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2019-2020年高考物理一輪復習講義 第四章 第3講 萬有引力與航天 教科版 一、萬有引力定律及其應用 1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比． 2．表達式：F＝，G為引力常量， G＝6.6710－11 Nm2/kg2. 3．適用條件 (1)公式適用于質點間的相互作用．當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點． (2)質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離． 二、宇宙速度 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度． 推導過程為：由mg＝mv2/R＝GMm/R2得： v＝＝＝7.9 km/s. (2)第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度． (3)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度． 2．第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度． 3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度． 三、經典時空觀和相對論時空觀 1．經典時空觀 (1)在經典力學中，物體的質量是不隨運動狀態(tài)而改變的． (2)在經典力學中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是相同的． 2．相對論時空觀 (1)在狹義相對論中，物體的質量是隨物體運動速度的增大而增大的，用公式表示為m＝. (2)在狹義相對論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是不同的． 1．關于第一宇宙速度，下列說法正確的是(　　) A．它是人造地球衛(wèi)星繞地球運行的最小速度 B．它是近地圓形軌道上人造地球衛(wèi)星的運行速度 C．它是使衛(wèi)星進入近地圓形軌道的最小發(fā)射速度 D．它是衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時在近地點的速度 解析：根據v＝，在所有繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星中，靠近地面運行的衛(wèi)星，軌道半徑最小，所以環(huán)繞速度最大，即第一宇宙速度是最大環(huán)繞速度，同時也是把一個物體發(fā)射成為衛(wèi)星所必須具有的最小發(fā)射速度，所以選項A錯誤，選項B、C正確；當衛(wèi)星在橢圓軌道上運動時，在近地點時，它的速度最大但與第一宇宙速度無直接關系，選項D錯誤． 答案：BC 2．關于同步衛(wèi)星(它相對于地面靜止不動)，下列說法中正確的是(　　) A．它一定在赤道上空 B．同步衛(wèi)星的高度、周期是一個確定的值 C．所有的同步衛(wèi)星具有相同的速度和加速度 D．它運行的線速度一定介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間 解析：同步衛(wèi)星相對地面靜止，因此它一定在赤道上空，它的周期是一定的，因此其高度也確定，選項A、B正確；速度和加速度是矢量，所有的同步衛(wèi)星運行的速率相等，但速度的方向不相同，加速度的方向各不相同，因此選項C、D錯誤． 答案：AB 3．(xx山東理綜卷)2011年11月3日，“神舟八號”飛船與“天宮一號”目標飛行器成功實施了首次交會對接．任務完成后“天宮一號”經變軌升到更高的軌道，等待與“神舟九號”交會對接．變軌前和變軌完成后“天宮一號”的運行軌道均可視為圓軌道，對應的軌道半徑分別為R1、R2，線速度大小分別為v1、v2.則等于(　　) A.　　　　　B. C. D. 解析：“天宮一號”運行時所需的向心力由萬有引力提供，根據G＝得線速度v＝，所以＝，故選項B正確，選項A、C、D錯誤． 答案：B 4．2012年6月24日，天宮神九組合體在軌飛行六天后短暫分離，并于12時成功實施首次手控對接，意味著中國完整掌握空間交會技術，具備了建設空間站的基本能力．假如“神舟九號”與“天宮一號”對接前所處的軌道如圖甲所示，圖乙是它們在軌道上即將對接時的模擬圖．當它們處于圖甲所示的軌道運行時，下列說法正確的是(　　) A．“神舟九號”的加速度比“天宮一號”的大 B．“神舟九號”的運行速度比“天宮一號”的小 C．“神舟九號”的運行周期比“天宮一號”的長 D．“神舟九號”適度加速后有可能與“天宮一號”實現(xiàn)對接 解析：由萬有引力提供向心力可知加速度a＝，對比軌道半徑關系可知“神舟九號”的加速度比“天宮一號”的大，選項A正確；由運行速度v＝可知，“神舟九號”的運行速度比“天宮一號”的大，選項B錯誤；由運行周期T＝可知，“神舟九號”的運行周期比“天宮一號”的小，選項C錯誤；“神舟九號”適度加速后做離心運動有可能追上“天宮一號”實現(xiàn)對接，選項D正確． 答案：AD 5．地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G，則由此估算地球的平均密度為(　　) A.　　　　　B. C. D. 解析：在地球表面有：G＝mg，所以地球的質量為M，又因地球的體積：V＝πR3，所以地球的密度ρ＝＝. 答案：A  (xx課標全國卷)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體．一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(　　) A．1－　　　　　B．1＋ C.2 D.2 解析：設地球的密度為ρ，地球的質量為M，根據萬有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝.地球質量可表示為M＝πR3ρ.因質量分布均勻的球殼對球殼內物體的引力為零，所以礦井下以(R－d)為半徑的地球的質量為M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝3M，則礦井底部處的重力加速度g′＝，則礦井底部處的重力加速度和地球表面的重力加速度之比為＝1－，選項A正確；選項B、D、D錯誤． 答案：A 星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法 (1)設天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則mg＝G，即g＝(或GM＝gR2) (2)若物體距星體表面高度為h，則重力mg′＝G，即g′＝＝g. 1－1：近地人造衛(wèi)星1和2繞地球做勻速圓周運動的周期分別為T1和T2.設在衛(wèi)星1、衛(wèi)星2各自所在的高度上的重力加速度大小分別為g1、g2，則(　　) A.＝4/3　　　　B.＝4/3 C.＝2 D.＝2 解析：　由＝mr知：＝，又衛(wèi)星所在處重力提供向心力 mg＝m2r，可得：＝4/3，故B正確． 答案：　B (xx福建卷)一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質量為(　　) A. B. C. D. 解析：設衛(wèi)星的質量為m′ 由萬有引力提供向心力， 得G＝m′ ① m′＝m′g ② 由已知條件：m的重力為N得 N＝mg ③ 由③得g＝，代入②得：R＝ 代入①得M＝，故A、C、D三項均錯誤，B項正確． 答案：B 天體質量和密度的估算 (1)利用天體表面的重力加速度g和天體的半徑R 由G＝mg，得M＝， ρ＝＝＝. (2)利用天體的衛(wèi)星，已知衛(wèi)星的周期T(或線速度v)和衛(wèi)星的軌道半徑r 建立G＝m＝mr， 則M＝ 測天體的密度：將天體的質量M代入ρ＝得： 2－1：一行星繞恒星做圓周運動．由天文觀測可得，其運行周期為T，速度為v.引力常量為G，則(　　) A．恒星的質量為　　　　　 B．行星的質量為 C．行星運動的軌道半徑為 D．行星運動的加速度為 解析：由＝＝mr得M＝＝，A對；無法計算行星的質量，B錯；r＝＝＝，C對；a＝ω2r＝ωv＝v，D對． 答案：ACD 1．衛(wèi)星的軌道參量隨軌道半徑變化的規(guī)律 動力學特征 G＝man＝m＝mω2r＝m()2r 向心加速度an an＝G，即an∝ 線速度v v＝，即v∝ 角速度ω ω＝，即ω∝ 周期T T＝，即T∝ 由上表分析可知：隨衛(wèi)星軌道半徑的增加，衛(wèi)星的向心加速度、線速度、角速度都減小，其運行周期將增加． 2．幾種常見衛(wèi)星 (1)近地衛(wèi)星 近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度v＝＝，約為7.9 km/s，其運行周期T＝，約為84 min. (2)同步衛(wèi)星 同步衛(wèi)星與地球自轉同步，相對地球靜止，可用作為通訊衛(wèi)星，其特點如下： ①軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合． ②周期一定：與地球自轉周期相同， 即T＝24 h＝86 400 s. ③角速度一定：與地球自轉的角速度相同． ④高度一定：據G＝mr得r＝＝4.24104 km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)． ⑤速率一定：運動速度v＝2πr/T＝3.08 km/s(為恒量)． ⑥繞行方向一定：與地球自轉的方向一致． (xx安徽卷)我國發(fā)射的“天宮一號”和“神舟八號”在對接前，“天宮一號”的運行軌道高度為350 km，“神舟八號”的運行軌道高度為343 km.它們的運行軌道均視為圓周，則(　　) A．“天宮一號”比“神舟八號”速度大 B．“天宮一號”比“神舟八號”周期長 C．“天宮一號”比“神舟八號”角速度大 D．“天宮一號”比“神舟八號”加速度大 解析：由題知“天宮一號”運行的軌道半徑r1大于“神舟八號”運行的軌道半徑r2，天體運行時萬有引力提供向心力． 根據G＝m，得v＝.因為r1>r2，故“天宮一號”的 運行速度較小，選項A錯誤；根據G＝m2r得T＝2π，故“天宮一號”的運行周期較長，選項B正確；根據G＝mω2r，得ω＝，故“天宮一號”的角速度較小，選項C錯誤；根據G＝ma，得a＝，故“天宮一號”的加速度較小，選項D錯誤． 答案：B 利用萬有引力定律解決衛(wèi)星運動的方法是：一個模型兩條思路 模型：人造天體的運動看做繞中心天體做勻速圓周運動，它受到的萬有引力提供向心力． 思路： (1)當天體運動時，由萬有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr2.這是萬有引力定律這一章的主線索． (2)在地面附近萬有引力近似等于物體的重力，G＝mg.這是萬有引力定律這一章的副線索． 3－1：如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑)．下列說法中正確的是(　　) A．a、b的線速度大小之比是 ∶1 B．a、b的周期之比是1∶2 C．a、b的角速度大小之比是3∶4 D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4 解析：兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，F(xiàn)萬＝F向，向心力選不同的表達形式分別分析，由＝m得＝＝＝，A錯誤；由＝mr2得＝＝，B錯誤；由＝mrω2得＝＝，C正確；由＝ma得＝＝，D正確． 答案：CD  衛(wèi)星變軌的實質 若＝，供求平衡——衛(wèi)星做勻速圓周運動，穩(wěn)定運行； 若<，供不應求——衛(wèi)星做離心運動； 若>，供過于求——衛(wèi)星做近心運動； 在同一橢圓軌道上，近地點速度大于遠地點速度；不管在哪一個軌道上，由a＝知，同一點加速度相同． “嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道直奔月球，在距月球表面200 km的P點進行第一次變軌后被月球捕獲，先進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖所示．之后，衛(wèi)星在P點又經過兩次變軌，最后在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動．對此，下列說法正確的是(　　) A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運動的速度小于月球的第一宇宙速度 B．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運動周期比在軌道Ⅰ上短 C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運動的加速度大于沿軌道Ⅰ運動到P點時的加速度 D．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種軌道運行相比較，衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行的機械能最小 解析：衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的軌道半徑大于近月衛(wèi)星的軌道半徑，故其運行的速度小于月球的第一宇宙速度，A正確． 根據開普勒第三定律知B正確． 衛(wèi)星在軌道Ⅲ與軌道Ⅰ上的P點時，根據牛頓第二定律有G＝ma，故加速度a相等，C錯誤． 衛(wèi)星在P點變軌時，衛(wèi)星的重力勢能不變，動能減小，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的機械能最小，D對． 答案：ABD ◎ 雙星問題的處理方法 　在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星．星體在萬有引力提供向心力的情況下做勻速圓周運動，具有以下三個特點： (1)兩顆行星做圓周運動所需的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分別作用在m1、m2兩顆行星上． (2)由于兩顆行星之間的距離總是恒定不變的，所以兩顆行星的運行周期就必須相等，即T1＝T2. (3)由于圓心在兩顆行星的連線上，所以r1＋r2＝L. 宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起．設二者的質量分別為m1和m2，二者相距為L.求： (1)雙星的軌道半徑之比； (2)雙星的線速度之比； (3)雙星的角速度． 解析：這兩顆星必須各以一定速率繞某一中心轉動才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，所以兩天體間距離L應保持不變，二者做圓周運動的角速度ω必須相同．如圖所示，設二者軌跡圓的圓心為O.圓半徑分別為R1和R2. 由萬有引力提供向心力有： G＝m1ω2R1 ① G＝m2ω2R2 ② (1)①②兩式相除，得＝. (2)因為v＝ωR，所以＝＝. (3)由幾何關系知：R1＋R2＝L③ 聯(lián)立①②③式解得： ω＝. 答案：　(1)m2∶m1　(2)m2∶m1　 (3) 1．由于通信和廣播等方面的需要，許多國家發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星，這些衛(wèi)星的(　　) A．質量可以不同　　　　　　　 B．軌道半徑可以不同 C．軌道平面可以不同 D．速率可以不同 解析：同步衛(wèi)星運行時，萬有引力提供向心力，＝mr＝m，故有＝，v＝，由于同步衛(wèi)星運行周期與地球自轉周期相同，故同步衛(wèi)星的軌道半徑大小是確定的，速度v也是確定的，同步衛(wèi)星的質量可以不同．要想使衛(wèi)星與地球自轉同步，軌道平面一定是赤道平面．故只有選項A正確． 答案：A 2．(xx重慶卷)冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質量比約為7∶1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動．由此可知，冥王星繞O點運動的(　　) A．軌道半徑約為卡戎的 B．角速度大小約為卡戎的 C．線速度大小約為卡戎的7倍 D．向心力大小約為卡戎的7倍 解析：本題是雙星問題，設冥王星的質量、軌道半徑、線速度分別為m1、r1、v1，卡戎的質量、軌道半徑、線速度分別為m2、r2、v2，由雙星問題的規(guī)律可得，兩星間的萬有引力分別給兩星提供做圓周運動的向心力，且兩星的角速度相等，故B、D均錯；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L為兩星間的距離)，因此＝＝，＝＝＝，故A對，C錯． 答案：A 3.(xx江蘇卷)xx年8月，“嫦娥二號”成功進入了環(huán)繞“日地拉格朗日點”的軌道，我國成為世界上第三個造訪該點的國家．如圖所示，該拉格朗日點位于太陽和地球連線的延長線上，一飛行器處于該點，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽做圓周運動，則此飛行器的(　　) A．線速度大于地球的線速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度 C．向心力僅由太陽的引力提供 D．向心力僅由地球的引力提供 解析：飛行器與地球同步繞太陽做圓周運動，所以ω飛＝ω地，由圓周運動線速度和角速度的關系v＝rω得v飛＞v地，選項A正確；由公式a＝rω2知，a飛＞a地，選項B正確；飛行器受到太陽和地球的萬有引力，方向均指向圓心，其合力提供向心力，故C、D選項錯． 答案：AB 4．地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估計地球的平均密度為(　　) A. B. C. D. 解析：忽略地球自轉的影響，對于處于地球表面的物體，有mg＝G，又地球質量M＝ρV＝πR3ρ. 代入上式化簡可得地球的平均密度ρ＝. 答案：A 5．如圖所示，在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過程中，衛(wèi)星首先進入橢圓軌道Ⅰ，然后在Q點通過改變衛(wèi)星速度，讓衛(wèi)星進入地球同步軌道Ⅱ，則(　　) A．該衛(wèi)星在P點的速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s B．衛(wèi)星在同步軌道Ⅱ上的運行速度大于7.9 km/s C．在軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在P點的速度大于在Q點的速度 D．衛(wèi)星在Q點通過加速實現(xiàn)由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ 解析：環(huán)繞地球的人造衛(wèi)星第一宇宙速度是7.9 km/s，故A正確．環(huán)繞地球的人造衛(wèi)星，最大的運行速度是7.9 km/s，故B錯誤．P點比Q點離地球近些，故在軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在P點的速度大于在Q點的速度；衛(wèi)星在Q點通過加速實現(xiàn)由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，故C、D正確． 答案： ACD