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專題二　解答重難點題型突破 題型一　簡單幾何圖形的證明與計算 類型一　特殊四邊形的探究 1．(xx開封模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，∠B＝60，以邊AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F. (1)求證：BD是⊙O的切線； (2)若BC＝2，E是半圓上一動點，連接AE、AD、DE. 填空： ①當的長度是__________時，四邊形ABDE是菱形； ②當的長度是__________時，△ADE是直角三角形. 2．(xx商丘模擬)如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AB交⊙O于D點． (1)直接寫出ED和EC的數量關系：； (2)DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由； (3)填空：當BC＝__________時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點O、D、E、C為頂點的四邊形是__________. 3．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60，BC＝5 cm，點E從點A出發(fā)沿射線AD以1 cm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BC以2 cm/s的速度運動，設運動時間為t(s)． (1)連接EF，當EF經過BD邊的中點G時，求證：△DGE≌△BGF； (2)填空： ①當t為__________s時，△ACE的面積是△FCE的面積的2倍； ②當t為__________s時，四邊形ACFE是菱形. 4．(xx新鄉(xiāng)模擬)如圖，AC是?ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD，BC于點E，F. (1)求證：AE＝CF； (2)連接AF，CE. ①當EF和AC滿足條件__________時，四邊形AFCE是菱形； ②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60，則四邊形AFCE為矩形時，EF的長是__________． 類型二　幾何問題的證明與計算 1．(xx周口模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E. (1)求證：AC∥DE； (2)連接CD，若OA＝AE＝2時，求出四邊形ACDE的面積． 2．(xx湘潭)如圖，在?ABCD中，DE＝CE，連接AE并延長交BC的延長線于點F. (1)求證：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36.求∠B的度數. 3．(xx山西)如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點E，與過點C的⊙O的切線交于點D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的長． (2)試判斷∠A與∠CDE的數量關系，并說明理由. 4．(xx杭州)如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上(不與點B，D重合)，GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，連接AG. (1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的數量關系，并說明理由； (2)若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF＝105，求線段BG的長. 題型一　簡單幾何圖形的證明與計算 類型一　特殊四邊形的探究 1．(1)證明：連接OD，如解圖， ∵∠BAC＝90，點D為BC的中點， ∴DB＝DA＝DC， ∵∠B＝60，∴△ABD為等邊三角形， ∴∠DAB＝∠ADB＝60，∠DAC＝∠C＝30，而OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝30， ∴∠ODB＝60＋30＝90， ∴OD⊥BC，又∵OD是⊙O的半徑， ∴BD是⊙O的切線； (2)解：①連接OD、OE，∵△ABD為等邊三角形， ∴AB＝BD＝AD＝CD＝， 在Rt△ODC中，OD＝CD＝1， 當DE∥AB時，DE⊥AC，∴AD＝AE， ∵∠ADE＝∠BAD＝60， ∴△ADE為等邊三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝60，∴∠AOE＝2∠ADE＝120，∴AB＝BD＝DE＝AE， ∴四邊形ABDE為菱形， 此時，的長度＝＝π， ②當∠ADE＝90時，AE為直徑，點E與點F重合，此時的長度＝＝π， 當∠DAE＝90時，DE為直徑，∠AOE＝2∠ADE＝60，此時的長度＝＝π， 所以當的長度為π或π時，△ADE是直角三角形. 2．解：(1)連接CD，如解圖， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90， ∵E是BC的中點， ∴DE＝CE； (2)DE是⊙O的切線．理由如下： 連接OD，如解圖， ∵BC為切線，∴OC⊥BC， ∴∠OCB＝90，即∠2＋∠4＝90， ∵OC＝OD，ED＝EC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90，即∠ODE＝90，∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切線； (3)當BC＝2時， ∵CA＝CB＝2，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠B＝45， ∴△BCD為等腰直角三角形，∴DE⊥BC，DE＝BC＝1， ∵OA＝DE＝1，AO∥DE，∴四邊形AOED是平行四邊形； ∵OD＝OC＝CE＝DE＝1，∠OCE＝90， ∴四邊形OCED為正方形. 3．(1)證明：∵G為BD的中點， ∴BG＝DG， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EDG＝∠FBG，∠GED＝∠GFB， ∴△DGE≌△BGF(AAS)； (2)解：①分兩種情況考慮：當點F在線段BC上時，如解圖①，連接AC，EC，設菱形ABCD邊BC上的高為h，由題意知S△ACE＝AEh，S△FCE＝CFh，∵△ACE的面積是△FCE的面積的2倍，∴AEh＝2CFh，∴AE＝2CF，∵AE＝t，CF＝5－2t，∴t＝2(5－2t)，解得t＝2；當點F在線段BC的延長線上時，如解圖②，連接AC，EC，AE＝t，CF＝2t－5，∵△ACE的面積是△FCE的面積的2倍，∴AE＝2CF，∴t＝2(2t－5)，解得t＝； ②∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB＝5，當四邊形ACFE為菱形時，則AE＝AC＝CF＝5，即t＝5. 4．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO. ∵O是AC的中點，∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴AE＝CF. (2)解：①當EF和AC滿足條件EF⊥AC時，四邊形AFCE是菱形； 如解圖所示， ∵AE∥CF，AE＝CF， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， 又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形； ②若四邊形AFCE為矩形， 則EF＝AC，∠AFB＝∠AFC＝90， ∵AB＝1，BC＝2，∠B＝60，∴∠BAF＝30， ∴BF＝AB＝， ∴AF＝BF＝，CF＝2－＝， ∴AC＝＝＝， ∴EF＝. 類型二　幾何問題的證明與計算 1．證明：(1)∵F為弦AC的中點， ∴AF＝CF，∴OD⊥AC， ∵DE切⊙O于點D，∴OD⊥DE， ∴AC∥DE； (2)∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F為OD的中點，即OF＝FD， 又∵AF＝CF， ∠AFO＝∠CFD， ∴△AFO≌△CFD(SAS)，∴S△AFO＝S△CFD，∴S四邊形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝2， ∴OE＝4， ∴DE＝＝＝2， ∴S四邊形ACDE＝S△ODE＝ODDE＝22＝2. 2．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA)； (2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC， ∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36，∴∠B＝180－236＝108. 3．解：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2， ∴OA＝AB＝， ∵OD⊥AB， ∴∠AOE＝∠ACB＝90， 又∵∠A＝∠A， ∴△AOE∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得：OE＝； (2) ∠CDE＝2∠A，理由如下：連接OC，如解圖所示： ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90， ∴∠2＋∠CDE＝90， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90，∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A. 4．解：(1)結論：AG2＝GE2＋GF2. 理由：如解圖，連接CG. ∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關于對角線BD對稱， ∵點G在BD上，∴GA＝GC， ∵GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90， ∴四邊形EGFC是矩形，∴CF＝GE， 在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2； (2)如解圖，作AH⊥BG于點H， 由題意得∠AGB＝60，∠ABH＝45，∴△ABH是等腰直角三角形， ∵AB＝1，∴AH＝BH＝，HG＝，∴BG＝.