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電磁學 ELECTROMAGNETICS 緒論 一 電磁學的研究內(nèi)容 二 四種基本相互作用 1 引力相互作用2 電磁相互作用3 強相互作用4 弱相互作用 相對強弱 強相互作用的強度 1電磁相互作用 10 2弱相互作用 10 5引力相互作用 10 38 電磁學是經(jīng)典物理學的一部分 電磁學是研究電磁現(xiàn)象的規(guī)律的學科 它研究物質(zhì)間的電磁相互作用 以及電磁場產(chǎn)生 變化和運動的規(guī)律 三 歷史上對于電磁現(xiàn)象的觀察與研究 1 觀察記錄階段 1世紀王充 論衡 頓牟綴芥 磁石引針 2 定量研究階段 1785年庫侖定律1786年歐姆定律1820年畢奧 薩伐爾定律 安培環(huán)路定理1831年法拉第電磁感應定律 麥克斯韋方程組 把電和磁統(tǒng)一到一個理論中 3 1905年相對論的創(chuàng)立進一步證明電磁場是一個統(tǒng)一的實體 1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)通電導線引起小磁針轉向 第一章靜止電荷的電場 六學時 1 1電荷 1 2庫侖定律與疊加原理 1 3電場和電場強度 1 4靜止的點電荷的電場及其疊加 1 5電場線和電通量 1 6高斯定律及應用 1 1電荷 Charge 一 電荷的種類 1 兩種電荷 正電荷與負電荷 同種相斥 異種相吸 2 電量Q或q 帶電體所帶電量的多少 二 電荷的量子性 Quantum 1 電荷總是以一個基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn) 基本單元 e 1 602 10 19C 2 密立根油滴試驗 3 電荷數(shù) 微觀粒子所帶的基元電荷的個數(shù) 1913年 密立根用液滴法首先從實驗上測定了基本電荷的量值 證明了微小粒子帶電量的變化不連續(xù)性 現(xiàn)代物理預言夸克 三 電荷守恒 2 正 負電子的湮滅和產(chǎn)生 電子對的 產(chǎn)生 和 湮滅 并不破壞電荷守恒 光子 電子 正電子 產(chǎn)生電荷 e e 0 電子 正電子 光子 湮滅電荷 0 e e 3 中子的放射性衰變過程 中子 質(zhì)子 電子 反中微子 電荷 0 e e 0 1 表述 在一個和外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi) 正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中保持不變 電荷守恒定律是物理學中普遍的基本定律 四 電荷的相對論不變性 1 電荷的相對論不變性 一個電荷的電量與它的運動狀態(tài)無關 即在不同的參考系內(nèi)觀察 同一帶電粒子的電量不變 氫分子和氦原子中原子核內(nèi)兩個質(zhì)子運動狀態(tài)很不相同 但電量相同 例如 回旋加速器中電子運動速度的計算中 已認為電子電荷e不變 1 2庫侖定律與疊加原理 二 庫侖定律 一 點電荷 帶電體線度 所研究的點到帶電體的距離對于連續(xù)帶電體 體元所帶電荷dq可當成點電荷 1785年 庫侖通過扭秤實驗得到 相對于慣性系觀察 自由空間 或真空 中兩個靜止的點電荷之間的作用力 斥力或吸力 統(tǒng)稱為庫侖力 與這兩個電荷所帶電量的乘積成正比 與它們之間距離的平方成反比 作用力的方向沿著這兩個點電荷的連線 同號電荷相斥 異號電荷相吸 Q r Q對q的作用力 k的取值 國際單位制 SI 中k 8 9880 109N m2 C2 9 109N m2 C2 SI中庫侖定律的常用形式 令 真空介電常量 真空電容率 引入 0可使后面大部分公式形式簡單 兩個靜止點電荷之間的相互作用力符合牛頓第三定律 四 電力的疊加原理 表述 兩個點電荷之間的作用力并不因第三個點電荷的存在而有所改變 對于由n個點電荷q1 q2 qn組成的電荷系 實驗證明 q0受到的總電力為 三 庫侖定律的適用范圍 1 庫侖定律只對靜止點電荷成立 2 r的數(shù)量級在10 17m 107m范圍內(nèi) 是基本實驗規(guī)律 宏觀 微觀庫侖定律均成立 例 設電荷的分布如右圖所示 圖中q1 1 5 10 3C q2 0 5 10 3C q3 0 2 10 3C AC r1 1 2m BC r2 0 5m 試求作用在電荷q3上的合力 解 q1和q3之間的力是斥力 q2和q3之間的力是引力 合力的大小 合力的方向如圖所示 1 3電場和電場強度 ElectricFieldIntensity 一 關于場的概念 早期 電磁理論是超距作用理論 后來 法拉第提出場的概念 實驗證實 電場和磁場是客觀存在的物質(zhì) 電場的基本性質(zhì) 1 對放在其內(nèi)的任何電荷都有作用力 2 當帶電體在電場中移動時 電場作用的力將對帶電體做功 這表明電場具有能量 電場還具有質(zhì)量和動量 3 電場能使引入電場中的導體或電介質(zhì)分別產(chǎn)生靜電感應現(xiàn)象或極化現(xiàn)象 二 電場強度 1 電場強度是描述場中各點電場強弱和方向的物理量 實驗發(fā)現(xiàn) 受力 F 受力 2F 在電場中任取A點處 結論 2 電場強度定義 電場中任一點的電場強度 在數(shù)值和方向上等于靜止于該點的單位正電荷所受的力 國際單位制單位 或 3 點電荷在外電場中受的電場力 討論 2 電場強度是矢量 4 靜電場 相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場是電磁場的一種特殊形式 三 電場疊加原理 如果帶電體由n個點電荷組成 如圖 即 n個點電荷產(chǎn)生的電場中某點的電場強度等于各點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和 它是電力疊加原理的直接結果 是求解電場的一個重要基礎 1 4靜止的點電荷的電場及其疊加 一 點電荷的場強公式 由庫侖定律 由場強定義 q P q0 r 1 球?qū)ΨQ 3 場強方向 正電荷受力方向 2 從源電荷指向場點 二 點電荷系電場中的場強 三 電荷連續(xù)分布的帶電體的場強 把帶電體看作是由許多個電荷元組成 每個電荷元可作為點電荷處理 然后利用場強疊加原理 P 電荷密度 體電荷密度面電荷密度線電荷密度 解 1 例1一對等量異號電荷叫電偶極子 電偶極矩求 1 中垂線上任一點場強 2 連線上任一點場強 場點矢徑滿足r l 當時 且 方向與電偶極矩的方向相反 2 方向向右 方向向左 方向向右 方向向右 即 方向與電偶極矩的方向相同 當時 略去 例2 求長為L均勻帶電直線外任意一點的場強 x 解 建立如圖所示坐標系 取任意線元dy 帶電dq dy 它在P點產(chǎn)生的場強在x y方向的分量 y 由y xctg 得dy xcsc2 d 所以 統(tǒng)一變量 表示成同一個變量的函數(shù) 這里是 積分 寫成矢量式 當P點位于帶電直線中垂線上時 與書中例1 4結果相同 討論 2 當x L 即直線無限長時 1 0 2 得 3 當x L 即遠離帶電直線時 為點電荷生成的電場 例3半徑為R的帶電細圓環(huán) 線電荷密度 0cos 其中 0為正常數(shù) 為半徑R與x軸的夾角 求圓環(huán)中心處的電場強度 分析對稱性 電荷分布關于x軸對稱 所以O點y方向場強Ey 0 解 長度為dl的圓弧帶電量為dq dl 它在O點產(chǎn)生的場強 x方向 矢量表示 1 建立坐標系 分析對稱性 2 選取有代表性的電荷元 寫出它的電場強度 并分解到坐標軸方向上 dq dl dq dS dq dVdEx dEy dEz 3 選擇合適的積分變量對各個電場強度分量積分 不同的選擇影響積分的難易 dx dy dz d 4 把結果寫成矢量形式 或者指明電場強度的方向 5 對結果進行適當?shù)挠懻?總結 計算電場強度時 連續(xù)帶電體的矢量微積分是重點和難點 一般步驟為 例4均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強 設半徑為R的細圓環(huán)均勻帶電 總電量為q P是軸線上一點 離圓心O的距離為x 求P點的場強 dq r 解 3 4 積分求解 由于對稱性 1 2 將分解為 在圓環(huán)上任意取一線元dl 其帶電量為dq 在積分過程中 r和保持不變 可以提到積分號外 即 1 環(huán)心處 x 0 E 0 即遠離環(huán)心處的電場相當于一個點電荷產(chǎn)生的電場 3 當x R時 如果把圓環(huán)去掉一半 P點的場強是否等于原來的一半 2 當q 0時 沿軸線指向遠離軸線的方向 當q 0時 沿軸線指向環(huán)心 方向如圖所示 例5均勻帶電圓盤軸線上一點的場強 半徑為R的圓盤均勻帶電 面電荷密度為 0 P為軸線上一點 離圓心O的距離為x 求P點的場強 r dr 解 帶電圓盤可分割成許多同心圓環(huán) 取半徑為r 寬度dr的圓環(huán) 其電量為 2 rdr 它產(chǎn)生的場強為 由于不同圓環(huán)在P點產(chǎn)生的場強方向相同 因此P點的合場強為 當x R時 可將帶電圓盤看作是無限大帶電平面 此時是一個均勻電場 E 2 0 2 當x R時 式中q R2 是圓盤所帶的總電量 說明在遠離圓盤處的電場也相當于點電荷的電場 E R2 4 0 x2 q 4 0 x2 例6計算電偶極子在均勻外電場中所受的力矩 解 構成電偶極子的正負電荷在電場中受到大小相等方向相反的力 因此整個偶極子所受合力為0 但是這兩個力不共線 故產(chǎn)生一個力矩M 其效果是使電偶極子轉向外電場方向 電偶極子所受對于其中點O的力矩為 即 此力矩使電偶極子轉向外電場方向 1 5電場線和電通量 ElectricFieldLineandElectricFlux 一 電場線 第一 電場線是在電場中畫出的一系列假想的曲線 第二 畫這些電場線要符合一些規(guī)定 1 曲線上每一點的切線方向表示該點場強的方向 電場線 掌握兩點 用一族空間曲線形象描述場強分布 2 曲線的疏密表示場強的大小 電場線數(shù)密度 即 電場中某點電場強度的大小等于該點處的電場線數(shù)密度 3 電場線不會形成閉合曲線 電場線的性質(zhì) 1 電場線起始于正電荷 或無窮遠處 終止于負電荷 或無窮遠 不會在沒有電荷處中斷 2 兩條電場線不會相交 正點電荷 等量正負點電荷 均勻帶電直線 不等量正負點電荷 一些靜電場的電場線圖形 描繪電場線的目的在于能形象地反映電場中場強的情況 并非電場中真有這些實在的線 注意 二 電通量 1 定義 通過任一面的電場線條數(shù) 2 通過任意曲面的電通量怎么計算 把曲面分成許多個面積元 每一面元處視為勻強電場 取決于面元的法線方向的選取 是銳角 是鈍角 2 通過閉合曲面的電通量 規(guī)定 面元方向由閉合面內(nèi)指向面外 通過整個閉合曲面的電通量就等于凈穿出封閉面的電場線的總條數(shù) 電場線穿出 電場線穿入 1 6高斯定律 GaussLaw 一 高斯定律 在真空中的靜電場內(nèi) 通過任意封閉曲面的電通量等于該封閉曲面所包圍的電荷的電量的代數(shù)和的1 0倍 這一結果與球面半徑r無關 只與它所包圍的電荷電量q有關 q r S 二 證明 半徑為r的球面上的場強 通過面元dS的電通量 1 只有一個點電荷且閉合曲面為以點電荷為球心的球面 電場線 通過球面S的電通量 2 曲面為任意閉合面且點電荷在曲面內(nèi) 電場線 穿過球面S的每一條電場線必然通過曲面S 反之亦然 故通過曲面S 的電通量 3 點電荷在閉合曲面外 電場線 進出S 的電場線的條數(shù)相等 凈通量為零 故通過曲面S 的電通量 4 場源電荷為多個點電荷 高斯定律成立 推論 對任意連續(xù)電荷分布亦正確 1 高斯定理說明的是場源電荷與通過閉合曲面的電通量之間的關系 34 3 如S上各點則 如則S上各點 對否 舉列說明 說明 庫侖定律的應用 已知電荷分布 求場強分布 高斯定理的應用 已知場強分布 求電荷分布 當電荷分布具有對稱性時 也可用高斯定理求場強分布 對于靜電場 兩者等價 但對于運動電荷的電場 前者不成立 而后者仍然有效 35 三 用高斯定理求電場分布 重點 36 例7 求半徑為R 帶電量為Q的均勻帶電球面的電場分布 解 先求球面外的場強 p2點 R 方向 37 球面內(nèi)任一點場強 點 E 0 總結 用高斯定律求場強的一般步驟 1 根據(jù)電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性 2 選擇適當?shù)拈]合曲面作為高斯面 使電場強度為定值 可以從積分號內(nèi)提出來 4 在有些問題中 閉合面內(nèi)的凈電荷也要用積分計算 3 利用高斯定律 建立和場源電荷的聯(lián)系 計算并說明的方向 38 解 柱面外任一點 39 例8 求無限長均勻帶電圓柱面 R 的電場分布 圓柱面內(nèi) r R E 0 40 例9 求均勻帶電的無限大平面 面電荷密度 產(chǎn)生的場強 解 p r 例10 均勻帶電球體 q R 求 1 rR處的場強 解 1 41 方向 2 利用場強疊加原理 可求出更多帶電體的電場分布 1 兩平行的無限大帶電平板 2 帶小缺口的細圓環(huán) 3 帶圓孔的無限大平板 4 帶有空腔的圓柱體 例11均勻帶電球體 R 0 現(xiàn)從球內(nèi)挖去一半徑為r R的球體 求證由此形成的空腔內(nèi)的電場是均勻的 并求其值 解 由電場疊加原理可知 有空腔的帶電球體內(nèi)電場 帶正電的未挖球體電場 以體電荷密度相等的負電荷充滿空腔形成的帶電球體的電場 小球體生成的電場 合場強為 空腔內(nèi)電場為勻強電場 大小與電荷密度和球心距離成正比 方向平行于球心連線 大球體生成的電場 例12 半徑分別為 的二個球體 球心相距 重迭區(qū)不帶電 二個球均勻帶電 電荷體密度分別為 求 重迭區(qū)內(nèi)任一點場強 解 均勻帶電球體內(nèi)任一點 42 o 例13 無限大帶電壁 厚度為b 電荷體密度為 X軸坐標原點在壁的左側面上 求 壁內(nèi) 外任一點場強 解 1 壁外任一點場強 b o x 方法一 視為許許多多無限大均勻帶電平面組成 方向沿x軸正向 如p點在板左側場強方向為x軸負方向 43 x 方法二 用高斯定理求 dx 方向 垂直板面沿X軸方向 若在左側則沿X軸負方向 44 2 求壁內(nèi)任一點場強 方法一 視為許許多多無限大均勻帶電平板組成 p點左側的帶電平板產(chǎn)生埸強方向向右 p點右側的帶電平板產(chǎn)生場強方向向左 方法二 用高斯定理求 45 討論 解得 0 7b x b 46 0 x 0 7b S1 S2 S 補充 立體角的概念 S r2 單位 球面度 sr 47 如何理解球面帶電體內(nèi)場強為0 過P點作圓錐則在球面上截出兩電荷元 在P點場強 方向如圖 在P點場強 方向如圖 48 電荷的基本性質(zhì) 兩種電荷 量子性 電荷守恒 相對論不變性 2 庫侖定律 兩個靜止的點電荷之間作用力 3 電力的疊加原理 兩個點電荷之間作用力不因第三個點電荷存在而有所改變 4 電場強度 任一點的電場強度 在數(shù)值和方向上等于靜止于該點的單位正電荷所受力 5 電場疊加原理 利用疊加法求電荷系的靜電場