞬間兩木塊速度相同D t4與t5時刻之間的某瞬時兩木塊速度相同 例2 在與x軸平行的勻強電場中 一帶電量q 1 0 10 8C 質(zhì)量m 2 5 10 3kg的物體在光滑水平面上沿著x軸作直線運動 其位移與時間的關(guān)系是x 0 16t 0 02t2 式中x以m為單位 t以s為單位 從開始運動到5s末物體所經(jīng)過的位移為 m 路程為 m 克服電場力所做的功為 J 0 30m 0 34m 3 10 5J a 0 04m s2 v0 0 16m s x 0 16t 0 02t2 例3 一輛玩具小車從水平面上A點由靜止開始勻加速運動 運動一段距離到達B點后小車立即開始以2 0m s2的加速度做勻減速運動 又滑行t 2 0s停在C點 已知A C兩點間的距離s 5 0m 求小車勻加速運動階段的位移 經(jīng)歷時間和加速度各是多大 a1 s1 t1a2 s2 t2 vB S1 1 0m t1 0 5s a1 8 0m s2 a1 S1 S2 例4 物體從A點由靜止開始做加速度大小為a1的勻加速直線運動 經(jīng)時間t到達B點 這時突然改為做加速度大小為a2的勻減速直線運動 又經(jīng)過時間t回到A點 求a1 a2 特別要注意速度的方向性 1 s t圖象 能讀出s t v的信息 2 v t圖象 能讀出s t v a的信息 曲線下的面積表示位移 v t圖象提供的信息最多 應(yīng)用最廣 三 運動圖象 例5 如圖所示的直線 和 分別表示從同一位置出發(fā)向同一方向運動的兩個物體的勻加速直線運動的速度圖象 它們的初速度各是多大 哪一個的加速度大 經(jīng)過多長時間它們的速度大小相同 經(jīng)過多長時間兩物體再次相遇 初速度v1 2m s v2 4m s 物體加速度大 a1 4m s2 a2 2m s2 經(jīng)過1s后速度大小相同 都是6m s 經(jīng)過2s后兩物體再次相遇 例6 某人騎自行車在平直道路上行進 右圖中的實線記錄了自行車開始一段時間內(nèi)的v t圖象 某同學(xué)為了簡化計算 用虛線作近似處理 下列說法正確的是 A 在t1時刻 虛線反映的加速度比實際的大B 在0 t1時間內(nèi) 由虛線計算出的平均速度比實際的小C 在t2 t3時間內(nèi) 由虛線計算出的位移比實際的大D 在t3 t4時間內(nèi) 實線反映的物體做曲線運動 例 狹窄的公路上同方向行駛著甲 乙兩輛汽車 速度依次為6m s和8m s 當(dāng)它們相距5m時 位于前面甲車開始以1m s2的加速度做勻減速運動 后面的乙車也同時開始做勻減速運動 直至兩車都停下 為了使兩車不相碰 乙的加速度至少應(yīng)為多大 例 狹窄的公路上同方向行駛著甲 乙兩輛汽車 速度依次為6m s和8m s 當(dāng)它們相距5m時 位于前面甲車開始以1m s2的加速度做勻減速運動 后面的乙車也同時開始做勻減速運動 直至兩車都停下 為了使兩車不相碰 乙的加速度至少應(yīng)為多大 v 四 運動的合成與分解1 運動的性質(zhì)和軌跡 物體運動的性質(zhì)由加速度決定 物體運動的軌跡 直線還是曲線 則由物體的速度和加速度的方向關(guān)系決定 兩個互成角度的直線運動的合運動是直線運動還是曲線運動取決于它們的合速度和合加速度方向是否共線 2 常見的運動類型 a 0 勻速直線運動或靜止 a恒定 性質(zhì)為勻變速運動 分為 v a同向 勻加速直線運動 v a反向 勻減速直線運動 v a成角度 勻變速曲線運動 軌跡在v a方向之間 和速度v的方向相切 方向逐漸向a的方向接近 但不可能達到 a變化 性質(zhì)為變加速運動 如勻速圓周運動加速度大小不變但方向時刻改變 又如簡諧運動 加速度大小 方向都隨時間變化 3 過河問題 用v1表示水速 v2表示船速 過河時間僅由v2垂直于岸的分量v 決定 即t d v 與v1無關(guān) 故當(dāng)v2垂直于岸時 過河時間最短 最短時間為t d v2 與v1無關(guān) 過河路程由實際運動的軌跡方向決定 當(dāng)v1 v2時 最短路程為d 當(dāng)v1 v2時 最短路程程為v1d v2 例 小船在300米寬的河中橫渡 已知水流速度為5m s 船在靜水中的航速是4m s 則可知小船渡河的最短時間為 最短航程為 75s 375m 4 連帶運動問題對于物拉繩 桿 或繩 桿 拉物問題 高中階段所研究的繩或桿的長度不會改變 所以解題原則是 把物體的實際速度分解為垂直于繩 桿 和平行于繩 桿 的兩個分量 根據(jù)沿繩 桿 方向的分速度大小相同求解 例7 如圖所示 汽車甲以速度v1拉汽車乙前進 乙的速度為v2 甲 乙都在水平面上運動 求v1 v2 v1 v2 cos 1 例 兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起 上面分別穿有一個小球 小球a b間用一細(xì)直棒相連如圖 當(dāng)細(xì)直棒與豎直桿夾角為 時 求兩小球?qū)嶋H速度之比va vb解 a b沿桿的分速度分別為vacos 和vbsin vacos vbsin va vb tan 1 五 平拋運動1 特點 初速度水平 僅受重力 拋物線 勻變速運動 2 分析方法 水平方向 勻速運動豎直方向 自由落體運動3 廣義地說 若物體所受合外力恒定且與初速度垂直 物體就做類平拋運動 1 方格問題 例8 平拋小球的閃光照片如圖 已知方格邊長a和閃光照相的頻閃間隔T 由這兩個數(shù)據(jù) 求 平拋初速度v0 重力加速度g 小球通過C位置的瞬時速度大小vc 水平 2a v0 T v0 2a T豎直 s g T2 a g a T2vcy 5a 2Tvcx 2a T 此類問題應(yīng)注意題目給出的第一個點未必是拋出點 2 臨界問題例9 已知排球場網(wǎng)高H 半場長L 某次扣球點高h 扣球點離網(wǎng)水平距離s 為了使水平扣出的球既不觸網(wǎng) 又不出界 求運動員扣球速度v的取值范圍 例10 從傾角為 30 的斜面頂端以初動能E 6J往坡下平拋出一個小球 求 小球落到斜面上時的動能E 是多大 E 14J 3 一個有用推論 平拋物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點到拋出點的距離都等于水平位移的一半 例11 如圖所示 內(nèi)壁光滑的薄壁圓鋼管豎直固定在水平地面上 鋼管的高為h 5 0m 橫截面直徑為d 2 0m 一只小球從鋼管頂端的A點以初速度v0沿鋼管頂面圓的直徑方向拋出 運動過程中依次跟鋼管內(nèi)壁的B C兩點相碰 碰撞中沒有動能損失 碰撞時間極短可以忽略不計 然后恰好落在底面圓的圓心D處 求 小球從由A點拋出到落在D點所經(jīng)歷的時間t A C兩點間的距離L 取g 10m s2 tAD 1sL 3 2m 4 曲線運動的一般研究方法 正交分解將復(fù)雜的曲線運動分解為兩個互相垂直方向上的直線運動 一般以初速度或合外力的方向為坐標(biāo)軸進行分解 例12 如圖所示 在豎直平面的xoy坐標(biāo)系內(nèi) oy表示豎直向上方向 該平面內(nèi)存在沿x軸正向的勻強電場 一個帶電小球從坐標(biāo)原點沿oy方向豎直向上拋出 初動能為4J 不計空氣阻力 它達到的最高點位置如圖中M 3 2 點所示 求 小球在M點時的動能E1 在圖上標(biāo)出小球落回x軸時的位置N x y 小球到達N點時的動能E2 9J 40J 12 0 五 勻速圓周運動1 勻速圓周運動的特點變速運動 v方向時刻在變 變加速運動 a方向時刻在變 2 描述勻速圓周運動的物理量線速度v 角速度 周期T 頻率f 向心加速度a 轉(zhuǎn)速n 等 3 皮帶傳動 包括鏈條傳動 摩擦傳動 的兩個輪子 兩輪邊緣上各點的線速度大小相等 同一個輪上 或各輪都繞同一根軸同步轉(zhuǎn)動 的各點角速度相等 軸上的點除外 例13 如圖所示裝置中 三個輪的半徑分別為r 2r 4r b點到圓心的距離為r 求圖中a b c d各點的線速度之比 角速度之比 加速度之比 va vb vC vd 2 1 2 4 a b C d 2 1 1 1 aa ab ac ad 4 1 2 4 例14 如圖所示 一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機的上端有一半徑r0 1 0cm的摩擦小輪 小輪與自行車車輪的邊緣接觸 當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動時 因摩擦而帶動小輪轉(zhuǎn)動 從而為發(fā)電機提供動力 自行車車輪的半徑R1 35cm 小齒輪的半徑R2 4 0cm 大齒輪的半徑R3 10 0cm 求大齒輪的轉(zhuǎn)速n1和摩擦小輪的轉(zhuǎn)速n2之比 假定摩擦小輪與自行車輪之間無相對滑動 2 175