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離散型隨機變量及其分布
一、選擇題（本大題共12小題，共60分）
1. 若X-B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，則P=( )
A. 12 B. 3 C. 13 D. 2
（正確答案）A
解：∵隨機變量ξ～B(n,p)，且Eξ=6，Dξ=3，
∴np=6，且np(1-p)=3，解得n=12，p=12．
故選：A．
根據(jù)隨機變量符合二項分布和二項分布的期望和方差公式，得到關(guān)于n和p的方程組，整體計算求解方程組得答案．
本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查二項分布的期望公式與方差公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
2. 某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4，P(x=4)
12．
因為DX=2.4，可得10p(1-p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去)．
故選：B．
利用已知條件，轉(zhuǎn)化為二項分布，利用方差轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查離散型離散型隨機變量的期望與方差的求法，獨立重復(fù)事件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
3. 設(shè)袋中有兩個紅球一個黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，X表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對立，則方差D(X)=( )
A. 2 B. 1 C. 23 D. 34
（正確答案）C
解：每一次紅球被摸到的概率P=?21?31=23．
由題意可得：X=0，1，2，3.X～B(3,23)．
則D(X)=323(1-23)=23．
故選：C．
每一次紅球被摸到的概率P=?21?31=23.由題意可得：X=0，1，2，3.X～B(3,23).即可得出．
本小題主要考查二項分布列的性質(zhì)及其數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
4. 袋中裝有10個紅球、5個黑球.每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為ξ，則表示“放回5個紅球”事件的是( )
A. ξ=4 B. ξ=5 C. ξ=6 D. ξ≤5
（正確答案）C
解：由題意知，袋中裝有10個紅球、5個黑球，取得黑球則另換1個紅球放回袋中，
所以“放回5個紅球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取紅球，
即ξ=6，
故選C．
根據(jù)題意和無放回抽樣的性質(zhì)求出表示“放回5個紅球”事件ξ的值．
本題考查了離散型隨機變量的取值，以及無放回抽樣的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
5. 已知隨機變量X+Y=10，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是( )
A. 6和2.4 B. 4和5.6 C. 4和2.4 D. 6和5.6
（正確答案）C
解：由題意X～B(10,0.6)，知隨機變量X服從二項分布，n=10，p=0.6，
則均值E(X)=np=6，方差D(X)=npq=2.4，
又∵X+Y=10，
∴Y=-X+10，
∴E(Y)=-E(X)+10=-6+10=4，
D(Y)=D(X)=2.4．
故選：C．
先由X～B(10,0.6)，得均值E(X)=6，方差D(X)=2.4，然后由X+Y=10得Y=-X+10，再根據(jù)公式求解即可．
解題關(guān)鍵是若兩個隨機變量Y，X滿足一次關(guān)系式Y(jié)=aX+b(a,b為常數(shù))，當已知E(X)、D(X)時，則有E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)．
6. 已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則Eξ=( )
A. 3 B. 72 C. 185 D. 4
（正確答案）B
解：由題意知ξ的可能取值為2，3，4，
P(ξ=2)=2514=110，
P(ξ=3)=253413+352413+352413=310，
P(ξ=4)=1-110-310=610，
∴Eξ=2110+3310+4610=72．
故選：B．
由題意知ξ的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ．
本題離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．
7. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中，規(guī)定：“石頭贏剪刀”、“剪刀贏布”、“布贏石頭”.現(xiàn)有甲、乙兩人玩這個游戲，共玩3局，每一局中每人等可能地獨立選擇一種手勢.設(shè)甲贏乙的局數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的數(shù)學期望是( )
A. 13 B. 49 C. 23 D. 1
（正確答案）D
解：由題意可得隨機變量ξ的可能取值為：0、1、2、3，
每一局中甲勝的概率為333=13，平的概率為13，輸?shù)母怕蕿?3，
故P(ξ=0)=C30(1-13)3=827，P(ξ=1)=C31(1-13)2(13)=49，
P(ξ=2)=C32(1-13)(13)2=29，P(ξ=3)=C33(13)3=127，
故ξ～B(3,13)，故Eξ=313=1
故選D
ξ的可能取值為：0、1、2、3，每一局中甲勝的概率為13，進而可得ξ～B(3,13)，由二項分布的期望的求解可得答案．
本題考查離散型隨機變量的期望的求解，得出ξ～B(3,13)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
8. 設(shè)0
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山東省齊河縣高考數(shù)學三輪沖刺
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離散型隨機變量及其分布練習含解析
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